Elementa algebræ pro novis Tyronibus tumultuario studio concinnata, auctore Nicolao De Martino in illustri lyceo Neapolitano mathematum professore. Tomus 1. 2. ..

31쪽

x xlv PR AET ATIO constitutionem primus omnium Cari sus observavit. Unde, quum in secundistet mino cuiuscumque aequationis existae summa radicum sub signo mutato , deducimus, od quotiescumque ex aliquatiquatione deficit secundus terminus,tun C summa radicum positivarum aequalis esse debeat summae ex radicibus negativis. Jacobus Ozanam , Mathematicus Parisiensis , in suis Λlgebrat Elementis Conatus est problemata aequationum consti

tutiva , ex quorum ne ς resolutione a quatIones illae orirentur,determinare,sorte ne crederent Tyrones, aequaxiones ad

1ibitum sumptas fictilias esse, M ad nullum problema posse referri. Sed docuit per ambages id , quod unica,& simplicissi

ina via tradi poterat. Itaque ex cognita ratione, qua constituuntur coefficientes terminorum cuiuscumque aequationis, methodum generalem indicamus , qua mediante determinari possint problemata aequationum constitutiva , 2 exemplis ostendimus, sic rem concipiendam esse, ut pro unaquaque aequatione inveniendae sine tot quantitates, quot sunt dimensi nes eius , sed ita tamen , ut data sit non modb summa ipsarum, verum etiam sumisma productorum ex singulis bὲnis, sum

32쪽

PRAEFATIO a XV uma productorum ex singulis ternis, algu. ita deinceps. Eodem in loco docemus etiam , qua ratione in omni aeqviatione , etsi radices ejus adhuc nos lateant, determinari potast summa quadratorum, cuborum, alia inrumque altioris ordinis potestatum, quπex iisdem radicibus fiune. Id primus, quem sciam , tradidit Vir summus Isaac Nemtonus in Arithmetica sust universali:

unde limites collegit, intra quos continentur radices tum positivae, cum negativae cujusque aequationis . Nam quum

radicum omnium quadrata sint positiva, erit item positiva summa quadratorum,

ideoque quadrato Inaximae radicis maior Et eodem argumento summa quadrato- quadrator uin radicum omnium maior erit, quam quadrato-quadratum radicis. maximae 4 2 summa cu incuborum ma tor , quilin cub cubus maximae radicis.

Quscirca si limitem desideres, quem radices nullti transgrediantur , quaere sum viam quadratorum ex radicibus omnibus, 3e extrahe ejus radicem quadratam, quae quum sit maior maxima radige aequati nis , limitem dabit optatum . Sed ad radicem maximam propius accedes,si quae ras summam quadrato-quadratorum, u

33쪽

ii extrahas eius radicem quadrato-quadra tam 3 v adhuc magis , si quaeras summam cuboiscuborum , 2 extrahas eius radicem cubo-cubicam , atque ita deinceps. Cognita ratione , qua constituuntur . eoessiclentes terminoruφ cuiusque aequationis, facile nobis suit methodum excogitare, pro reducendis aequationibus compositis, in quibus aliquae ex componenti--uus sunt smplices . Nam, quum inter aequationes componentes una , aut plures sunt simplices; aequatio ipsa composita . necessarib unam , aut plures hahere de- ,het radices rationale, i proindeque eb res redit , ut qua ratione radices istae rationales erui possint, ostendatur . unde, quia in ultimo termino cuiuscumque aequationis reperitur id , quod ex continua radi . Cum omnium multiplicatione producitur, eruentur radices rationales , si quae sint , ex quacumque aequatione, si utique quantitatas in ultimo termino exilientis divisores omnes capiantur, ot inquiratur quinam ex iis substituti in aequatione in cognitae loco , conditiones eius adimin*leant , solendo , ut aequationis termini omnes Contrarietate signorum evane

scant ue in quo quidem scrutinio peragendo substituendi sunt divisores tum ligna

34쪽

P R AE ν λ fo r xxv I positivo ε cum signo negativo ; nam fieri potest , ut qui divisor non sit radix pomtiva alicujus a quationis, idem sit radix

