장음표시 사용
41쪽
posita Θperbolae CN , cujus tramversa diameter eadem CD, ab ejus altero extremo D ad alterius extremi sangmtem cu inclinata Da secta Θperbolam in B , unde ordinetur ΒΑ abscindens DA, cui aequalis ex puncto si ordinetur recta sv diametro DC parasiela , atque hoc Iemper flat, quousque per . p ncta v. x, sic inventa transeat curva v x; ico hanc cumvam reciprocam esse curva C ML; hoc est ad eamdem abscisi fam Cp ordinata FMς, qua occurrat curva C M in M , O curvae x v in v ) rectangulum ex ordinatis F M tu Fu , se ubique idem O constans, aequale nempe quadrato i us CB. qua ea perbolae genitricis diameter secunda. Henim ratio C G ad C E componitur ex ratione CG' ad CD' seu B M ad AD , m ob A D m G v m c p N F' ad C F , O G ratione D C' ad QE' , Me s ob huperbolam DFc ad FN , adeoque est eadem. ad rasia D Fc ad FC' , Du DF ad FC , hoc est ob naturam curva cM ) CE 'ad F M'; quare erit C R., vel su: c E
ciproca curvae CM; sicuti versoria hac em Ductio per ellipsem genisa reciproca es versoriae per eamdem elli em alta constructione genitae; duae enim istae constructioses ad ellipsem , veseirculum anticata easdem quidem versorias producunt, sedeontrario modo respectu sui axis sitos. Os aurem reciprocas esse in iisdem notis ad Galileum coroll. v. prop. iv. idem Clarissimus Geometra ostendis. Ex dictis non es ure constat a uitas barum curvarum C M , Ux cum versorid per estimem , via circμlum genita; sed ipsarum curvarum indolem , O prurierates. , qua bujus loci
non es eniamerare, curiosius perserinanti magis magisque inno-fig. si . t cet. Cerre si is versoria AD E manente vertice A altera axis extremitas B in inuisitum abeat versoria ipsa in parabolam quadraticam verreetur, quod F extremisatem n ad alteras par res verticis A alire concipiatur, versoria mutabitur in nostram curvam C M praecedentis figurae; aι si manente extremitate axis Bvertex versoria A abeat in infinitum, versoria ipla evadet Θ- perbola mesolabica sive secundi gradus, ad alteras vero paneStra eunte vertice A habebitur nostra cur v x praecedentis
figurae. quare idem hic evenit, ac in confectioribus , harum
42쪽
finitum abeunte habestitur parabola, oe alteras partes prate grediente Θperbola. nam adbue harum cumarum non ultimo loco habendam in chanicam proprietatem asserre placet. In Θpothesi quod gravitas corporum ad centrum aliquod tendentium sit quadratis diastantiarum a centro illa reeiproce proportionalis, si corpus ex quiete in quolibet puncto o libere decidat ad centrum C , semia velocitatum hoc est eurva ista diametro a C descripta, cujus ordinatae iis quibuslibet punctis F ,s , repraesentent velocitates, quibus in iisdem punctis P , s , pollet corpus d pendens erit curis verboris per circulum, vel elliuem genita , cujus
vertex a , axis a C οῦ sala vero temporum elementarium erueadem versoria sed contrario modo posita, cujus nempe vertexc , axis idem Cn.: hae demons at idem Cl. P. Grandus in notis ad Galilei librum de motu accelerato prop. III. corost v I. O prop. I U. coroli. v. inde infert tempora casus per quaslibet
natu partes υ , ψ cte. proportionalia esse correspondentibus segmentis elli eos , vel circuli genitoris versoriae ; Verum Fcorpus non ex quiete in puncto in , sed cum aliqua celeritare ei in eo loco per impulsum , aut alio modo λπresa defendere concipiatur, veluti nempe per aliquod Jariumjam descendisset, quo descensu celeritatem ei imprestam aequireret ς hastae celeriatatum , temporumque elementarum nou eaedem in eo casu erunt
