Supplementa in Euclidem

2쪽

SUPPLOENTA IN EUCLIDO

GEORGIUS LUDOVICU RoENIG

4쪽

VIRI ILLUSTRIBUS ET DOCTISSIMIS PROFESSORIBUS ORDINIS PHILOSOPHICI IN ACADEMIA ILIENSI

5쪽

Hoc, AEUALEcUNQUE EST, AERATI ANIMI PIGNUS

6쪽

quo os, Viri Illustres et Doetissimi iudiciis Vestris me nec opina

rem publice ornastis, summisque in philosophia honoribus dignum existimastis, equidem non destiti circumspicere quo gratissimum meum erga Vos animum declar rem palamque omnibus ostenderem, me sedulo id agere, ut Vestrae de me exustimationi pro viribus responderem. Ac multa quidem se obtulerunt cogitanti, in quibus disserendis, si non ingenium et doctrinam, studium tamen et diligentiam Vobis et omnibus reipublicae literariae civibus possem probare verum, vel me tacente, non ignoratis, quantopere otium in vita scholastica sit circumscriptum, quam raro facultas concedatur iuvenilis disciplinae magistris graviora diligentiae suae ape cimina publice proponendi. Accedit, quod ii, quibus in oppidulis ortunarum sedeaeolloeata est, multa plerumque desiderant praesidia, quae tamen ad manum esse oportet, ut currente rota exire aliquid possit, in quo terendo otii aliquam partem viri docti insumanti sua in conditione quum ego quoque versarer, contuli me ad eas potissimum disciplinas, quae sine magna librorum copia, mentis potissimum agitatione coluntur, imprimis ad geometriae studium, quod me puerum iam ceperat, saepe deinde per temporum intervalla et intermissum et repetitum, neque a meo munere alienum. Inter omnes enim, qui aliquid hac de re possunt existim re constat, unum sere esse hoc, quo ingenia iuvenilia et acuantur potissimum et excitentur. Atque in hac iterata eius tractatione ipsa disciplinae sorma ita sumis lectatus, ut simul aegre serrem, naevum aliquem superesse, qui splendori eius aedignit:iti meret Nam artium et doctrinarum, quae quidem a ratione ipsa proficiseuntur, et in nibus illius quasi imaginem tanta cum voluptate contemplamur,

amatoribus vix potest accidere, quod Balbinis illis ex oratio notis, quibus pulchra facies Interdum inacula ipsa conuuendatur. Ad hunc naevum detergendum quum iam

7쪽

per plus nam duo annorum millia viri docti adnisi sint, eorumque studia nune ma

xime ad illum nodum solvendam certatim exarserint: ego quoque rem frustra toties tentatam suscipere conatus sum, ut experirer, quid humeri valerent quid ferre recusarent. Quidnam profecerim, Vestrum sit iudicium quorum nominibus plagulas hasce inscribere ausus sum, et illorum virorum doctorum, qui eas oculis e lustrare non dedignabuntur. II vero tota ratio, quam ingressus sum, planius perspiciatur, antequam ad rem ipsam venio, pauca, quae non praetermittenda arbitror, praefandi veniam dabitis.

Quando apud geometras de lineis sermo est eas intelligunt quas imaginandi vis, quam dicunt productivam, in animo describit speciem igitur et sormam, quae signo tantum, non satis accurato illo quidem, sed tamen idoneo aliis sub oeulos

potest poni. Mente enim et cogitatione iis, quae, ut sensus seriat, nosse nece sario debent remotis longitudinem solam animo intuemur lineam a geometra scriptam videntes Linearum autem ut in vulgus est notum duo genera sunt, auterum rectarum, curvarum alterum, sed adhuc non convenit inter doctos disciplinarumque mathematicarum peritos a Graecorum aetate ad nostram usque memoriam, quibus tandem notis eum, cuius animum singas illis sormi destitutum rectum doceas a curvo dignoscere Tentarunt quidem geometrae, Platonis auctoritatem secuti desiis nite, qualis tandem esset linea recta, et quid Graeci hae de re excogitaverint. Proetus commentari suo in Euclidis elementa inseruit servatis passim auctorum n minibus ' Etiam inter recentiores non desuerunt, qui in suis quisque artibus idem sunt conati, sed et eorum studiis eventus non satis videtur respondisse. N

. Plato te definti reetam interprete Clavio cuius media obnmbrant extrema. Metaphora

vatis est Plato a solis vel lunae desectu translata Notissima est Euclidis definitio emdem interprete lavio quae ex aeqlio sua interiacet uneta. Hoc ita X plicat Proclus: reetam solam idem intervallum obtin re inter sua puncta, quantum enim distet alterum punctorum ab Hiero, inlitam esse magnitudinem rectae ab illis punctis finitae. Quum vero intervallum sub magine rectae tantum cogitetur, aut recta ipsa sit, ita explicatione facile possumus carere. Disertius in hac re sui Clavius diems, rectam esse, in qua nullum punctum intermedium ab extremis sursum aut deorsum . hue atquamve deflectendo subsultet in qua denique nihil exuosum reperiatur. Nulla sere votouaus est euiua illustratio. r. definita non sit rpetenda Archimedes recrum vocat linearum revissimam inter eadem putre Addit Proclus non sane aeuis si enim quaeis eam esset rovior non ex aequo interiaeeret puncta sua. Aliae definitionis lineae reiactae se Proclo notatae hae sunt Cuius pars non sit in subiecto plano pars vero calistiori cuius partes omnes omnibus similiter quadreut qua manentibus sinibus eadem

