장음표시 사용
11쪽
lv v α ae r A ae r o solutione problematis, est aequationes In
venire inter cognitas,u incognitas quantitates. Quum problema est determinatum , semper tot licebit aequationes invenire, quot occurrunt quantitates Incognitae . Inveniuntur enim aequationes per conditiones , appositas in problemate. Et ad determinandum rite problema, tot oportet in eo conditiones apponantur, quot fuerint incognitae quantitates . At verd , quum problema in inde terminatum , tunc nequaquam poterunt tot a quationes inveniri, quotus est numerus
incognitarum . Et denique , si problema fuerit redundans , sive plusquam determinatum , invenientur multb plures arquationes, quum occurrunt quantitates incognita .
Inventis in resolutione problematis determinati tot aequationibus , quotus est numerus incognitarum , in id delude incumbendum, ut ex omnibus iis aequationibus alia deducatur, quae omnes problematis conditiones includens, unicam tantum incognitam comprehendat. Haec aequatio illa est, ad quam problema pro- pr ὀ reducitur. Sed quoniam ea non semia per est apta solvendae propositae quaestioni rproinde ultimum, quod fieri debet in re-
12쪽
P R. AE T A Y r b v solutione problematis , est a quationem illam principalem ad simpliciorem expressionem subinde reducere,ut quantita tes cognitae ab incognita, quantilm fieri potest, separatae reperiantur 3 eandemque ita deinde resolvere , ut Valor incognita per solas quantitates cognitas expressus
AEquationum legitima reductio obtinetur notissimis quatuor opctationibus, additione, subtractione, multiplicatio. ne, I divisione. Sed interdum adhiben da est quoque sermatio potestatum, scilicet , quum in aequatione quantitates ra dicales occurrunt. Quin etiam si contingat, omnino notum esse quidquid in uno aequationis membro continetur , 2 in altero reperiri persectam aliquam potesta
tem , tunc per radicum extractionem ae quatio reducetur . Resolutio autem aequationum pauid dissicilior deprehenditur , nec tam facile , quemadmodum reductio , potest obtineri : unde indicato tantum . qua ratione aequationes secundi gradus resolvantur , deinceps materiam istam ex integro tractandam nobis propo
Expositassummatim methodo, qua utitur Λlgebra in resolutione problematums
13쪽
vi P si AE F Λ T I oeadem ὁeinde exemplis certo consilio e lectis in Tyronum gratiam illustratur. ALseruntur autem primo loco problemata nonnulla arithmetica , quae scilicet circa numero, , sive quantitates abstractas o cupantur . sunt quippe hujuscemodi problemata solutu valde iacilia , eaque proinde Tyronibus primo loco propone da . Neque enim aliud in horum probi matum ristolutione . fieri debet , qu mconditiones. in iis appositas , algebraicis terminis designare . Nam eo ipso, quo id efficitur, illicd tot habentur aequationes, quot occurrunt quantitates incognitae radeo , ut si aliquid sit difficultatis in rein solutione horum problematum , ea tota in invenienda problematis aequatione principali, ea itemque legitime reducenda potissimum sita sit. Problemata arithmetica excipiunt problemata , alia , ex Geometria deprompta. Horum resolutio est pauid difficilioris indaginis. Quae enim in iis quaeruntur,pendent ut plurimum ex figurarum proprietatibus : Proindeque, qud possit Analysta problemata geometrica ad algebraicos terminos deducere, necesse est, ut figurarugeometricarum proprietates , 2 accidentia perspecta habeat , ac explorata. Debee
14쪽
et iam Trigonometriam, Datorumque D ctrinam non ignorare. Nam contingit si Pe saepius, Re in Calculo peragendo nouea , quae proprie data sunt, sed quae ex iis
Consequuntur, debeant adhiberi. Inter problemata geometrica extat 2 illud de inveniendi diagonali altera parallelogrammi ex datis lateribus , & diagonali una et unde subortum nobis theo rema illud, Pythagoreo longe universalius , quod in omni parallegrammo qua drata laterum omnium aequalia sint quadratis diagonalium. Extat etiam problema de invenienda diagonali altera quadri lateri, circulo inseripti, ex datis simi- liter lateribus, 2 diagonali una: unde deduximus celebre illud Ptolomail theorema , quod in quadrilateris , circulo in scriptis , rectangulum sub diagonalibus adaequet summam eorum , quae fiunt ex lateribus oppositis. Et denique affertur