versoriae; quare sequenti constructisve tunc erit pro Iolutione proselmatis praeedendum. Apponatur corpus cum ea celeritate easium suum ivripere in puncto α, quam acquireret si ex qui re in eodem puncto a caderet per υ , invenimurque quarta
proportionalis ρυε disserentiam ipsarum o F , Fc, ipsam uJ , O distantiam os ; quae quarta proportionalis . s quidem QIminor μ λ ά. EF , ver xpartessuperiores puta ast accipiemis erit, eritque punctum d publimitas, unde rorpus ex quiete cadere debet ur acquirat in velocitatem aequalem ei, tuam cadendo ex quietρ in α aequi reret in v ': ct venire d , axe dc destripta verseria erit Icala velocitatum; eadem vero comtrario modo posita, υertice nempe C , axe C d , erit scala texi
porum elementarium cte. At β αδ aequetur ipsi sc , tum earum disserenita aequaticur nihilo , ct quarta 'illa triporti d a natis
43쪽
F ε Hia. quare ab infinita ristantia cadere debet com
sus ut acquirat in eam celeritatem , quam acquirereι per dimidiam os cadendo ex quiete in R; ιn quo casu scala celeritatum erit Θperbola secunt gradus inter a Nιoto1 Cα , CG , cujus nempe abscissae o F , cin Fnt in duplicata praearatione ordinatarum , bola vertice C , axe Ca descripta erit Icala temporum elementarium oee. Iuod si demum o F maror fit ipsa CF ; quamia illa proportionalis ad partes in errorra, puta - , da erit. 9 in Me casu nostra curva v x , per Dperbolam cujus transversa diameter CD genita, erat scala veloortatum ,
que per quamlibet Fc erat proportionale hauo.CM, cooriis latis CF , pM , cur quae CM comprebeso, sivenatio huper.
'et his bis 2 lia, hactenus fuit Θperbola) sit 'arabola
Apolloniana, latere recto quadruplo C D descripta , statque ut tangens Nae . ad subtangentem Fn, uadam quaedam rectatinea CF ad quartam FM . haec applicata ad eamdem abycissam C F , dabit nostram curvam cM ; ιι- fiat uisubtangens p T. ad taugentem NT , ita constans C E ad quartam Pu , Me ad eamdem abycissam cp applicata dabiι aliam cur m v x . H ctenus de hac re , de qua pro instituto nos batis dictum a tabitror, quamvis occasio set longius de ea sermonem trabere , nonnullaque alia digerere cognitione projecto dignissima ; dum da enim opera e I, ut cum ad alta saepius aberrarat ad reliquaso positi partes tanssim revocetur omIxo. Sequitur porro , ut ex lem te tertio quemadmodum theorema de minima cur
superficiei cono hphaerae circumscrigio inferamrsequentι σιρω-
remate demonstremus. o a XXVIII. Sit circulus AN B evus centrum O, arameteras . in qua sumatur Ap aequalis lateri quia ιι circulo inscripti, ordineturque Pn , scuti ex quolibeι alio puncto p alia ouaelibet PN, Θ in n, N tanganr rectae Sng, qNi a tangente in A , ω diametro A B producta terminata, qua circa axem Aa revolutae generent superficies conicas Dbara AN B esrcumscriptas: Dico conicam superficiem genitam ab Sn g tangente in n minimam omnium esse , minorem nempe quam genua o
44쪽
YXxxi tangente q N f. Siquidem quoniam A p ea latus quadrati cim
culo insiripti, erunt tres BA, PA, O A continue proportion ira ; quare per lemma teritum B p N po : AP majus ea quam BPH Po : Ap , O ratio B p : Ap ad BP : AP major erit ra
As g ; ac proinde superscies conica per rectam f q genita squaper xv H. lib. t. de sph. γ οί es primo remugulo propo tionalis) major erit superficie conita genisa a recta fg secundo rectangulo proporaiovali) , qua proinde erit omnium μ
Herumfl omnium eidem sphaerae circumscriptorum conorum is quaeratur qui minimam habeat stuperficiem accepta etiam basi,
conveniet hic cum minimo cono, de quo diximus num. x x. St.
quidem conus quilibet circa 'baeram descriptus es adybaram . ut coni ipsius universia Iuperficies acc*ta etiam bast ad superificiem sphaerae , ut demonstraviι Clarase. Torricelsius prop. a.
