장음표시 사용
41쪽
qnat in propria sua sede non existunt,proingredimur tandem ad resolutionem a qua- ltionum , in propria sua sede existentium. Huiusmodi resolutio est totius artificii
analytici coronis , ac complementum. Parum enisti refert, in resolutione alicuius problematis a quationem invenisse, quae singulas problematis condidiones in-Cludens , unicam tantum incognitam eomprehendat. Neque etiam iuvat multum s a quationem istam , si fuerit composita , in suas componentes resolvisse, eandemque ad. propriam suam sedem re vocasse r si deinde regulae non habeantur quibus instructus possit Analysta aequationem, in propria sua sede existentem, hinde resolvere , ut ope eius resolutionis
fingulos incognitae valores Valeat eruere.
Nam problema , quod proponitur , tunc dicitur resolutum , quum singuli valores magnitudinis, quae principaliter quinitur in illo problemate, non ignorantur. Itaque , quia a quationes , quum sim Plices prodeunt, nulla egent resolutione, eas primum a quationes resolvendas nobis proponimus , quarum sedes in secundo gradu reperitur . Istae, quum purae sunt, resolvuntur nullo negotio , per solam quadratae radicis extractionem. Sed si fue-
42쪽
s suerint affectae , propter ipsam a Techionem , non erunt ita faciles resolutu . ΙΠ- ,
terim pro iis resolvendis quatuor diversas rationes exhibemus , quarum prima procedit, tollendo ex iis secundum terminum , atque adeo delendo affectionem, quae in Illis occurrit. Secunda , addendo ad utra move partem aequationis quadra tum, quod fit ex quantitate cognita se cundi termini dimidiata , ut una pars quadratum evadat persectum . Tertia,aia
sumendo radices propositae aequationis in- . determinate , 2 ex iis novam aequatio nem constituendo . Ac quarta demum,aia sumendo in determinate , tum summam
radicum , clim earundem differentiam. AEquationes secundi gradus affectae, prindivellitate signorunt, quibus termini ipsarum assici queunt, ad quatuor formulas possunt revocari. Itaque Tyronum utilitati consulentes, quatuor illas diversas rei olvendi rationes singulis iis sor mulis applicamus. Ostendimus autem , quod
quum ultimus aequationis termiuus assi citur signo negativo , tunc radices aequa tionis semper lint reales r, sed non item, si ultimus terminus arquationis assiciatur
signo positivo ; quum in hoc casu, si con
43쪽
xxxvl PRAEFATIO quadrato , quod fit ex quantitate cognita secundi termini dimidiata , radices duae aequationis prodeant imaginariae. Ita quo in aequationibus secundi gradus, quotie
cum qua ultimus terminus assicitur signo positivo , tunc demum radices duae reales erunt, quum ultimus terminus non ea
major quadrato , quod fit ex semisse coe scientis secundi termini is Nec silentio Praeterimus , quo si idem. ultimus teria minus praedicto quadrato suerit a qualis,
radices duae reales erunt , x aequales. Resolutioni quatuor formularum, ad quas omnes secundi gradus a quationes reducuntur , subjungimus usum , quem praestant formulae illae in resolvendis aria quationibus specialibus . Postquam enim quatuor illae formulae sunt resolutae , sinis gularumque radices inventae, haud quidem necesse est , eadem arte a quationes
resolvere speciales , sed poteris earum resolutio solius substitutionis ope obtineris si scilicet inquiratur , ad quam ex iis se mulis reducatur a quatio proposita , I iaradicibus illius substituatur valores Oeta ficientium, determinati ab ipsa a quatio ne proposita. Id igitur in unaquaque Ioris mula exemplis ostendimus r quo in loco illud etiam adnotamus, quod eodem artificio
44쪽
in x AE p A T Io xxxvii ficto resolvi quoque possint aequationes secundi gradus , quarum radices sunt ratationales , quaeque ideo in propria sua sede
non existunt. Eodem innoco ostendimus etiam resoluvitionem aequationum derivativaru secua di gradus , hoc est illarum aequationum, quae talis naturae deprehenduntur , ut tametsi dici nequeant secundi gradus , pota sunt nihilominus in alias secundi gradus
transformari , si loco quadrati , cubi, aut alterius potestatis incognitar, in aequatio ne contentae , ineognita alia substituatur. Resol vuntur ergo huiusmodi aequationes, si radices inveniantur aequationum se cundi gradus,in quas eae transformantur.