8쪽

eturam enim et vim recti vel verbis idem significantibus vel iis rebus expresserunt, quae notione tantum recti accuratius evoluta possent intelligi. Quibus ex omnibus,

id quod neminem fugit, hoc tantum discimus, rectum non esse curvum, nec curisuum rectum. Verum enim vero frustra omnis opera insumta est, nam rectum illud

qualitas est simplex, ad prima illa elementa pertinens, quibus utitur imaginandi vis, aliunde impulsa, ad mundos suos construendos et aedificandos Tud omnem des,niendi conatum flagit, quia nihil habet in se, praeter id, quod rectum vocamus, et mente tantum videmus, non separatum et collectum e pluribus lineis rectis, sed in mente ipsa ortum et productum, quod aliis quidem et aliis verbis potest enunciari, quibus tamen auditis et accuratius expensis intelligimus, vocum tantum vanitate nos esse delusos neque ulla in re sapientiores redditos. oc exemplis illustr re, quae alioquin abunde suppetunt, nec temporis huius est nec loci. Quemadmodum nemo nec fuit nec futurus est tanto ingenii acumine praeditus, qui verbis selaret, qualis sit color vel ruber vel luteus vel caeruleus, ut qui oculorum sensu

semper carrierit, eos possit ex descriptione cognoscere ita nemo, qualis sit linea recta, ulla verborum ambage poterit declarare, ut, si mentem revocamus asorma, ita nobis inest, e verborum complex ea nobis innotescat. Demonstr re geometra non potest, esse Iliaeam rectam, postulat tantum, ut sibi hoc cone

datur, in quo omnes etiam habet faciles. Quod si qualis sit linea recta, verbis possis explanare, illud postulatum abibit in problema, hoc est, poterit ostendi, d ei posse r dictam lineam. Leviora quidem haec videntur, quibus tamen minus im elleetis quidam in fraudem sunt adducti. Gravius hoc est, sed interdnm minus elim perpensum. Euclides ex illa forma et specie, quatenus animo obversatur,. Erit fortasse qui ita disputet, Euclidem quid et qualis sit irentus. Meurato definito,

nihilominus tamen deserihpndi eius facultatem inter postulata retulisse. Factum hoa, et oumes sera eum secuti sunt. Utrum recta an perperam quaeri saltem potest nisi auctoritate pugnare velimus. Verum Praeter rectam quae postulatur, quoniam e deis sititione non potest gnoSci postillandum quoquo erat Iamem quod concessa rectarietiliquam est concessum nee ex ea potest cranstrat. --- postulatum in illo Evclidis postulato mihi latera videtur dato enim plano cireulum describendi problema et sol. ν demonstrari potest. Schulatus Ansangstriinde de reinen Mathematiciar. 6 a. qui idem inter postulata refert, ait in holio subiuncto Mechanise laos sie die Artalese Moegi likeit in selieri, eni man sicli vorstelli, de Radius litae in de Eb n om das Centrum herumgedrelit, bis e wiede in seine erste Lage Turu kkommi. Verum mechanisc id est quod instrament opa sit. Possumus autem animo planum fingore et sola cogitatione rectam circa punctum aliquod convertis nullo instrumento adhibito id autem quod cogitatione in animo nostro fieri potest, fit per imaginandi faculaatem, eonstriictione legibus eius ae mmodata, non iustrumentorum rationi adstriacta, hoc est non

9쪽

numquam quidquam collegit, alioquin lib. III. Theor. . non opus habuisset dea

monstrare, rectam per duo puncta, in circuli ambitu sita, scriptam totam adere intra circulum, contrarium enim cuique ad imaginem lineae rectas altendonii, absurdum videtur idque merito. Verum enim vero quae absurda sunt in omnium hominum vita, non ita censentur in geometrarum subselliis. In horum consessu illud nomen imponendum huic tantum, quod vel axiomati iusto vel theoremati legitime demonstrato repugnat in aliis quibuscunque, antequar aut aiarit aut negent. Deiles et patientes demonstranti praebent aures geometrae, siquidem rem tanti a hi trantur ita tamen , ut omnis disputatio ex fonte solentia sit deducta, nec vero ex novo aliquo, de cuius puritate adhuc non constet. Imaginandi illa vis, quam productivam vocant, sons omnium rerum, in quia hus geometria versatur, certis legibus est adstricta in fingendo et componendo. N que satis est in illa arte, notionem aliquam araim informare, in qua nihil sit, quod illi ipsi aut aliis repugnet, sed ostendendum quoque, quomodo versetur illa rerum inventrix in eiusmodi re scribenda, ut non solum sorma et imago, in qua omnia insint, quae mente complexus es, ante oculos poni possit, ultique eadem plane videant, quae tibi obversetitur, sed etiam facultas eius rei legesque, ex quibus d scribi potuerit penitus perspieiantur. Verum et oculorum acies et instrumentorum subtilitas, quae in describendo abhibentur, circumscripta est, habetque nos fines,

