장음표시 사용
31쪽
minimum spatium B A D , rasis aequario dividi potes per x-
La in o. indicat semper lumendam ese CF - 2Co ad hae uti ordinati FE , habeatur punctum B ubi parabola BA --stumum Datium BAD comprehendens tangere debet circulum.
XVIII. Quae bucusque ricta IIunt: θ quae Ionasse infra dicemur eddem plane mesbodo ivveniri possunt β natis Bara
terminentur 'r quamlibet aliam ordin tiam b d , ori apesis ' enim od , ve D b, erit Fd, - F δ α x-b cetera ut Iupra , t et enim emdem calcare viam: tantum addam ad habendam minimam parabolom cujuslibet gradus h Ad, vel β Αδ applicandam ese ordinatam EF in viam proportionalem inter d F , uri δ F , 9 o F ut babeatur punctum E ubi purabola minimum illud spatium t rabolicum comprehendens ta ere debet circulum. XIX. Placet hic quod primo de minima parabola ortu
ris , minimoque triangulo, d inde universatiter de minimis parabolis cujuslibet gradus analytice Geruimus, geometrica aliqua demon attone confirmare : sim ergo paraboia ejusdem gradus B EA, re a. quarum altera rea tangat circulum in s quolibet puncto e. reliqua vero B EA' tangaι in puncto E uM desinit ordinata ex puncto F medio radii c α; dico parabolama E A D mi=iorem ese parabold r e a D οῦ quoniam enim C F m F α,
subtangens PH aequetur m P A , erit errum D F m m P . . inrad. m ratrone dimidatur axis D a parabolae rea in s , iat sis D s m m s a , cumque dum ordiuat A s n , ac tangente n p sit etiam p s m s a , erit Ds m Spἱ q re proaucta, si opus est, rangente pia usque cum Iecet in q ordinatam pκ productam quam necessario fecisti extra circulum) per 27. vl. Hem. rectangulum n s m so majuFerit 1 angulo qF M FD. O multo majus rectanguis EF HED ς est autem n s M s D asE F M P D in ratione composita ex ratione n s au E F seu r Dad a D , O ex ratione s D ad F D seu a D ad AD, quare rectangulum rD M Da majus est rectangulo BD M DA . se
rabola raD subsesquiastera. primi reduetuli major parabola
32쪽
n Ao subsesquialtera fecundi recto si . et . E o c Eadem est
demonstratio si parabolae reminentur qudlibet alido inues h d o, tune enim ad inveniendum punctum E ubi minima parabo- D tangere debet circulum ordinanda est F E media inter d p . HI δ ν , ct pc, ut lustra dictum es, quare etiam in hoc e Iu proveniet d p , vel e F aequalis fustrangenti FH ; cetera ur
XX. Si circa axem A C D revolvantur figurae ut fiat sphera E in D, Oei circumscripti eouoides parabolici. quoniam conoides par o cι po ua aequatione parabolae E mFA) aequamurm: m -- a lindrorum ejusdem baseos O altitudinis, erunt conoides proportionales olindris ejusdem baseos ct altitudinis. seu proporaionales quadratis diametrorum hasium in altitudines ductis. Hinc stristemata, quae de parabolis planis soluta sunt. fomentur facile de conoidibus ἰ perque intersectionem circuli, , O parabolae non multum ab ili modo , ac num. xiai. factumes, circumscriti potes datae sphaerae eonus, sive conoides par
holicum data quamlitatis . t uiuimum conoides genitum ex parabola cujusibri gradus, minimumque eonum senisum ex triam gulo habebis . δε sumta CF-Δca , ordinat ue PE , paratiis lam, sive triangulum B AD circulum in E contingentem circa axem D A revolvas. Demonstratio eadem s. quae de minimis parabolis planis numero praecedenti tradita, eum hae in paritate , quod hic, ob in F a P C, erit H F a FD, quare ob H pri m p A per aquationem parabolae E F F A J DF:PA :: mr a. O in hae ratione dividenda est in s diameter D a alterius cujuslibet rabolae r a D , ut fir D s: S a :: m : a ; unde preM-niet subtangens p s dupla ipsius S D , ct factum ex quadrato
ardinata n s in s D majus sui mox demo rabimus) quum factum ex quadrato q F in F D , mustoque majus quam factum ex quadrato E F in FD; atqui sob homologas ordinatas E p .
