Exercitatio geometrica in qua agitur de dimensione omnium conicarum sectionum, curvae parabolicae, curvaeque superficiei conoidis parabolici ... auctore Laurentio Lorenzinio Vincentii Viviani discipulo

11쪽

. . .

VIIIJun. idest quum Geometria, si nostris cum temporubus conseras, Parum adhuc Profecisset , ea summis tantum labris doctore Vincentio Viviano vix deis gustata , cursum quem in his studiis bonis avibus inceperat, mox illi reflante fortuna , non solum tenere non Potuit, verum, ut sunt res humanae, subita quadam vicissitudine rerum suarum, eo devenit, ut per annos ferme Viginti, nullum virum doctum, nurulum a literatis hominibus nuntium , nullum dentisque librum , ne ipsos quidem, quos elementares appellant, habere quiverit. Attamen ingenii sui

acumine fretus, in tanta rerum omnium ignoratione, atque inopia, quae didicerat animo secum re Petens , & praesertim ea quae ad Conica elementa spectabant, ea etiam scriptis mandare, ne memoria

exciderent, cepit: quae tractu tem riS eo CreVere,

ut non modo, quae ab Apollonio, & a Viviano praeceptore suo tractata fuerant, adaequarent, sed quod subtiliori ratione fuerint inventa, & magis generatim demonstrata, iis ipsis etiam longissime absit verbo invidia 4 praestarent; quae in duodecim volumina digesta lic inscripta reliquit : De Conicis , ,

Cylindricis sectionibus . ω earum Solidis libri XII. Quum autem post tam immane temporis intervallum, in quo innumera propemodum ad mathematicas facultates spectantia reperta fuerant , Perpauci recentiorum Geometrarum libri ad manus illi ob- Venerint , in novum repente orbem te transsatum esse arbitrabatur. Quare e vestigio animum ad novas, sublimioresque cogitationes appulit , atque sex Geometricas Exercitationes, quarum prima haec est, quam in lucem edimus, conscripsit; aliae vero, etiam ipsae lucem visurae, si haec aequo, bonoque animo excipiatur, Circa infinitas parabolas, cisso ides,

12쪽

hyperboloides, & diversorum generum Iogarithm

cas versantur. Alias etiam Exercitationes, Varia, ut, dissimaque Lemmata continentes reliquit, PlureSque reliquisset circa novas lineas, & praecipue circa eas quas Geometricas, seu Algeb aicas Camesius appellavit, qua rum nonnullas quorumdam solidorum corporum sectione gigni excogitavit, ni tanta fuisset modestia, ut flammis mandavisset, quae literarum monumentis mandanda fuerant. De his postremis operibus quid dieam nescio; tanta enim corripior admiratione, ut ad ea iis, quibus par esset, vocibus extollenda minime sim idoneus: quamobrem judicium penes eos sit, qui hanc primam Exercitationem perlecturi sunt, ut sicut Pythagoras ex planta pedis, Herculis magnitudi nem mente comprehendit, ita illi eX hac prima, reliquas, quae rorum magnitudine, & inventione hanc antecellunt, Cognoscant. HOC tantum contendo has Exercitationes apertissime demonstrare, quod initio Orationis meae probandum suscepi , Geometriam linearem Analyticae nullo modo in abstrusissimis etiam Veris excogitandis concedere. Quod etiam magis magisque evincet admirandum illud , ut ajunt, problema a nostro Lorenginio per linearem Geometriam solutum , quod ratione analytica per sequationem quinque dimentionum, idest per inviam, atque inaccessam viam solvendum foret. Problema autem erat hujusmodi 2 Invenire conoides parabolicum, quod minimam omnium habeat superficiem, eorum, quae eidem spheterae, & ad eumdem cum ipsa axem circumscribi possisunt, planoque ipsam sphaeram ad imum sui punctum Contingente terminantur. Quod si Archimedes ille Geometrarum omnium seculorum facile princcpsadeo gloriatus est, quod sphaerae superficiem quadruplam esse circuli ejus maximi compererit, ut eam in

