장음표시 사용
21쪽
D. degenerabit. Omnes ergo par in superioris ordiris parabola quadraticd ad eumdcm verticem eum dato circulo debriptae ex
V ' Hine per conversas harum duarum propositionum deduci potes, nulli parabolae parabold Apolloniara ordinis superioris ci
culum quantumvis maximum. ad eumdem venirem circumβribit e, Daut ejus periphrta cadat inter parabolam, O tangentem Itiam ad verticem, O consequenter nullam conicam sectionem iisndem par obolis supcrioris ordimis circumscribi pose, quaelibet enim conjeciis fisum hab/t circulum aequicurvum , qui nempe diameistrum habet parametro tectionis aequalem , ut jura demonstra-yum est Dum. αὶ Parabola υero infrioris ordinis parab M Apollaniand nullum circulum . nummoue conisectionem page inferibi , ita ut ejus perimeter inter parabolam , , tangentem
piam ad inritiem non cadat. Unde sequitur, angulum contactus in circulo , ω eonfectiombus in ite magnum esse respectu an gulorum contactus tu parabolis gradus altitoris, infinite vero parvum respectu angulorum connictus in parabolis inferioris gradus o quinimo CV quamobra parabolam determinati gra sis suum angulum contactus proprium habere determinati ordinis , infinite nempe parvum respectu angulorum contactvis parabolarum fri proxime gradus inferioris . infinite vcro maguum revectu amstulorum contactus parabolarum sibi proxime superiori, gradus; quod etsi minus ou rem peratvere videatur Mon pigi est Dia eu ob theorematis dignitatem de mustratione aliqua breviter
M. 3. cons mane. Sint ergo pa abolae AC cujus parameter AH, o AD cujus paramele AG ἰ prioris aequatio sit BC' AB M AH , posterioris BD ' α AB M AG ; quare quo minor fuerat numeras m ; eo magiF parabola A D accedet ad gradum proxime fu. periorem parabold AG , or haec vicissim e det gradus resspectu illius proxime inferioris , Fiat vero AH AG t: AG ad quam tam AF , ω ex quolibet puncto E inter p Θ verticem A δε-
22쪽
siue t ab parabolam Ac) ac' minor. quam BD . ct demum sc
uor quam. BD- eodem modo Me demonstrabitur de omnibus ordinatis usque ad verticem Α οῦ quare curva parabolicabam imire AC, O taetentem A E musario cad ι , angulusque C AE maior erit angulo DAE, infinite major . eum tuter Ac . Asinfinitae parabolae ejusdem ordinis cum AD inseri possint compredihendentes eum tangente A B angulos determinatam , O finitam rationem interje hahentes. Eadem pro0us demonstranove prob titur, angulam E Ac infinite minorem esse angulo cum eadem tam
gente AE comprehenis ab alia parabola inferioris proxime gradus; ct quod de parabolis dictum ea valet etiam de omnibus caris vis lineis; quare omnes cujusibet gradus curva stor autem sunti curvae quot sunt meri integri, veι fracti exponentes pol satum redivatarum ad fas curvas ς sane inmities infiniti, cum inter quosibet duos integros, vel fyanos numerosi infiniti sint alii numegi fractιὶ proprium talent determinati ordinis infinitorum. mei inmite parvorum respective loquendo angulum contingenti ac proinde retalineus angulus in infinities infinitos ordines angulorum dividi potest, quorum ordinum unus es eorum angulorum. quo ectiones conica cum tangente comprehendunt Possem hoc acii
mois offfendere maxime e subtensas in tu parvas angulorum contactus, Ied digrestonibus ponendus est modus.
VI. Ad rem igitur revertentes remanet ad c videndum qu modo tangant circvium Em parabola, quae sint parabold Mosi niavd gradus altioris, diversa enim ab aliis hoc parabolarum s nus habet D tomata ή ω quidem dum earumi vertex A ab ιm
finita dinantia a puncto α, ubi es quando parabola tangit ei mrum in extremitatibus diameIri G ti usque ad ipsema circuli veri cem o defendendo infinitam H percurrit , iam pum,m contritus E nou totum circula quadrantem G. Q. , uι in parabola ordianaria. ses in aliis inferioris gradus. meriιur, Dd partem aliquam puta E s , ita ut parabola qua circulum in vertice a tangis tau-gat etiam enudsm circulum in alio puncto E , ubi nempe periph rie occurrit ordinata F E ex puncto diametri. F , quod absicindit ex contro c facta aeqna iove paraboia E P mF A cullus parameter t. unitas rectum crit: in i radii C R; etenim ducta tangente