raD : ad ramides BAD ; quare lilia conoides ra D majus erit se hoe comide BAD, quod proinde erit omnium sphaerae circumscriptorum minimum . m. E . D . Ut vero constet productumn sy M s D majus esse producto q F' H F D , quod supra supposuimus, sequentem propositionem unde hoc penda generat ter de monstrabimus. Qualibet recta linea DA Da secetur in F, ut fig
33쪽
A vpud r A tu qualibet Ara ratione m ad n ς dipo factum potestate m portionis P E in potesatem n portisvis F Α , omnium si ilium factorum se maximum, majufi nempe quom st in alio ναμ s) factum D in M s P . Lenim sim, O naequeIuur propositio constabit ex a . vi. et . quod F sint inas ales, Iu m majρr quam n , O DF maior erit quam P A . rum descripta vertice A diametro A D parabola A B ut poιsates m ordinatarum proportioventur potestatibusn abscisarum, quφparabola concava erit versus Oxem AD, κωdinatisque FE , se , aς dum tangente EH , erit H F t FA
XXL Eadem quoque problematas si psunι desuperfici
bus comidalibus genitis a qualibet parabola RE A circulum. DE NUense, ω circa diametrum D et revoluta . Sed prius drumetiendae sae ἴgerficies a quod generaliter praenabi a prae. missis duobus hisce lemmatibus tu mechanicis , ct geomerri ci o
prime utilibus, deri ab aliis jam tradi a , oe exposito δες. LEMMA PRIMUM.
XXII. Si seupra planum quodlibet plura gravia exsant O e Angulorum centris graistylis agantur ad planum iure perpendiculares; μνπω productorum exi fingulos gravibus iu
34쪽
extremorum eluale facto mediorem, hoe es MN BE-MM MPm
M--NJMBE. R. E. D. 2 Od si plura si, ii corpora M , N , A M. eadem erit demonstratio, isuo enim N, N ut unum corpus eois Merari posiunt, euius centrum gravitatis sit punctum B ; cor tria M , N . A ,- us corpus solitarium cujus centrum fit pum m c, O ita Diura exsam corpora; quare patet Q . E . D .
Hine disso quolibet grave ac d in sivas eomponentes partia rarias infinite parvas a , h, d cte. ductisque ad quodisset plainnum s h perpendiculis a f, h g , d li , M. erit omma frictorum ex qualibet paraicula in fluum perpendieulum aeqtialis summa omnium eo oventium, seu integro gravi a b c d ductetm perpendiculum ex ex ipsius centro grauisatis C.
XVIII. Si 'lures magnitudines circa axem aliquem re Solvantur , summa productorum ex quolibet magnitudine tiviam, heu peripis iam . quam in revolutione destribit proprium esusque magnitudinis centrum gravitatis, aequatur producto ex omnibus ut magnitudinibus in viam, seu cireum rentiam, quam describis commune omnium gravitatis centrum: . GMagnitudines M . N revolvantur circa axem p x: dico is 394ή summam productorum ex M in peripseriam descriptam radio PM , ct ex N in peripheriam descriptam radio N et Mamri producto ex M -- N in peripheriam descriptam radio E a a centro eommuni gravitatis B . Eademque est demonstra tio qua lemmatis praee edentis: sante Auidem eddem edin iractione est M :-:: N QP B E : B E - M P :; mripseria radii N o demto peripheria radu BE : ad peripheriam radii ag demidperipheria radii M p ; O productum extremorum aequa D producto mediorum, hoc est M in peripheriam radii a gminus M in peripheriam radii MP aequatur N in peripM-riam radii Nota minus N in peripheriam radii BE; si is Mis peripheriam radii BE rem cum N iu peripseriam ejusdem
35쪽
radii sa aquatur ipsi N m peripheriam radii N L. timet eum M in peri eriam radii M p - αι E. D. Idem quodsupra diaximus in lemmate primo bis dicendum si plura sint pondera
M. 39s, In figura praecedentis corolgarii diuis d qualibet magiaturinea c d in componentes particulas in ire larvas a, b, d . m. revoluthue eirca axem aliquem f h , summa productorum ex qualisci componerue in peripheriam quam in revolutione deseria ou ejus centrum graυitatis , Me est s olidum ipsium , Me Ive Aries quam magnitudo aec b in revolutime describit , aquati. ιμrproducto ex ipsa magnitudine ac b in viam sim peripiariam radio CR descriptam a totius magnitudinis centro gravitatis C. Hae es celebris Guldini regula permagni usus in mechanicis, aia
XXIV. His positis fit qualibet figura comprehensa
sg. xs6. diametro AH , ordinatis As , HK, θ' qualibra curia SDκ , flatque ad eamdem diametrum AH alta curva MR N' DF omianatae RB Ant aequales normalibus DF prima curva: Dic superficiem KDS genitam a curva ΚDs circa axem .ΑΗ r voluta esse aequalem circulo cujus radius. ρυμ duplum areae. N M A H comprehensae ab alia curva , iisdemque ordinatis , Odiametro ., Siquidem ductis orivatis infinite proximis RDs.