13쪽

summo sui ipsius sepulcro cum quibusdam senariolis

qui hoc declararent, poni Cutaverit; quanto.magis gloriandum erit Lorenginio nostro, qui non recen tiorum adhibita Analysi , non infinite parvorum artificio , sed eadem qua Archimedes investigandi ra .rione usus,&superficie in conoidis parabolici dimensus est, quod Archimedest sphaericae 1uperficiei dime sone longe difficilius est, longeque abstrusius ;& quod

multo majorem habet dissicultatem, minimam illam supernciem in eo, quod diximus, problemate adis invenerit; quod quam verum sit, ut luculentius appareat, hic apponendam duximus epistolam acutissimi Geometrae P. Coelestini R olli e Coelestinorum

familia , ex qua etiam & propositum nostrum confirmaturn ad hanc primam Exercitationem non mediocre lumen accedit ; necnon solutionem continet hujus problematis, quam per aequationem quinque dimensionum procedere patebit ; eam Vero, quam excogitavit LorenZinius, hie non adscribimus, ne ordinem pervertamus , quem auctor ipse in editione hujus operis sibi proposuerat , & quod non omnino in ordinem redacta esset hujus problematis solutio , sed eam inter adversaria reliquerit. Quae omnia si quis optime perpendat, perspicuum illi erit, quam jure optimo a laudatissimo Viro Vincentio Viviano in Enodatione problematum Gallicorum fuerit noster hic Geometra praeclaris verbis

appellatus : Spectatae probitatis . acerrimique ingenii vis Lauiarentius Lorentini ad Geometricas plane factus exercitationes ;& ab Abb. Grandio, viro extra omnem ingenii aleam posito, in libro de Infinitis Infinitorum, & infinito parvorum ordinibus in scholio prop. X. quum de lo-garithmicis quadraticis loquitur, sic laudetur: Doθε istis oe egregium tractatum geves a nobis perbumaviter accepta

coia

14쪽

conscripsit insigitis Geometra Laurentius Lorenesis,quem utinam mollis tractatibus res geometricas accurati me, .m profundisme illustrantibus, opis aliquando committeret s Et in Appendice a.

de Quadratura circuli,& hyperbolae, magna cum laude ejus mentionem facit. In Ephemeride autem literatorum Italicorum tom. I s. art. 8. Pag. 243. quidquid de quodam Viviani discipulo suppre1IO nomine diciis tur, de nostro Laurentio, & de hoc ipso, quod in lucem edimus opere, intelligendum est. Verum non adeo linearis Geometriae addictus erat , ut aspernaretur analyticam ; at exemplo doctissimorum virorum utrique studuisse optime factum ducebat: quapropter in hanet ad summam senectutem toto animo incumbebat, aemulatus Catonis illius erga sapientiam amorem, qui literis Graecis e XtremiS suae vitae annis studuit, & Solonis unius e X septem Graeciae lapientibus . qui aliquid quotidie ad discens mori cupiebat. Sed mors nobis heu nimis invida , tantis inceptis obstitit, nam vir. Kal. Majas CII DCCXXI. dum haec

ipsa typis mandarentur, eXcessit e Vita. Tanti IgItur. viri exemplo mathematicas facultates amplectentes non una tantum via insistamus , sed & analyticam,& syntheticam rationem eXCOlenteS, integram, Perfectam , absolutamque Geometriae larmam conse-Quamur. Hujus autem nobilissimae disciplinae 1tudiosii aequi honique consulant hanc nostram qualemcumque operam, & rempub. literariam juvandi, & me.

moriae doctissimi acutissimique Geometrae coni tendi.

16쪽

D. Coelestinus Rollius Aletinus

, Monachus taleslinus S. .

17쪽

xiv quae eidem sphaerae, O ad eundem eum iis riscaemser ibi

pusuur, quique piavo inam obaeram Mimum sui punctum contin-

Mute ter minantur ,perfecurus sum . Nec Iaue a hibita a me thum stigandi ratio me fefellit, ea enim duce nou modo propositum . ni fallor, asecutus sum, seu alia plura scitu fortasse non iniseunda. fere Donte sest mihi obtuleruvi, quae tecum. Vir doctissime, communisare non abs re Dicavi. Inisbce vero exponenuis utramque ita , ratibilemque adhibendam cen sui. O prius quidem a I tLeam unde omnia deduxi , ut perspicuum fieret quantum ausim menti ἡ ex Um astrer unciis Min proHematis suodandis accedat; deinde θnthetica meracillo ' illam em pe ' andi sim imventa, 'verae igi me, qua is gremGricis demoratae auis uteris,