Nam si deinde ex his radicibus ea rursus radix eliciatur, quam designae potestas incognitae principalis, in cuius locum substituta est incognita altera, jam propositarum aequationum radices habebun
Resolutionem aequationum secudi gradus excipit resolutio aequationum , qua rum sedes in tertio gradu su b si stit . Istae similiter , quum purae sunt, resolvunt uxnullo negotio , per solam radicis cubicae extractionem. Sed quoniam hac ration. .unica tantum radix eruitur ,3c omnis ae
45쪽
xxxviii P R IE A T I o quatio tot radices habere potest , qaod maxima incognitur potestas habet in ea
dimensiones , ostendimus, qua ratione exaequationibus puris tertii gradus ait: e du eradices erui possint. Id itaque obtineri posse docemus ope divisionis , nimirum si aequatio proposita dividatur per aequationem simplicem, radicem iam inventam
continentem . SIC enim deprimetur ad aliam , quae duas tantum dimensiones habebit , oc cuius adeo radices dabunt radi-ees optatas. Sed aliae duae istis radices imaginariae oriuntur, quum in aequatione depressa quadratum ex quantitate cognita secundi termini dimidiata minus sit ultimo termino , qui assicitur signo poli.
AEquationes tertii gradus assectae multiplicis speciei esse possunt. In iis namque oriri potest affectio , vel quia secundus terminus habetur , 2 tertius deficit; vel vicissim , quia tertius habetur , I se cundus deficit; vel denique, quia tam secundu S , quam tertius terminus in iis re peritur . Interim, quia regula habetur satis expedita ad tollendum secundum terminum ex omni aequatione , satius duximus eas tantum tertii gradus aequationes affectas considerare , quae se
46쪽
P a bE F A Tro xxxidi'cundo termino carentes , tertium dumtaxat terminum habent. Istae aequationes,
pio diversitate signorum , quibus assici possunt termini ipsarum , ad quatuor quoque sermulas reducuntur , quarum proinde resolutionem sigillatim ostendi
Primb igitur earum formularum do e mus resolutionem , in quibus tertius terminus assicitur signo positivo . Formulae istae unicam tantum habent radicem reale iniquae positiva est , si ultimus terminus assiciatur signo negativo ue negativave id , si vicissim assiciatur signo positivo. Hanc radicem invenimus, constituendo novam aequationem, que unicam similiter Contineat radicem realem , 2 cum ista propositam comparando. Quumq; ea oriatur expressa duplici nomine , aliam Proponimus rationem pro invenienda radice ista , nimirum duo illa nomina aia sumendo in determinate, eaque deinde determinando arquationibus totidem , quae ita quidem ad sex dimensiones ascen dunt, ut tamen derivativae secundi gradus dici debeant. Earundem formula rum aliae duae radices imaginariae sunt, quae inveniuntur , si utique unaquaequo
ex iis formulis dividatur per φquationem
47쪽
ostendimus deinde resolutionem illarum formularum , in quibus tertius terminus assicitur signo negativo.Hujusmodi formulae possunt tres radices reales habere ex quibus duae erunt positivar,2 una negativa , si ultimus terminus afficiatur
signo positivo , & vicissim duae negati vaes& una positiva , si ultimus terminus sieassectus signo negativo. Sed radices duae, quae sunt ejusdem signi, possunt quandoque esse imaginariae: scilicet si cubus ex triente quantitatis cognitae tertii termini minor sit quadrato , quod fit ex ultimo termino dimidiato . Itaque tunc dein mum duae istae sermulae radices omnes reales habebunt , quum cubus ex triente coefficientis tertii termini non est minoe quadrato , quod fit ex semisse ultimi te mini . Nec reticemus , radices duas , qum
sunt eiusdem signi , aequales esse inter se, quum cubus ille aequalis fuerit praedicto
Hinc in resolutione harum formula rum tres casus distinguimus . Primus est, quum unicam tantum habent radicem realem, 2 alias duas imaginarias . Secundusi quum omnes habent radices reales, .