ergo Dd DB m BR Bbm stariolo R B b e , ct hoc ubicumque ordinentur BR , br ; quare summa spatiorum RBbr, sive t mmisatium N M AH AEquatur summae omnium D d in correspondentes ordinatas D B , sive sper corosiarium lemmatis pri. recta uis ex curva KDs in ordinatam C G. ductam ex centro gravitatis C ipsius curva KDs; quodsi patis NMAH supponarur aequale rectangulum a L OM , erit hoc rectangulum aequale rectangulo ex curva ΚDs m CG , γ O. ad ΚCs , erit reciproce ut C G ad O H , sive ut peripseria descripta r
dis cc ad peripheriam dejoriptam radio a Aio productum remorum aequale producto mediorum , boc es a L in periasberiam
36쪽
pseriam rassii cin , vempe sindrica supergetes deseripta a re
M uti circam axem AH revoluta, sive dicas sper xvl. lib. r. de Ipsi O Archimedis circulus, cujus ratuspost duplum rectanguli ALci H , Me duplum area NMAH , aequatur ipsi curvae KCs ducta in peripheriam radii CG , nempe sper coroll. lem. a. in curvae superficiei descripta ab ipsa curva Rc s
XLV Dimetiendum igitur si fieri potest spatium NMAH,
O in terminis anal ticis ponendus circulus superficiei genitae a curva ΚCs circa axem AH revoluta aequΠhs, quo facto omnia fig. is s. problemata quae de figuris planis circulo dato D Emcircumscripsis soluta sint Divi paritcr po taut de severssiebus ab ipsis
curvis B E A in Uya rotatione circa axem D a genitis . seu desuperficiebus solidorum eidem Iphaerae cis micriptorum . Si fo-sida tria r eoni, dr quaeratur conus minima curvae superficiei inter omnes eidem sphaera circumjeriptibiles, invenietur jumem dam esse DF m Urio, aequalem nempe lateri quadrati eidem circulo inscripti, ad hoc uι ordinata FE punctum E determinet. ubi lotus coni minimae curva superfletei circulum Jhaerae genitorem tangere uehet; quod placra etiam geometrice demonstra.
re ; Ita praemittendum sequens. - LEMMA TERTIUM. XXVI. Diiasd qualibeι recta cis bifariam in C , ct inter M.tgo.