XXIX. Demum si dataesphaerae circumscribantur conoidesparabolici geniti a parabolis ordinariis, quaeraturque eonoides minia mae curvaejupersciri; applicando methodum expositam num. xxv. devenietur ad aequationem quinque dimentionum facile construendam per intersectionem alicujus ex conisectionibus , ct alterius lineae tertii ordinis , modo aequatio illa ad instriorem gradum
reduci nequeat, ut mihi eam ae summa siacis vectanti essumes. Sed quoniam hoc est principale problema oti te Vir Clarisis. propossum, non pigebiι paullo fusius ea lac persequi quae ad Gus absim pertinent, qua evim θυιbem pectant egregie ab ιe,
Vir acuti tae , persecta scio , quod postremo loco inter ingenii
45쪽
tui summas laudes haud est utique ponendum. Et primo quidem
dimetiendam duximus 'perficiem eonoidas parabolici geniti a parabola Apolloniana, quod anablice bis praestabimus methodo diversa ab ea, quam universaliter de qualibet superficie deae,
fg r96. mus num YxiU. Sit ergo parabola D p B , ordinataeque in L
te proxima Da , db , O Ed paraueti ad B P, ponaturque
BP α x, BD m y, parameter parabolae a , ejus aequatio eruyΥ ax , radius circuli , cujus peripberia α p , dicatur r ιB h in E d d x ς circuli, cujus radius BD , peripheria erit mPy ῆ r , O superficio cylindrica infinite parva descripta a si neola Ed circa Bb revoluta, erit m p y d x : r ; haec autemes adjuperficiem D d insinite parvam comidis parabolici, ut ad Dd, sive . BQU QM :: a x: V x x - y y ), ergo superficies illa D d infinite parva erit m pydx Vs xx--yyὶ δ rx posito pro yy ejus valore ax)pdx V 4ax--a a) ta r , cujus insegrale in p V a x - a a : I a r a, tui aequari deberet superficies emotis parabolita ; at facto x m o , dicta superficies pariter m o , cum tamen in illo integrali adtae r manear quantitas pa) : Ora, quae proinde ex illo subtrahi debet , itaut vera superstrici conoidis parabolici dimentio sis PN 4 a x--aa '-pa ): I a r a ς hoe ea, ducta normali Dpsd punctum R, imperscies curva conoidis parabolici DP aequa tur 'perficiet oliuisi, cujus baseos ratus bis normalis D p, astatuis vero ρ FQ , minus 2 circuli , cujus radius aequetur parametror estque dicta superficies ad circulum suae baseos ut fp V 4 ax--aa - Pa ): Iara ad Pax:2r, sive MV a X- Laa Φ-La' ad Laax. hoe es ut cubus DF minus cubo B p ad sesequialterum producti ex quadrato DB in B p. Eadem methodo almetientur curvae superficies conoidales genitae a parabolis altioris, vel inferioris gradus, imo a qualibet en mva circa axem aliquem revoluta, modo emergentes differentia-Ies integrari posv . Hoc posito quoniam curva superficies conoidis parabolici p Daequmur sp Vs 4 a x-- a a - p a ) : i et ar , eris diecta super.