morem garerem, quti noet ca hac yra plurimum delectaris e urta excessis , ut 'inum e teram conferri' po tit2 l IIa etiam accedis, quod ea smiti: Rripendi filatio in semetricis semper arrisit, ut quae anablice ιuventumur, ea postmodum B tbeiice exponans ur , H ebim ingenium aeditur excitatur ignavis mens exercetur: atque id equidem paucis video, iisque 'inrens te ιm tris contigisse , ut iid in utroque tia genere laborarent, simulque in geowetricis problematibus sequerentur, ρο illud perurite ivvs Henior hoc aeuium Hemonstraus genitri, quidem temis pra ceteris ese memini ivdiam pisae Acrum , ac omnigena eruiat mire excultum Coelestiuum Gatianum., Caeses inae meae familia

eximium ornamevium . aquo si'ulari Dei tu Md beneficio tibin miserim mariaminicia Ied etiam in raeo gicis praeceptore useussum δsaepe enim ama uti stinus Magister admovebaι , hanc etiam geometriae partem esse excesevdam , netvideticet eo i, quem ex praeci

pius επjus praesi. misimis disciplina fruibus judicabar, qri Ne in

meusis judiciis Arigendis moderandisque continetur, fr0trur mur. Sed vum ad propositum nostrum revocetur stratio. M. I 8 . . , Primo gitur co dero circulum Eos ιν circa suam diam iram υerticulam ωα υemus inmite productam seluti ei cauxem descriptas parasolas cuius libra generi irinium ipsum i uuo .i vel pluribus punctis Et pro parabolarum diversitate gangeu-res , ac reota a Ia eundem circurum in imo fuit puncto uaco uiu- ente terminatas. unibus positis problema quod tibi invecti m

18쪽

rum Da una cum circulo viavi Iunonautur, isa in circulus s aeram, O parabolae generem conoides parabolicos) inveniatur conoides minima curvae Iuperficiei inier omnes eidem sphaerae circumscriptibiles. Sed antequam ad hoc, o alia qua de istis par relix proponi possunt problemaIa propius accedamus , haud abs re eris, ιantisper in ipse limine in ea contemplatiove immorari, utispiciamus quomodo tro ordinis, seu grauus diverstate circulum contineendo parabola ista procedam. . .

- . Et quidem si primi ut vocam gradus, seu Apouonianae simistae parabolo. earum O circuli E contactus Iuperiori δε

ste10beria a M. caminenrur, adeom par ola illa, quae circulum 'ingrι nn extremitatibus diametri GL nil aliud βι quam iv i. itum rellangulum, cujus basis est ina circuli diameter; cetera vero parabola quo punctum comactus E vertici Q. habent propiorem, eo hastam BD habent ampliorem, oe verticem A humia rem , ac princto propinquiorem, usque dum δευeniatur ad parabolam contingentem circulum in iso verilae ad insiluitae autem sum isae panisolae circulum in in contingentes prout iuverso δε- scribuntur parametro , quarum inmen ultima, qua cislautam emterne Dan ι , qua eamdem curvaturam cum imo habet ea es , quae eum parametro diame ro nempe cum circulo defluiditur, semio es..enm,omnes conica, eddem parametro δε- teripta sunt ad communem verticem buuem curvaturae, hoc essus eundem De ne n A desicribantur circulus AK , elij j AC . fig. 186. parabola Ac , O h perdola ΑN e dem star4-ιro AB ,. onmeSisae sectiones habetant in ipso verιιμ A arcum infinite parvum in F communem: . eteuim ordiuald EF , ubique est ME AE E A ; ερο ::ΜΑ : sive ME G A E in te parvam . quae addita. vel abla

jam de atiis strepiter loquamur. ri. .

III. Si ergo parabola isiae circulum L. exterue taugentes fig. x3s.

19쪽

rabota quadratis eas meo parabolas, in Τρῶαν relevia anisu pro exponente abscissarum, potenas ordinatarum es in- nume ro binario , Iuperioris vero gradus in quibus sto estas orivata. ram ess binario major. Uror autem bis exponentibus, O potest tibus, quinimmo , O nonnullis alebraicis symbolis, ut aequasit tu, proportionalitatis, oest. quoniam ex tuo Icheriasmate commite maxime in his esse verratum parabola illa, quae circulum in