24쪽
VII. conripe, Vir Clari L. curvam AS , ipsique in pμναν M.ty..
E normalem Ec D in indefinitum productam, in qua fumife-- per potest punctum d , quo ut centro descriptus per E circulus B m tangat curvam in E . O alicubi etiam secler in m qum
Iibet enim curva in quatuor ad minimum punct 3 a circulo se ari potest. γ pundrum contactur aequivalet duobus siectionibuν infeste proximis Porro inter d. o E sumtis in normali
aliis punctis D , c ipsisque ut cemris descriptis per E circusis. hi pariter tangent curvam in E , quam alicubi etiam Dratam in M oec. punctum vero sectionis M eo magis accedit ad puniactum contactus E quo centrum D propinquior fit eidem puncto E , donec perventum fit ad centrum o , quo de criptus circulus E R eurvam iN eodem contactus puncto secar, He potius Vol turia angulumque osculi REM esicis infinite parvum, nullus
enim iacet arcus circularis inter curvam EM,O 'circulum E a, paullo enim remoto centro C jam circulus eo centro deleriptus
non in E Ied in alio puncto curvam hecabit. neque alteri umquam circulo contingit, ut tu puncto ubi secaι curvam habeat cum ipsa tangentem communem ι H hi dicuntur circuti osculum tes de Mibns, Vir Clur . , in Privatis nostris eouoquiis jaepe commentati sumus. Punctum vero C in omnibus paraboris seri
propositae aequinionis E in F A inveni r si D-d F GM : alia portionis axis x H inter normalem E κω tangentem E H j centis ex G erigatur axi per nicularis G c . ho enm occuria ροι normali in quaesito centro C circuli osculantis . suare δε-
V1IL Herum, Vir Clari f., non circulus.tantum, sive alia curva pote I aliam curvam in eodem puncto, ct tangere, O secare; sed dantur ritum in aliquibus curvis puncta quaedam. qua vocam contrarii flexus, in quibus curva ista ab eadem recta linea, oe tanguntur, 9 Iecamurr H pro exemplo curva illa , quam Docti mus mag-sque Geometra Guido Graiatis versertam nomιuat, quamque describit in livis quadraturis prop. rv. in corou vi. prop. 3. in notis ad Galilaei librum de motu naturaliter accelerato Hac enim euris A D E d in istis initio a DE concava es versus Iuam QImptoton a c. ivueque ipsib vertis
25쪽
recta a H , qua H. MIus trianguli aequianguli eidem circulo inscripti, producatur usque ad ast toton in s. or ex ' om Hur ad curvam recta E E., haec disterminalis parum come vam A DE a convexa Ed M. D idque in VI toto Ecαε A.
res, una ne e G D rangens partem. cu Me cavam, at cra ad . i. convexam, quae dua tangentes, dum punctum G ea in C, in
T. Si in deseri ionibas verseria quas adhibet Claris. . P . Grandus locis supraritatis pro circulo genuore ponatur quaelia det HI sis, alia habetitur versiaria milis erimc s. natura enim.