problema Pappi Alexandrini de producendo latere quadrati, nulli non cognito, Cuius resolutio omnibus huc usque traditis rationibus docetur. Post problemata geometrica , sequuntur problemata nonnulla physico-mathematica , quae eo fine attulimus , ut intelligant Tyrones, qua ratione physic ma-
15쪽
vlia PRAEFATI thematicae disciplinae possint etiam eaI-eoli algebraici legibus submitti. Horum priora duo exhibent leg s, observandas ita congressu corporum,iuxta sanioris Physices principia. Tertium est problema ludi
trudicularis , cujus tres casus expenduntur. Quartum specimen praebet totius f eo Attis Ballisticae. Et quintum, sive po- .stremum est problema Torri cel hi de definiendat figura vasis, ita ut fluidum , erumpens per foramen , factum in fundo
eius , aequalibus temporibus aequaliter quoque deprimatur 3 cuius solutionem exhibuit primus omnium Dominus Maiariolte in suo de Aquarum motibus tracta tu, gallice scripto. His omnibus exemplis abunde,opinor, Illustratur methodus, qua utitur Λlge-hra in resolutione problζmatum ἰ proindeque plura alia congerere , superfluum duxi . Quia ergo unicum medium,
quod adhibet Λlgebra ad problemata
quaecumque resolvenda , est aequationum artificium , harum naturam , 2 affectiones explicandas aggredior : qua in re tria praemittuntur , primum , qua ratione atin quationes dividantur in gradus, 2 con siderentur velut congeries quantitatum,
quae simul aera , sive nihilum ada luent
16쪽
PER P AT Io. ix alterum, quo pacto ordinari debeant ae quationis termini, & a se mutubdistingui , ac tertium, quo artificio cujusque gradus aequationes ad formulas quasdam
generales possint revocari. Quoniam autem in omnibus aequati
nibus illud sedulb debet observari, ut
termini omnes sint homogenei ; de homogeneitate ista terminorum deinde disseri tur . Hanc in aequationibus numericis considerari stm periposse, exinde deduciatur, quod in omni numero tot semper dimensiones, quot libuerit , liceat disti guere . Eandem reperiri etiam in aequa tionibus litteralibus , quum nomina quantitatibus imponutur secundum Pr priam ipsarum naturam , exemplo ex Geometria petito demonstratur . Unde
conficitur , tunc demum terminos aequationis non esse homogeneos s quum
quatio est litteratis , Sc nomina quanti talibus secundum propriam ipsarum Dy-turam nequaquam sunt imposita. Sed considerata inter quantitates , quae
litteris designantur, unitate , eadem Ommnino ratione , qua inter quantitates numeris expressas consideratur 3 ostendit ut qua ratione, quum termini aequationis
nequaquam si u homogensti , possint
17쪽
2 P χ AE F A T I ounitatis illius beneficio velut homogenei considerari. Cui illud etiam sub ungitur,
eamquam ab eo, quod agitur , non omniis no alienum x quo pacto quantitates omnes velut lineae omninb simplices conci
pi queant, licet plures dimensiones habere videantur , quove item artificio , ininvecta in Geometriam unitate, liceat multiplicationem , divisionem, 2 radicum extractionem perinde lineis perficere , ac numeris fieri solet. a
Jam adhibita unitate productum,quod
oritur ex multiplicatione du rum linea ἀTum, erit non rectangulum, ut docet Eu-
elides in Elementis , sed linea altera siminplex. Unde ne in id Tyrones impingant, ad rem visum est , advertere productum Illud nec lineam esse, nec rectangulum, sed dumtaxat utroque modo posse designari. Quod equidem dum clarius ostenditur , verus usus , quem praestat unitas In Geometria, aperitur , nempe quod beneficio eius iationes , quae ex duabus. aut pluribus componuntur , ad simplices revocentur. Unde Colligimus, nucia etsi unitatis artificium in Geometria non. adhibuerint veteres, ipsum tamen usiam unitatis alia ratione , Ω fortasse Praestantiori, fuerint consequuti.