scies proportionatis quantitati s V ax--Zaa 3 -- - a ): L a, hoc est proportionalis disserentiae cuborum normalis DPImniparametri r B , ad imum FB applicatae . Cum ergo num
xii. demonstratum sit , Iemibasem BD sfig. i8s. J parabolae
46쪽
A E B Hreulo cireumfcripta aequari abscissa D v , se parame. ιrum vero esse aequalem abscissa a centro cr; bine fit, quod si a
cenἔro C inclinetur ad axem C in recta Cu in angulo siemirecto C v , productaque E F in v , jungatur D v , erit superficier
eouoidis Aga θbaera circumferipti proportionalis quantitati Du -vs ) : up ; eo igitur de eitur problema de eo ideminimae curvae superficiei AE a datae sphaerae circumscribendo ut Dad illai cu a medio puncto c datae recta aso in angula semirecto cicu , ab cus quolibet puncto v dum D v ad
extremitatem D datae recta D a , ae ei demsed perpendicul ri F v , inveniatur D v - VF r VF mssima quantitas . devenietur autem ad aquationem quinque dimentionum , ut supra innuimus. Si ab axis D et extremitate altera ducatur tangens a K , quaerarumve maxima curva superficies genita ab arcu parabolico B E κ ordinatis D B , asc ivtercepto , O circa axem D R. revoluto ; eodem modo ostendetur, problema eo reduci, ut fp
tur minima quantitas fov)-- v ) : F v ἰ siquidem uum. x II. demonilravimus non solum DB DF, sed etiam ακ α πιοῦ iuvenio autem, sumendam se C F α -C T. Aliis supersici
bus emoidalibus eadem anal s applicari' potest , quod qui. dem , s prolixum improbumque supputandi laborem excipias , facile fieri poteris; at nobis diutius in hisse immorari non
XXX. En igitur, Vir Clari f., pro ingenii nostri tenuitate fi non assecuti, at id, te tortante maxime , conati quidem sumus, ut ea tibi amicorum optimo atque doctissimo hac episola de probo se tuo explicaremus , qua uobis examiananda proposuimus nec enim omnia pers vi animus erat, quae tu hoc particularium problematum genere quaeri possisnt quamquam O baec eadem , alia pleraque multo fortasse praeclariora ab aliis in hac quidem palaestra exercitatioribus gravius , splendidius , uberius tractari posse nis insicior.
Interim diligentifime te rotatum velim, ut communicare mecum digneris tuam illam exercitationem geometricam, cujus apud Doctissimum, mihique nunquam sive laude nominaudum Antonium II. Altinium salis amplum argum vium ισι, complectebatur
47쪽
Xxxxiv siquidem siectionum conicarum, se Plidorum ab 'sis eirca axes
suos revolutis genitorum dimentiones ; cujuscumque pariter comporis a qualibet sectione conica, vel olivisita circa suum axem revoluta geniti inrustrique cujuslbet ab ipso refecti centrum gravitatis unica propositione uviversialissime demonstratum p rationem denique quam habent eadem corpora ad Olindros circum criptos, quamque habent pondera eorumdem corporum ad emreis mitatem suorum axium centraliter appenserum in altera axis extremitate existente fulcro duabus pariter generalismis proposimonibus inventam. Humanitas tua , ct amor quo me prosequeris sperare me jubet, te satis desiderio meo facturum pquinimmo nec Bisero alia tua opera geometrica squod maxime optem me aliquando visurum ; nec enim me fugis exercitationem supradictam primam ege ex siex tuis exercitationibus, tu quibus exoticarum curvarum proprietates perscrutaris ἔ compertum etiam mihi ea tectionum cenicarum doectrinam duodecim libris a te comprehensam esse ne dicam exhaustam; scio denique adversaria tua abundare problematibus , aliisque geometricis schedis, nec numero paucis, nec rebus tractatis inelegantibuι; in te enim optime quadrat Horatianum istud Iut nil moliris inepte Sed jam plus aequo Epistolae modum praetergres M sum ἔvale Vir Praefantissime. 91cito me tuae probitatis, ac MeIrioa laudatorem cultoremque perpetuum fore. Florentia ex μυ-nerio S. Michaelis Vicedominorim Kal. April. an. Μ DCCXIX.