26쪽
memorD Me aliasroprietate exprimi potest, ut ordiam a Myod axem AB A AFt vh pM' : ad quadratum alterius si neae constantis, ,quae comuni εμ mr aequalis ipsi Aa babeti stur versoria prmcipalisper circulum genita; α si pro consam e ponatur quaelibet alia recta major, vel minor ipsa Aa ctiambitur alia memoria eodem prorDa modo genita Mi m. eujus diametri coniugata Ru A a , O liuea illa eon Ians. In eadem figura supponatur ΑΗs est sis, cujus coniugata dia WMeν Fonmu qualis B R ; erit punctum Resinitium ramo mas cte. sumi in vo horia Frimaria per circulum genim, ubi
BR BA , initium ramorum erat punctum Α) it aut Iubtangens
cp μι etiam his tertia proportionalis post a Fa , 5 ra ; O
mum iratium AE c M ad partes a iusinite extensum quadrupium esse ellipseos genitricis . AHB, O quoia resementum ADMν abscissum per quamlibet ordinatam MP quadruplum segmemi euptiei AHQ. , sicuti de principali versioris , are de suo circulo genitore demonstravit P. Grandus in suis quadraturis. Sed alit' quam ipse ostendit facile, o magis vinive aliter hoe id m demonstrari potest ex bac alia hujus curva vers
riae genesio Sis quae bet est μ λ Nn in eadem Aura cujus
. E . D . Ex hac, rvquam, genesi facile deducitur, spartum ADM P per quamlibet ordinaram M p iv -Vrem abscissum qum druplum este segmenti, Jea bitanei eo=respondentis A Nn in e . sine genitrice; etenim ductis insivite proximis oramaIis M pN.d pD , ct ex a demissa super tangente perpendiculari Av'ε b a erit
27쪽
AS: Au, sive Nn: Pp τ::MP: AV;- NnM A maMP P p. hoc est natiolum elementare M p pd quadruplum trianguia Memflmaris A Nia, O summa illarum statiorum nem se tota area ADMP quadrupla summa horum triaugulorum sve totius area AnN curia AnN , O reM AN comprebem D. Hocque valet non in versoria tantum per circulum atit in
finem genita . sed in qualibet alia curva ADM simili modo perquam beι curvam AN B prognotam . quinetiam mo tangente ad veniem As fumi potest quaelibet alia recta ordinatis p rallela ducta ex quolibet alio puncto sive in ipsa diametro B A , sive is ea Producta, eEdemque constructione quodliiset Datium AN B romprehensium curia qualibet Nn, O ramis AN . AB ductis in puncto illo A unde applicata est recta AS , tras orae ri potes in aliud patium Ma BP δειam babens rationem ad primum A Na, applicando scilicet ordinatas p M in δειa illa ratione ad dimidias A s abscissas a recta Λ s per correspon
XL. Iam vero silentio hic haud certe pereurram aliam ha- curva versoria genesin per fectionem axi parauelam solidi acuti Buperbolici: Describatur enim inter ab ιμω A A . A Dbverbosa F c cujus ordinata D F , d f ad Uymptoton A D με in subduplicata reciproca ratione abscissarum Ad, AD , quae perbola mesolabica Claris. Vivianio dicebatur, revolvaturque talis Buperbola circa agmptoton AD, solidum inde prove. mens Iecetur avo ad axem AD parallelo. eritIecho illa accino stra versoriai; oest quidem abscisia AB aequetur ordinatae ac , fessio Ecc erit versoria primaria per circulum genita . quod si a A major sit, uri minor ipsa B C . sectio a CG erit
una ex versoriis a nobis num. x. consideratis genita per eialium cujus coniugatae diametri sint B c , B A . Hoc facile δε- monstratur ex ina curvae genesi, est enim quadratum ordinata
monserata. Euod si huperbola Fc , sit cujussis; alii gradus. ita ut sis DF : d f :: AP : AD , γ δε liter revolvatur circa oomptoton AD , sectio Boa axi AD Parallata erit una
28쪽
XXV ex versoriis, quarum generalem aquationem dedimus num. ix. Sed quo tandem nos pertrabet versoria tua curva quidem semo praestantissima R Me pro instituto nostro 'sius pertractasse, sed pro curvae dignitatae levi bracchio attigisse sinciat.