Haec methodus eruendi radices ratiorinales ex aequationibus, ope divisorum quantitatis cognitas,quae existit in ultimo termino, duplici ex capite displicet nonnullis ; primi, quia non ita facile est, omnes alicujus quantitatis divisores invenire; 2 secundd , quia quum permulti sunt

divisores, omnes tentare , taedium assert. Itaque, ni his dissicultatibus occurratur, non modb methodus traditur satis expedita pro inveniendis datae alicurus quantitatis divisoribus omnibus ue verum etiam cautiones nonnullae indicantur pro mi diuendo labore substitutionis. Hujusmodi cautiones sunt quatuor . Prima, tentan do, num minui possint termini aequatio nis, ope illius transformationis , quae di- isione peragitur ue quum sic minuatur quoque numerus divisorum . Secunda,in veniendo limites, intra quos continentur radices tum positivae,cum negativae quum

divisores , qui eos limites transgrediuntur , tuct negligi possint. Tertia , rejiciendo etiam divisores , qui exceduns coefficituram secundi termini, quoties.

35쪽

.. xxvlia P R a P A T r o 'cumque radices aequationis , vel Um. nes sunt positivae , vel omnes negati is vae . Et quarta demum in aequationibus

iitteralibus negligendo quoque diviso

res duarum , aut plurium dimensionum, quum termini omu es sunt homogenei, 2 aequatio nequit transformari . ponendo incognitam aliam loco quadrati , cubi, aut alterius potestatis incognitae, in aequa

tione contetitae.

Λlter casus , qui considerari debet, in reductione aequationum ad propriam sedem, est, quum nulla ex aequationibus Componet tabus est simplex . Casus iste inaequationibus secundi, A tertii gradus locum habere nequit . Itaque dumtaxat contingere potest in aequationibus , quae plures habent dimensiones , quam tres. Prim. igitur rei periculum facimus in arquationibus quarti gradus. Et quoniam sequationes istae, quum in propria sede

non consistunt, nec tamen ad earum con

stitutionem ulla cos currit aequatio simplex , non aliter componi Possunt, quam Per multiplicationem duarum secundi gradus aequationum; visum est , in aequationibus quarti gradus tres casus subdis inguere . Primus est s quum utraque mctuationum compsaeatium secundo ter-

36쪽

mino caret. Alter, quum una caret se. Cundo termino , alia illum admittit. Ee tertius , sive postremus , quum in utraque ex aequationibus componentibus f Cundus terminus reperitur. Pro singulis

istis casibus tegulae totidem ad praxim is iis faciles , ac expeditae traduntur. Sed earum ultima pro omnibus usui nobis e se potest; quum casus , ad quem resertur. generalitate sua, alios quoque duos comprehendat. Ouoniam autem haec regula ad aequationes altioris gradus nequaquam potest promoveri 3 proinde pro reducendis a quationibus qua rei gradus , quum per duarum secundi gradus multiplicati

nem componuntur, visum est aliam methodum proponere , quae generalis est , ω ad omnes cuiuscumque gradus aequaei cnes potest applicari. Haec methodus p '

cedit, assumendo aequationes duas com- .ponentes in determina a , 2 conferendo eum aequatione proposita eam , quae oritur ex illarum multiplicatione ἔ quum iper mutuam istam collationem facile sies

aequationum componentium utramque determinare. Itaque alterius huiuν me

thodi periculum fit primb in ipsis aequa- tionibus quarti gradus, tum ad aequatis

37쪽

rinxi P a re F A Tis ones quinti , 2 sexti gradus eadem.applicatur . Sed in proponendi s exemptu pro reductione aequationum quarti gradus, . novimus qua ratione exprimat analvsis quantitates illas , quae plures valores hahere possunt , nimirum per quotientems qui ori dur , dividendo gero per Eero. Atque haec quidem quantitatum inde ἀterminatarum expressio sponte sua consequitur ex iis, quae de natura, ae calculo infinitesimarum priori libro exposui Mus. Demon stravinius enim infinitesimarum, hoc est quantitatum indefinite parvarum . aria genera posia considerari , sed geroessa velut infinitesimam ultimi generis, quum sit ultimus terminus, ad queavi quantitates decrescendo possint pervenixi . Itaque, quum ibidem ostensum sit. generaliter . quatientem , qui oritur, diamidendo per se mutuli duas eiusdem gene-τla infinitesimas , quantitatem esse fini τε .erit etiam qua itas finita quotiens, qui oritur , dividendo etero per gero: Proindeque quia quotiens iste nullum ha-

Ne valorem certum , ac determinatum, ..erit indeterminata , quantita finita ab ipso designata, adeoque pluri a Valori hus poterit explicari.