48쪽
Atis pluribus lineis AB .ab, quarum unaquae in. g. que in aliquo jaceat plano, si ab ipsarum
centris gravitatis agantur rectae HG.hgnormales, aut similiter inclinatae ad totidem rectas CD. cd, quae in praedictis planis re- - spective reperiantur . datasque lineas A B. ab non dispescant, & per integras eorumdem planorum revolutiones circa ipsas rectas e D. ed, tamquam Circa axes, essiciantur rotundae superficies , aut planae, aut curvae ab iisdem datis lineis AB. ab; sequentes suppono conclusiones jam ab aliis ostensas. Proportio superficiei genitae per lineam Aa ad superficiem Procreatam a linea ab componetur ex ratione lineae AB ad lineam ab , & ex ratione distantie H G ad distantiam h g. Linea Aa ad lineam a b se habebit in proportione composita: A ex ra-
49쪽
ex ratione illius ad hanc superficiem. ει α ratione . quam reciproce habet distantia b g ad distantiam HG.: III. . Distantiae Ha proportio ad distantiam h g composita erit ex ratione prioris ad poliariorem superficiem, & ex ratione in quacit reciproce linea a b' ad lineam AB. i ι
Et ubi inter se adsequentur praedictae superficies, linea AB ad lineam a b erit reciproce, ut distantia g B ad distantiam GH: ia
sit. 1. 3. Si datae lineae AB . ab sint rectae , & amplius sint partes rectarum H G . h g: superficies genita per rectam A a ad superficiem progenitam a recta a b eamdem habebit proportionem, quam differentia quadratorum A G. EG ad quadratorum agbg differentiam. Et . I
Amplius si ipsae rectae A s. a b rectis A G . a g sint proportionales, praedictae superficies genitae ab illis AB. ab , tam quadratis AG. ag, quam quadratis HG. M, quadratisque AB. ab Proportionabuntur. Et
D 4- Si recta A n alterum terminum habeat in suo revolutio. nis axe C D , recta vero a b suo revolutionis axi e d aequidisset, superficies descripta per illam A B ad superficiem genitam ab hac recta a b erit ut q: AB ad duplum reciali ab , o g.
ac, s. Si iterum datae lineae Aa . ab rectae sint, & altera A acum suo revolutionis axe cu conveniat in s , reliqua vero a bad suum
50쪽
ad tuum revolutionis axem a d sit parallela, superficies genita per priorem rectam Aa ad superficiem descriptam per posteri rem a b, se habebit, ut quadratorum Ac. Ba disserentia ad O. plum rectratum a b . b. ix Praeterea si praedictis axibus CD. e d datarum linearum AB.
a b ,δc in earumdem planis, aequidistent rectae ONP, onp, quae rectis HG.bg Occurrant in N. ni, at ipsasmet rectas AB . a. non dividant - s ,
Supradicta superficies, circa axim en genita per lineam Anse habebit ad summam, in Q. i. O3. & ad disterentiam, insima. 9 4. superficierum, circa axes c d , op descriptarum a lineas b, in propra ne composita ex ratione lineae A B ad lineam a b,& ex ratione distantiae Ho ad distantiam n g, &
Summa, in Ag. r. ac disterentia, in M. a. cst ε. superficierum circa axes CD. OP genitarum a Iinea AB, ad summam quidem. aut disserentiam superficierum, circa abces c d , op procreatarum , erit in proportione composita ex ratione lineae Ain ad lineam ab , & ex ratione rectae G N ad rectam g π.& f. XI. ι Proportio , in qua est disserentia superficierum descripta- u 3. rum circa axes OD . IN P per lineam A a ad summam superficierum, circa axes c d . n p. progenitarum a linea ba, componetur ex ratione lineae A B aci lineam a b , & ex ratione distantiae N o ad distantiam n g.
DAtis pluribus areis AB c D. ab ed 1 si ab ipsarum centi iggravitatis Η, b agantur rectae Ru .hg normales , aut similiter inclinatae ad totidem rectas EF . ef, quae in planis eam