D si , D'postid medio loco proportionali Dp , erit rectavgulum ex up in re ad Fo applicatum omnium similium maximum, majus nempe , quam . vivird recta Dα in quolibet alio pum dio s. rectaneulum a s in s C ad SD applicatum. Hariis modis hoc lemma demonstrari potes prout variis curvis quis utitur, nos brevitatis, cui unice Rudemus, cavsd, unam, vel alteram, ct fortasse etiam tertiam demonstralaonem hic asseremus. Sit ergo primo super OS parabola QMC cujus axis Sm per pendicularis ipsi Ac ex ellus medio puncto s , eique ordinetur FM ex puncto F , O iu puncto M tangaι M e , quae produc tur donec concurrat cum F C D in puncto aliquo , cujus distantia a puncto F dicatur subtangens ; eritque e s - M F ad MFM Es ad Iubiangenteis ; sive ductam in parametrum ad
37쪽
Mp Maam in emdem parametrum, u P ad F s tactum in μειι tangentem; atqui primum amecedens duplum ea fecundi antee demis, ergo γ primum consequens duplum secundi consequem
a Ff pD, sed demonstratum fueras ea M Fc duplum itidem ν us ps in hubtangentem; ergo FD sitsa sub avgens; qua re juncta D M tanget parabolam in ut igitur MF ad es t ero ad os) es in minori ratione quam MF ad ms , sive
- Secundo supponatur o c hemisinulus 'per diametro userectus , ori idque ex puncto F rem FM describatur per M
s eliam Ff : Fc re nos i ad circuli I tangentem ab istam per tangentem in puncto M , quare a FD aequatur huis sutit agenti οῦ itidem tangens parabolae DM in eodem puncto it amscindit subtangentem duplam ejusdem FD; ergo p rabola. di circulus in puncto M communem habent tangentem . proindeque se iudicem tangant, circulusque in ra parabolam to us iacebis: quare DF ad os s Ru ob parabolam MF ad es ) erit iuminori ratione quam MF ad nis , sme a P C ad osse s ob
h x o A: A b patqui o b : A b :: a b r ad sustrangentem circuli; ergo ex aequo perturbare o b : O A :: b K : ad subtangentem circuli; flve subtangens cireuli ad radium Ο Α , utjubtangens υe fariae b g, ad abscissam a centro o b, possis aurem A B , h B, o a
tinue proportionalibus , subtangenν circuli ordinata ex Functo
38쪽
o A. e descripta sisnonatur per punctum E Θperbola secundi gradus , ut nempe quadrata ordi Iarum Ε h respondeam reciproce abici sis ob, γ consequenter uι habeati tangentes K b duplas ab issarum o a ; haec is eristi in puncto E communem cum υer horia habebit tangentem E R , θ' extra ver inriam jacebit cum enim supra demonstratum H D tangentes versoriae esse ad absisias ut subtangentes eireuli ad radium, Θfubtangens circuli ordinata αδε correisondens sis dupla radii.
in ordinatis vero a centro o remotioribus subtangentes eirculi ut minores quam dupla radii, in propinquioribus majores; eris etiam jubtangens verseria ordinatae E b correspondeus d pia ab iga o h , in ordinatis autem remotioribus a centro ojubtangentes versoria erunt minores, in propinquioribus majores quam dupla absisarum; eum tamen subcaventes Θpe bola sint ubiqne earumdem abscissarum duplae ι ergo Θperbola in partibus remotioribus altiores habet tangentes quam versoria, in partibus propinquioribus humiliores, quare extra versoriam jacebiιὶ . igitur, ex quolibet alio puncto a ordinara ad vers-riam recta D a , erit factum E h M o h majus facto Da M o a; atqui, per dicta pum. x. , E b'. Da :: A bt B bin . saa: sa ergo AbMbo: sh majus es quam Aa Mao: Ba. uuod E. D. Ahas ejusdem lemmatis hic asseris demonstrationes Dperv coneum fortasse videri posset, verum ob novae qua utar curuinconsideraἰionem, ceterrs praetermissis, unam adhue addere lubri. Divisa ergo recta Dcc bifariam in C, vertice C . diametro
C a describatur curva C ML talis naturae ut ordi Iarum FM,
Ls quadrata poportionalia sint avrilsis a vertice Cp , CS adestumias D p, D s ipsiarum ordinatarum a puncto fixo D π-
suncto D , in quadratum ordinatae r M ad quadratum asterius liveae Gustantis puta cE , quae si ponatur ex vertice C o tua tis parallela , O ex E agatur E κ parallela diametro c P . erit ima E K curva ab totus, nam ad infinitam a vertice Cislantiam orcinata P M e dit equalis constanti C E , quippe
ibi erit etiam infinita abs a c F aequalis infinita D F . Sub-
39쪽
Xxxv itangens hujus eurva ut infra patebit erit quarta pro m
tionalis post con tamem DC , abscisiam Dp a puncto D , O duplum abscisam a vertice CF οῦ quare ubi tres D u , DF , DC sint, ut in casu no Ira , continue proportionales. adesoque dLvidendo sit FE : Fa : : DC : DF , erit etiam Fc ad F a. sivea pC ad 2 FQ. ut a FC ad sutiangentem , qua proinde aequatitur arci. Hinc symptotis C, K dbcripta per M pem tila secundi gradus ut nempe quadraIa orinatarum FM rein ciproce respondeant absilsis rQ , ac proinde habeat subtangen. res duplas absisarum . Me Operbola communem in M cum curva cM habebis Iubiungentem, O tota extra ipsam jacebit, quare ordinata ad curvam illam qualibet alia L s , erit ratio υ ad os major ratione L s' ad MM, sive C s: Ds ad CF :
XXVII. C ML in hac ultima demonstra ione adhibita, cum a curva versas ta non admodum disserat, nee valde divebas ab ea insignes habeat proprietates a nemine, quod sciam. bacti Mus adnotaras . in edim contemplatione tantisper immoraminos jubri . di quidem quo ad ejus generationem eodem modo generatur per buperbolam, ac Per e twem, vel circulum verseris, adeo ut hanc veryzriam ellipιicam , illam versoriam Operboliacam appellare liceat . In nostra versoria defriptiove num. X.