38쪽

stu ne in propria sua sede , sed semper ad

gradum alterum inferiorem deprimi: queunti quod quidem verum est, non modδ si radices illat aequalea sint commmensurabiles, ac rationales,verum etiams Dertne incommensurabiles , ac radi MIes .i Reductio istarum aequationum potest iisdem ferme regulis perfici, quibus alia. rum aequationum reductio instituitur. Sed placute, hujusmodi quationex spe iciatim considerare, quia nempe per vina longe faciliores ad propriam suam depri mi possunt ., Exhibemus itaque pro reduiscendis hisce aequationibus duplicem me thodum , quarum utraque in eo coasistit, ut una ex radicibus aequalibus inveni tur nam ea in venta , solius divisionia

ope ad propriam suam seom aequatio dein .

Primetur. b. . r 3

Prima methodus est illa , quam tradiadit Cartesius in sua Geometria, dum estu gentes curvarum docuit determi re . Haec methodus ita se habet . Mumanis tur in determinate tot radices aequales. quot. aequatia proposita supponitur Misbere. Tum ex iiε constituatur aequatio. quae pauciores quidem dimensiones,quam

proposita, habere potest, plures stulem

39쪽

habere non potest. Jam si aequatio ista nori' habeat tot limansiones , quot adis ni ita proposita, multiplicetur ea per aliam ae- . quationem , tot, quot ei desunt , dimen- sones habentem . Sic enim habebitur aequatio, in qua tot erunt dimensiones, quot proposita complectitur. Comparentur porrb termini unius aequationis Cuna terminis alterius , k istius comparationis ope habebuntur totidem aequationes,quarum unaquaeque unam ex radicibus qualibus propositae aequationis contiuehit. - Quum aequationes propositae tot ha-Bent radices aequales , quot sunt dimensiones ipsarum ι eruentur ex iis per Co Parationem illam tales aequationes ι ue,

nullo negotio resolvi possint, quippe qum

semper erunt purae , hoc est primum eantum , 2 ultimum terminum habebunt. Sed quum aequationes propositae nequaquam continent tot radices aequales, tun aequationes, quae ex iis eruuntur, prodeunt affectae ue proindeque . quae dissicultas vitanda est pro reducendis aequationibus propositis regulis antea traditiS, ea .lem in resol vendis aliis illis aequationi-hus occurrit. Itaque, ut huic dissicultati occurramus, methodum proponimus au

40쪽

P R AE ν A O o xxxiis valde facilem , ac expeditam pro inve nien dy una ex radicibus aequalibus , qu in singulis illis a quationibus continetur, scilicet quaerendo communem divisorem duarum quarumvis illarum aequa

Altera methodus pro rεducendis aequa tionibus , in quibus duae, aut plures ra dices aequales continentur , est Johannis Huddenti, eaque pendet ex hoc theoremate , quod si termini alicuius aequationis , duas , pluresve radices aequales habentis, multiplicentur ordine per termi nos alicuius progression Is arithmeticae saltera oriatur aequatio , in qua, una dempta, emtem erunt radices aequales. Itaque squia Omnis aequatio, quae plures habet radices aequales, in aliam converti potest, in qua eontineantur eaedem radices aequales , una dempta , si utique omnes ejus termini multiplicentur ordine per term nos alicuius progressionis arithmeticae

per diversas huiusmodi multiplicationes talis semper haberi poterit aequatio , ut

unam tantum contineat radicum aequa

lium . Qupcirca , si huius , I aequationis propositae communis di visor capiatur,ille dabit radicem aequalem optatam. Explicata reductione aequatiouum s