18쪽
P R AE F A T r o x Ex homogeneitate , in terminis euiuiaque sequationis observanda, progredimur
recto tramite ad radices aequationum , ea eundemque multiplices species explicanadas . Radicem aequationis vocamus valo rem , quem in ea hahet incognita . unde considerando aequationes , velut conge. ries quantitatum , quae simul Σero , si vanihilum 'adaequent, deducimus radicem arquationis talem esse debere , ut si loco incognitae scribatur , ejus conditiones adimpleat , faciendo , ut aequationis ter mini omnes contrarietate signorum evais nescant . ostenditur autem exemplis,ominnem aequationem , quum plures habet dimensiones , plures item radices ad mitistere . Cuius rei ratio su bnectitar , nempe quia interdum problemata , etsi determ iri
nata , pluribus modis solvi possunt rproindeque , ut iis per singulos casus saritisfieri queat, invenitur in cuiusque re solutione aequatici talis, quae tot radicea admittet, quot naodis problema solvi poterit.
Circa species radicum a quationis , as fertur prinid di vi lio illarum in positivas, 2 negativas. Huic subnectitur divisio at tera in reales, χ imaginarias , quae qui
19쪽
stenduntur. Qua autem ratione fiat , ut non omnes aequationis radices sint reales, nec omnes positivae, ibidem explicatur, ostenditurque radices negativas indicare nobis problema non esse rite concertum , sed debere pauid aliter enunciari; radices autem imaginarias indicio nobis esse , problema in iis, in quibus proponitur , terminis contradictionem aliquam Involvere, atque adeo moderandum esse aliquo modo , qub capax fiat Iuticnis. Ad haec docetur Constitutio aequati num s quarum plures sunt dimensiones, δε consequenter plures radice s, & ostenditur exemplis aequationes istas oriri permultiplicationem mutuam aequationum simplicium , quae ipsarum radices Cominprehendunt , id quod primus omnium
docuit Harriolus. Hinc verb deducimus, aequationem omnem , quae plures radices
admittit, dividi semper posse per bino-mium , compositum ex incognita minus valore unius ex radicibus positivis, vel ex incognita plus valore uniuS α radici-hus negativis , quod equidem quum fit, dimensiones aequationis minuuntur , ipsaque aequatio ad gradum deprimitur in inferiorem.
- Vicissim autem ostendimus, quod si
20쪽
Ρ R AE T A v et o xvi aequatio aliqua dividi poisit per binoismium in constans ex incognita plus, vel minus altera quantitate cognita, quantitas ista cognita sit una ex radicibus a quationis ; secus verb, si divisio fieri nequeat. Unde colligimus,quod num aliqua qud titas sit radix alicuius aequat onis, necne s Cognosci possit, non modb ope substia tutionis, nimirum inquirendo, num subis stituta quantitate illa loco incognitae seius conditiones adimpleat, faciendo , ut aequationis termini omnes evanescant verum etiam ope divisionis, scilicet dividendo aequationem propositam per bi, nomium,constans incognita plus,vel mi nus data illa quantitate . Ex tradita constitutione aequationum. quae plures habent climensiones , illud etiam ostendimus , aequationem Omnem tot radices habere posse , quot sunt dimen-
sones eius , & non plures . Sed qua ratione cognosci possit, quot ex iis radiclinbus sint positivae , & quot negativae squum omnes sunt reales , regula a Carteissio tradita docet ut , quae etiam extenditur ad aequationes , in quibus .unus exterminis intermediis deficit. Atque hiC . etiam eXplicatur , quo pacto fieri possit,