exposita si loco ellipsis buperbolam ponas hanc habebis curvam;
u. as . D in eadem Rura CN hyperbola cujus vertex c , diameter ιransverga CD , conjugata CE , raugens ad verticem CH D-cetur in es ab alia N s rangente in quolibet alio puncto N . unde ordinetur N F , quae producatur sque dum occurrat cum, vae C M in M ; dico ordinatam FM quod etiam de versoria eodem prorsus modo per esi sem genita num. X. probavimus duplam se inius C H : etenim ob naturam curvae C M supradictum est CF: FD :: FM' : CE'; atqui ob tavgentem Ns effCp : FD :: CT : TD :: CH : Ds :: per 42. III. Conre.
Iuod E . D . Hinc infertur spatium quodvis c M F coordinatis C p , F M , O curva C M comprehensum quadruplum esse comr pondentis segmenti Θperbolici C N ramis a vertice C du os, ct curva Θperbolica similiter comprebensi, sicuti de veriboria per ellipsem genita num. X. demonstravimus. Item
40쪽
Item si in descriptisue versoria, quam MNbet Q. P. Grandus
in notis ad Galilei librum de motu naturaliser acceleraso propin 1 M. corosi. v I. pro circulo ves ellipse Θperbolam substituasmaram bane habebis ire loriam Operbolicam c M e Iis in eddem Aura Θperbola Dpra descripta C N , quam tangat ad verticem recta e P , cui ex altera diametri extremitate D ducam tur quotlibet recta Dp, Dp Θperbolam secantes in N, R, -- de ordinatis N F , ns , compleantur rectangula PCF , PCS , Fue C M , C L ad alias partes diametri; curva per puncta M , Lducta erit nostra versioria hyperbolica, quidem ex ejus natura in postrema lemmatis demonstratione iudieata es CF: DF:r
monstrari facile potest quod Iupra assumpsimus in ultima lemm
tis demon Iratione, subtangentem nempe. jus curvae se quam romproportionalemps oc , duplam abscissa CF , O DF; et nim ductis infinite proximis D p N , D p R , productisque ordia nard pN , ct infinite exstud disserentia abscisiarum nN , Qque dum occurrant ipsi Da in g ; erit ordinata FM adsultam gentem, ut Gn ad M m . sive ut fp ad Nn, atqui rario P pad N n componitur ex rationibus P p ad N f, N f-N g, O N gad N n, quarum prima eadem es qua CD ad DF fecunda eadem qua o P ad c D , O tertia s ducta tangente RNT eadem quae
DT ad T p , 'u D c ad ac F ob tangentem Θperbola NT; quare ratio ordinatae F M ad subtangentem componitur ex rati nibus CD ad DF, Cp ad CD, O DC ad a CF , sive ex rati nibus C pseu F M ad DF, O DC ad 2 CF; adeoque ratio D c ad 2 CF componitur ex rationibus D E ad PM , ct FM adsis. tangentem, seu eadem es ac ratio ipsius DF ad subtangentem. . E . D . Eodem prorsus ratiocinio invenietur, subtangentem
veryoriae per elli em genita simili analogia in axe jumendam esse. Hemmenimvero si alteram curva versoriae per ellipsem, vescirculum genitae constructionem quam iradit idem doctissimus
P. Grandus in quadraturis prop. i v. ad hyperbolam applicetur, non eadem emerget no Ira cur CM L , sed ejus reciproca v x