ultra tios progressi non licet. Constructio autem geometrica quae mente peragitur, libera est et soluta, nec sensuum imbecillitate coercetur. Omnia vel magna

vel parva possunt describi, ad qua describenda finitum aliquod tempus sufficiat.

Contra, infinite vel magna vel parva quae vocantur, mente tantum seu cogitatione singuntur, non imaginandi vi formantur, quorum imagines ins nito tantum tempore possim absolvi, hoc est, nullo Dividendo lineam, ut hoc utar, ad partes pervenire possumus navis data linea minores addendis partibus quamlibet parvis ad longitudinem quavis data longitudine maiorem, in neutra vero ratione ad inlinite magna aut parva. Onς tructio solo tempore adstricta phantasiae est propria saepeque progreditur eo, quo sensus imbecilliores eam sequi neqvelint delineatio ipsa in oculos incurrens ab oculorum, locorum et instrumentorum rariove est stispensa Quum vero formas et imagines, quibus geometria utitur, et quae qua, materiam huic doctrinae suppeditant, imaginandi facultas gignat infiniti autem vis et natura, cuius imago nulla est e ratione petatur perperam iusiuitorum uotionem

10쪽

in geometriam quidam induxernes elementarem, quae constructicia tantum utitur quantisque sinitis et terminatis, in quibus solis principi uin illud congruentiae, e quo reliqua suunt, vim suam potest obtinere. Quare etiam, siquidem nobis volumus

constare, omnis rectarum et curvarum comparatio ex illa eli ininanda est quia curisv cum 2cta nilii habet commune, nisi mera cogitatione fugas, curvam composiatam esse ex rectis infinite parvis, quae nulla divisio ullo temporis spatio potest deprehendere. Ins nitorii congruentia, quidquid Schulgius, professor olim Regi montanus celeberrimus et cum de philosophia tum de mathesi meritissimus excogiata verit, quo eam commendarct, ne mente quidem concipi potest, quia res complectendae sunt inter se repugnantes. quidem in hac semper sui opinione, quam

nondum deposui, ut statuerem omnia, ita ad ambitum, aream curvarum et eo

pora inde nata ad rectam, quadratum et cubnm exigenda pertinerent, a geomet

sublimiori iure posse vindicari, quippe quae principia adhiberet a ratione petita, et

a geometria elementari abhorrentia. Quorsum autem quae hactenus disputata sunt, pertineant, statim videbitis. Duas rectas in eodem lari positas animo ita concipere possumus, ut in utramque partem productae se non secent, easque describi posse Euclides docuit parallelasque vocavit. Quamdiu non constat, utrum illae rectae, ad Euclidis conditiones ductae, idem semper inter se intervallum servent, an divaricent aut convergant, incertum quoque est ad unumne inter parallelas punctum illae conditiones pertineant, an ad omnia. Etenim si ponamus, rectas conditionibus accommodate ductas vel divarieare vel convergere, recta per quodcunque aliud punctum ducta et utrainque secana. Spatia infinita inter rectas infinitas sub eodem angulo se secantes aequalia esse nullo

modo dici possunt. Primum enim rectae insulitae in geometria elemen tari, quae eonstructione, non fietione utitur nullae sunt, deinde infirma spatia aequalia esse repta n :itiam complectitur. Aequalium, quae itidem sunt quoque Similia snes ingruunt.

Iusini: a vero sunt finibus destituta in ea igitur nulla cadit congruentia. Erε huiusmodi aliquid de illis potest ne assirmari ne negari se quidem dici potest spatia iisdem acubus et radiis in elusa esse aequalia. Quamdii autem de arcu Sermo est. iamdiu de spatio loquimur finito. Verum a finito quantalibet Ilud sit magnitu ilina in innuitum distantia semper est infinita quam malinandi vis nullo tempore nito peria currit; nam ubicumque substiterit, infinitum restabit iter metiendii m. Nobis ipsi interdiim inponere solemus, negationem finium moram pio ipsa infiniti onstruetione ha-b.ntes. ix o errore nata videtur illius viri illusiris geometria quantorum in sinitorum. Ineptum videtur, ei reulum in geometriam inductum esse propter instrumenti simplieitatem quasi doctrinarum nesciustrumentorum ratione sint regendi eorumque vel simplici vel multis lici structura.