Elementa algebræ pro novis Tyronibus tumultuario studio concinnata, auctore Nicolao De Martino in illustri lyceo Neapolitano mathematum professore. Tomus 1. 2. ..

21쪽

xis PRAEFAT I omnes, quae negativae erant , evadant P stivae, x ut eadem opera omnes illae, quae, positivae erant, fiant negativae. Porrδ etsi radices imaginariae casus pro . blematis impossibiles nobis ostendant, ne que adeo , quum occurrunt , ulla earum ratio haberi debeat; earum tamen natura Analystis ignota esse non debet. Hunc in finem ostendimus , radices istas in aequationibus occurrere semper in numero Pari,atq,adeo aequationes illas,quae sunt temtii , quinti , septimi, aut alterius cuiuiaque imparis gradus , unam ad minimum radicem realem habere 3 nec proinde Omnino impossibilia esse posse problemata,

ad quae aequationes illae referuntur, quum

iis fieri possit satis saltem per radicem illam realem , quani illae aequationes ad .

ostendimus quoque radices imaginarias posse esse duplicis speciei, nimirum

vel puras, vel mixtas . Quumque Contradictio radicum imaginariarum in aequa intionibus non appareat, deducimus hinc, quod sicuti ex duabus radicibus aliculus aequationis nequit esse una realis , I altera imaginaria , sed debent vel ambae eia se rea i es , vel ambae imaginariae, ita quoque ex duabus alicujus aequationis radici

22쪽

P a re F R T 1 . . devhus imaginariis nequeat en una pura, flealtera mixta , sed debeant vel ambae esse

purae, vel ambae mixzae, quum aliter conis tradictio non evanesceret. Atque ex e

dem principio colligimus quoque, quod

scuti quum utraque radicum imaginainriarum est pura, communia utrique debet esse quantitas imaginaria , sed contrariis fgnis affecta ue ita quoque quum ambae radices sunt mixtae, communis esse debeat tam quantitas imaginaria , quam quan intitas realis , sed ista eodem signo , illa verb signis contrariis designata. Hinc verb consequens fit , aequationis secundi gradus, cuius duae radices sunt

imaginariae , ultimum terminum oportere esse semper affectum signo positivo; atque adeo in iis aequationibus secundi grais dus , in quibus ultimus terminus reperi tur affectus signo negativo . radices duas nequaquam posse esse imaginarias . bςἀne aliquis existimet, generaliter imagunarias esse radices duas illius aequationis secundi gradus, cuius ultimus terminus assicitur signo positivo ; ad rem visu in est advertere, id dumtaxat locum habere in iis aequationibus , in quibus ultimus terin minus reperitur quidem affectus signo

positivo , sed ust major quadrato ,. quod

23쪽

κvi P ITAT Io fit ex quantitate cognitu secundi termini dimidiata.

Et si autem radices alicuius aequatio nis non adhuc nobis innotescant, nihil tamen vetat , quominus aequatio ipsa iaaliam transformetur , cuius radices haheant datam quandam relationem cum radicibus prioris. Huiusmodi aequationit transformatio , quae multifariam fieri potest, varios nobis suppetit usus, tum ad

praeparandas , ac reducendas , cum item ad resol vendas aequationes: unde de mulintiplici ista aequationum transformatione

traetatio suscipitur . Primb itaque explicantur transformationeS aequationum ,

quae fiunt additione, k subtractione;tum eae afferuntur, quae fiunt multiplicatione, δε divisione ; ac denique alii aequationestras formandi modi , Algebristis non ita familiares, breviter indicantur. Igitur additione, & subtractione transformantur aequationes , quum radices ipsarum data aliqua quantitate augentur, vel minuuntur . Ostenditur autem, quod augendo radices aequationis,positivae quidem augeantur , negativae verb minuantur. Et vicissim , quod minuendo radices aequationis , positivae quidem minuantur, negatisae verb augeaatur . Nec silentio