XIL Inter aliena forsan a muro proposso aeutius quam fig is s. par erat bucusque vagati Iumus, ut nisi epistolae limites prater ire velimus, cetera paucis concludenaa nobis sint. Relum tur ergo figura i8s . . in qua parabola quaelibet AE a tangat cir lum datum in puncto E . ex quo ordinetur EF ; sitque circuli semidiamcier DC ma, DF quam quarendam miti propono , erit FE V f x-x XJ, O ducta Eri tangente, ob
CF : FEraFE : FH , erit FH X-xxj οῦ x-a , cum amrem E H sit communis tangens, tam circuli, quam parabolae, erit E M Jubtangens ut in parabolae, quae proinde aequabi. rur a P A ffupposita nimirum aequatioue parabola EF .PA . quod si generaliter de parabolis cujuscumque gradus calculum vistituere quis velit ponere debet aequaIionem E m FA , habebitque subtangentem FHα in F A ; vos autem quoniam ex hac porbesi valde prolixus evaderet calculus, ne rixa algebrar- ea plus aequo increscant, eum tantum de parabola ordinaria in
ri . , sibi vult ealculus iste , quam ostendere Imrbasem a cicujuscumque parabolae ordinaria dato circulo circumscripta aequalem fore portioni op diametri ab ordinata ex puncto contactus E abscisiae; quod facile patet ex eo quod ob tangentem circuli EM) ιι H D: DF :: DC : CF , ct componendo HDDν.Fue sob tangentem EH parabolae . cujus vertex A , Me que ' ΑpmAM 3 1 AD : DF :: DF : Fe . atqui pariter ob parabo. lam AER , cujus Iemiporameter aequatur subnormali FC , es
sbari potest , ordinatam Oc esse aequalem reliquae parar a Fiametri o D . Hoc posito XIII Spatium quodvis parabolicum BAD myus aequano BD ωDΑ , aequatur m : m-iὶ rectanguli Boa, O in
29쪽
sios, qua aegratis p r circulum , O parabolam ita facile eonstrui
culi cD descrista. sum ex T ordinara aec erit aequalis parti DP Iumenua in Gametro circuli dati, ut habratur sisia ordinata r g ) punctum E ubi tangere debet circulum Iarabola et ei cu cribenda qualis 2 DC Mu.
XIV. Si disseremia 'pradictae quantitatis x i sax-ia in
parabola proportionalis aequetur nihilo, vel per Huddenti me-uodam , si aequationis jupraposita X . - .a a N Σ - - 2 a a N O simguli tern sini multiplicentur per respondentes ter vos fragressionis arithmeιica O, - I , - 2 , - 3 , habebitur x L a. quod i n. is s. dicat minimam parabolam omium , qua circulo .circumsor Possunt eam esse quae circurum tangit in puncto a uti de is r Eo inma ex puncto F medio radii C i quare pro ad diam tro circuli Do usque ad uom C , parabati venise Α , p rameIro :Cα detcripta eris minima omnium quae circula E us circumsicribi posunt, ejusque umbilicus eris punctum Q , M. ip 3. XV. In praecedenti Aguras parabola, ct circulus se contingunt , ita ut ordinata TQ . t g, aequales evadant, his bisur. . ut diximus num. alv. , parabola omnium misima . at uti par bola, O circulus secamur in duobus punctis T. O t, duo tunc erum positivi valores incognitae x in equatione . ita ut situ axe D in fumantur duae portiones D F . D f aequales imissi T , g t, ordinenturque E E , f e , parabola quae circu*m comtingunt tu punctis.1E . e , erum aequales , adeo ut hinc imde a parabola minima semper sint binae parabola aequasiι Wque dum deventum si ad parabolam conueingentem circulum in das puncto supremo a , cui parabolae nil alia aequalis in ahera parte inferiori circulum contingens, quae uι iuvenIatur notauia dum est, lemibasem D B Pambola comingenti in vertice a
30쪽
.quabiuis par bala tangssui tu vertice o . quae meus amicumque dura parobo ex una . mrte ejus quae est omnium minimia insualis ex altera parte iuueniri potest; quia H iam
via ag de locis eo locis qua iam comaetas arca continenis
vr, illae enim sis infra punerum e u que ad sinem quadram rG tangu ut ιιrcutam majores semper fiunt in infinitum . ita ianuisa paraiala, qua circulum stringit in extremitalitas iam metri in infinitum rectangulum diameimm ipsam circuli aro, si si enim igem a. XVI. Si pro garobodis. circulo circumsicritamur trian D,
riam in s oriunetur Genim dictum. Irrangulum eineusum rariti tu Ε . eruque triaugurum boc quuaterum . . a Maninime iam ante triennium cum adsiue in Eu si e prima geometria elementa gustiarem apodixin. invenisse non iuelegantem, . quad-onstraveram Aurarum omnium parilinerarum circuisciuumscriptarum aquil teras sei omnMun 'ii Masta mini
dere minimiam spatiam pAD comprehensum rectis Ara . PB, in qualibet parabola B A circulam contiu te tunc .habebitur . quando parabola illa tangit cireulum in sancto E ubi periphie. ria accurrit ordinata E F ex medio puncto F radii cα; favi enim ger meshodum suma exstolum aequa7ione eurimerue