vertiee L externe tangit coimidiι eum recta lanea contingente

circulum in eodem verticeo qualiber enim parabola inferioris gradus parabota Apolloviani quantumlibet magis parametro de criapta ad eumdem υerrirem di dati circuli Et D intra ipsum circu. cum caret ' Pro estis rei explicatione δει parabola os y talis πώ-fig. 183. turcle m ordinatae Lr potestas Ll aequetrar producto ex abscissaus inperametri potestinem αM qua parabola, quomam

exponens ordinatarum χ-n est Huario minor . posim n numero

positivo, binario tamen minore, alias non parabolas sed 4 prebo cat ad Umptotos exprimet, ea it per Iur icta . ivserioris grais jus parabold Apogoni angὶ dico, hanc parabolam quamum iis mingia parametro Iupponatur descripta semper juxta verricem intra circulum cadere , ipsumque poma alicuri puta in y 'orrervet enim n es unitati aequalis, vel ea major ea, . vel minor et fi

ualis , exponens ordinatarum 2-n pariter Unitati aequalitur. ρο parabola My in triangulum verretur, ac proinde prope vel ricem n intra taeeuo c ea ι i ν Oreo n est Mustate major. . ' exponens ordinatinum 2-n erit unitate minor, adeoque parabolae r y convexitatem suam axi os verres , quem etiam in vermeo tanget, 'oe consequenter intra circulum cadet: tota ergo di'. cultas est iu iuppositione quod n βr unitate minor, sta in eo nem ordinatarum 2m evadat unitate major; in quo casu descrphatur vertice D axe D parametro in M parabola D y talis ut fit ordinatae zy potestas E y'ακ D in QMV Me parabola sob exoponentem numerum n uvitace minorem in convexitatem suam axion vertet, quae proinde intra circulum cadet, ipsiumque alicubi

puta in y fecabis, quo posito dico parabolam Og y pariter tu νcirculam fecare, ejusque portionem Wy intra circulum eadere etenim ob parabolam Dy es et y is E D M uM A , Me multi Leando utrumque aequalionis membrum per o MET ; αν α

20쪽

Parabolam asya minum ergo y eris ratam ad parabolam ων. Ordinetur nune inter y alia quaelibet L r circulum θι ans in K , O quomam ex hypothesi erm Zy αED -' , Lr vero minor quam xy. ω LD major quam ED, erit I. c minor quam L B M , Me s mulsiplicavis utrumque terminum per M. M.' M' ' J erre M. in ' - L r , Ac est ob D. M OO ' isti I pro pser prerabolam Que y) L t' -- ρι- αLmLD, his ΔΚ tir minor quam L κ . ordinata nempe ad parabolam minor quam ordinata ad circvium ι quod de amnibus redinatis a puncto y adverticem α verum ere, nee punctum ν puncto occurret nisi quando parameter K in infinitum creverit, quo coD parabola

Le y tu tangentem tuam a d degenerabit. O Iola ex hui Amia

libus circurum datum emeris tanget. Q . e . D

I κ Sed quoniam hic fumus, αι hoc rheorema meo quidem

judicis non inelegans de angulis contactus bHπι parabolis, o circularisie calamo exciderit, non pigebit aliω Amile liseorema circa sarabalas altioris gradus parabola Apollonians subjungere. Dico ergo ex omnibus parabolis operioris redisses parabold Apoώ mand nnllam dato circulo ciun D ad eumdem verticem ac inscribi posse, sed omnes extra imum cadere. Sis talis parabola usi x ita

O s multiplicando per M. eris a LN QM N LM minor quam M. H ', sive sob aequaιionem parissia ina x mivre quam Lam . 9 ssimum dividendo per Lo, eris G M us. boc est uso minor quam L R', ΟΠ cim minor quam La. O Lκ quae mi r eis ipsa QI J n sto minor quam Est . ordinata nempe ad circulum minor quam ordinata ad parabolam: ubique igitur versus verticem Ordiis natae ad parabolam acit majores siunt ordinatis ad circsium Q Κ . quare parabola ipsa extra circulum cadet. Si autom para instoreum parabolae aequetur radio circuli, parabola ipsa αR x tanget

inrculum in extiremitate quadrantis η ς ω si parameter mi r radio circaeli, parabola inum circulum Iecabis interses , Ie punctum sectionis nunquam vertici congrura nisi cum param ter nos est infinite parva, quo ca parabola Ax in ax D um