48쪽
quales sunt inter se. Et tertius , quum omnes radices sunt reales , 2 inaequales. Ostendimus autem resolutionem illarum formularum tu no demum obtineri posse, quum Vel unicam tantum habent radiis Cem realem , vel omnes quidem , sed duae illae, quae sunt ejusdem signi, aequales sunt inter se. At verb, quotiescumque ra dices omnes sunt reales , 2 inaequales, id quod contingit, quum cubus ex triento quantitatis cognitae secundi termini maior est quadrato , quod fit ex ultimo ter mino dimidiato , tunc methodum , in resolutione istarum aequationum nobis usurpatam , deficientem deprehendimus. Hanc impossibilitatem, qaar nobis sese obtulit in resolvendis aequationibus tertii gradus,quarum radices omnes sunt reales, norunt ipsimet Itali , qui resolutionem harum aequationum primum tradider sit, quemadmodum colligere licet ex litteris, quae intercesserunt inter Cardanum, VTartaleam . Nec equidem post inventam regulam aequationes i stas resolvendi,quitaque eam perficere potuit , quin imo Carinlesius rem omnino deploratam existimavit: quem in finem alia methodo radices aequationum Omnium docgit invenire,sci
49쪽
xxii P R IR P A'T I oscit icet per longitudines t nearum , quae curvarum intersectione determinantur. . unde non immerito gloriari possunt Itali, ipsos Λlgebram perduxisse ad eum usque. terminum , ad quem humani ingenii viribus poterat' perVenire. Id candide fatetur solertissimus Auctor Historiae Regiae Academia Parisiensis Do-
minus Fontanelle . Nam anno I os referens methodum quandam generalem, excogitatam a Domino de Lagney , pro resolutione aequationum omnium , haec
prement connue , que depuis Lux censans , ct notas Pavons reque des maius des Italiens. Iam , quum duae istae sermulae unicam.
tantum habent radicem realem , reperimus eam , constituendo novam aequati nem, quae unicam similiter contineat radicem realein, 2 cum ista pronositam formulam comparanda . Haec radix , perindu
50쪽
P R AE r A et o 3 xiiii pressi, duplici nomine : unde inveniri
quoque potest , assumendo duo illa nomina indoterminate , quemadmodum in prioribus duabus formulis factum Quum. sic radix reperitur, nulla i supponitur re latio inter cubum , qui fit ex triente quantitatis cognitae tertii termini, k quadratum , quod fit ex ultimo termino dimidiato . Unde arbitratus est clarissimus Wallistus , eam in omni casu radi-eem esse propolitae aequationis 3 neque adeo imperfectam esse resolutionem a quationum cubicarum ab Italis traditam. Sed perperam , quia quum aequatio tres radices reales supponitur habere, radix illa, quae reperitur , quantitatibus imaginariis exprimitur , nec proinde est vera
eius eae presJIO. Qua autem ratione radix oriatur eX-
pretia quantitatibus imaginariis , quum .equatio tres radices reales supponitur habere , exinde Colligit Isaac Ne tonus in Arithmetica sua universali, quia quum madices illae eodem modo se haheant ad
terminos aequationis , 2 indifferenter perim cognitam designentur, deberent uti inque omnes eadem lege erui, 2 exprimi qua una aliqua eruitur, I exprimitur. Unde , quia eres Omnes lege praefata ex pri