24쪽

P R AE P A r I ct ' Hii pra terimus , quod augendo radices aequa 'tionis , una ex radicibus negativis possit prorsus evanescere , aut etiam ex negativa fieri positiva,& vicissim , quod mi nuendo radices aequationis , una ex radicibus positivis possiti in nihilum abire, aut etiam ex positiva fieri negativa . Atque hac arrepta occasione , modum indicamus inquirendi,intra quem terminum consistant radices, tum positivae, cum ne rativae alicus us aequationis. His subsungimus usum harum trania formationum 3 nimirum quod ipsarum ope tolli semper possit secundus terminus ex omni aequatione r id , quod inseruit, tum quia sublato secundo termino omnes alicuius gradus aequationes ad pauciorem numerum reducuntur,tum etiam quia resolutio aequationum secundi gradus , tollendo ex iis terminum secundum nullo negotio obtinetur . Interim illa re gula , per quam tollitur secundus termiis nus , multum abest , ut pro tollendis te

minis aliis possit nobis usui esse . Unde, ne si id forte fieri contingat, haereat Λna lysta , ostendimus qua ratione tolli possit per analysim quisque terminus ex quacuq, aequatione proposita 3 2 generaliter notamus ad id obtinenda resolvenda semper

25쪽

esse aequationem talem , ut gradum esus ostendat locus ipse , quem occupat in quatione tollendus terminus , si unitato una minuatur: adeb,ut pro tollendo ultiis mo termino ex data quacumque aequa

tione , resolvi debeat aequatio, quae sideiusdem gradus cum aequatione proposita a quaeque etiam ab ipsa non disteret. Multiplicatione, & divisione transforis mantur aequatione , quum ipsarum radices per datam aliquam quantitatem multiplicantur , vel dividuntur. Id auistem facili negotio fieri posse ostendimus, si termini ipsius aequationis multiplicentur, vel divid/ntur per terminos progre sonis geometricae, quae incipit ab unitate, re pro exponente habet datam quantitatem . Quid porrb prestene hvsus modi

transformationes , deinceps explicatur sdoceturque usui nobis esse posse ad tollendas fractiones, R quandoque etiam radicales quantitates ab ipsia aequationibus; item ad reddendam quantitatem cognitam alicuius termini aequalem datae

cuidam quantitati, quod ostenditur fiet

etiam posse ope earum transformatio- Num. quae additione,& subtractione per guntur , ac denique ad minuendas quantitates cos uitasi quae in aequationum tem

26쪽

s x .E Do . rix minis singulis occurrunt, id quod in examinandis aequationibus valde conducit. His quatuor aequaticines transformandi

modis tres alii subjiciuntur , quorum prior est , quum aequationes mutantur i alias, quarum radices sint quotientes, qui oriuntur , dividendo . datam aliquam quantitatem per Udices illarum. Ope

huius transformationis radices aequatio nis convertuntur in alias 3 quae recipro cam ipsarum servant rationem , adeoque maxima Convertitur in minimam , 2 vicissim minima in maximam, uotaturquo quod si Ioco datae quantitatis unitas capiatur ., radices aequationis in earum inis versas mutenturi Eiusdem tran formatio

nis ope potest etiam ex omni aequatione penultimus terminus tolli, si modb priu3 . tollatiar secundus. Et eodem modo poteris etiam antepenultimum tollere , si mod tertium prius tollas.

Λlter aequationes transscirmandi mo dus est, quum aequationes mutantur iaalias , quarum radices sint residua , quae oriunt ut , subtrahendo ex data quantitate radices illarum. Hic modus transsor

mandi aequationes usui nobis esse potest ad tollendom cx iis secundum ter minum. quotiescumque assicitur signo negati Vo.

27쪽

xx P R . E F A T 'I o Idem inseruit quoque,quum rad Ices omnes aequatio is requiruntur positivae, Muna simul coem ciens alicuius termini maior esse debet data aliqua quantitate. Sed si aequationis radices omneS requirantur quidem positivae, at Coessciens unius ex terminis eius Mon maior, sed aequalis

esse debeat alicui datae quantitati ; tunc non semper id poterit obtineri. Ac denique eodem transsormandi modo illud quoque praestari potest , quod requirebae

Cartesius pro construendis aequationibus sex dimensioniim , nimirum ut data aequatio mutetur in aliam, in qua radices

omnes sint positivae, & una simul coefficiens termini tertii maior sit quadrato, quod fit ex coefficiente secundi termini dimidiato.

Tandem ultimus aequationes transsci

mandi modus est ille , qui fit subrogando

Incognitam aliam in locum quadrati, cuin hi , aut cuiuslibet alterius potestatis in cognitae, in aequatione contentae. Quod quidem quum fit, non modb minuuntur aequationum dimensiones , verum etiam aequationes ipsae mutantur in alias , qua rum radices habent rationem duplicatam, laiplicatam, &c. ad radices illarum. Possunt etiam aequationes transformaris

28쪽

pstae vario xximulando eas an alias,quisum radices habeant vicissim rationem subduplicatam, subtriplicatam . Rc. ad radices illarum. Sed id essicitur, si vicissim loco incognitae,

in aequatione contentae , ponatur quadra tum, cubus, &c. alterius cuiuslibet inc gnitae I ad eb , ut hac ratione non quidem minuantur , sed augeantur a quationum dimensiones.

Quum de gradibus aequationum actum est , diximus arquationes dividi in gradus rationa maximae potestatis , ad quam a scendit in iis quantitas incognita . Sed ibidem notavimus quoque aequationem, aliquam tunc demum dicendam esse itinitus gradus, quem ostendit maxima inri cognitae potestas , quum ad gradum inseriorem deprimi non potest , nam si fort. . contingat eam deprimi posse , tunc propria eius sedes erit in gradu illo, ad quem utique deprimitur : quod quidem notare

oportebat, ne problemata , unde derivantur aequationes a contra propriam natu iram,generis altioris diiudicentur. Itaqua ad rem visum est ι priusquam de resolutione aequationum ageretur ι regulas tra dere,quibus instructus Λnalysta laquatio nes, in propria sede non existentes , deinprimere possit, do ad propriam sedem uin' Iaa revocare. h a Vul

29쪽

xxta P R AE F A v x o- Vulgus Λlgintillarum eas aequationes docet esse in propria sede , quae in alias simpliciores dividi non possunt. Sed quia oninis aequatio dividi saltem potest in arquationes simplices, quae suas continent radices 3 placuit rem aliter definite, nempe ut eae tantum aequationes in propria sua sede existant, quae non modb per multiplicationem mutuam aequationum sim plicium , in quibus earum radices continentur, verum etiam Per unicam tantu iri

Illarum aequationum constitui possunt. unde discimus, aequationes tunc demum in propria sua sede non existere , 'uum vel omnes ipsarum radices sunt rationa-1es 3 vel partim rationales , partim radi- cales , vel denique quum omnes sunt ra-- dicates , sed sedes incommensurabilitatis nequaquam reperitur in illo gradu , ad quem attollitur in aequatione quantitas incognita. Atque hinc, vocando simplices eas tantum aequationes , in quibus incognita non mod i est unius dimensionis , sed Insu per valorem habet rationalem, de duoimus aequationes in propria sua sede

non existentes tripliciter componi posse. omnibus enim id accidit , ut non aliteae

eonstitui queant, quam per multiplic

30쪽

Ionem mutuam aliarum insertorIs gradus aequationum . Sed aequationum componentium , vel unaquaeque simplex esse potest , vel nulla gaudet hac simplicitate, vel .denique ex iis aliquae simplices esse possunt, aliquae non item a unde in tra denda aequationum ad propriam sedem re ductione primi, casum consideramus squum inter aequationes componentes reperitur aliqua simplex ; tum alium ex pendimus , ubi nulla aequationum Cominponentium hac gaudet simplicitate: id, quod in iis tantum aequationibus Contingere potes, quae plures , quam tres , dis

mensiones habent. .

Pro reducendis aequationibus compouintis , in quibus una , aut plures ex componentibus sunt simplices nolcenda prius est ratio , qua terminorum culus

Cumque aequationis coessicientes constituuntur. Hanc itaque docentes, exemptas

ostendimus coefficientem secundi ter mini esse .summam radicum sub signo contrario s coessicientem termini tertii esse summam productorum ex largulis binis sub signo proprio . coessicien f tem termini quarti esse summam produinctorum ex singulis ternis sub signo mutato ν atque ita deinceps et quam utiquo