장음표시 사용
11쪽
SIc maris ac terrae mastas emensus abyssos Ad Superos dura lege S O UE RUS abit 'Sic liquit terras humanis grandior ausis , Mortales msus jam superasse et ias y Fallor , an exacte cur vis quod Resta quadrasset,
Naturam moluit Parca leuare metu.Invida quid lucem, famam quid Fata negatis 'vosthuma S O H I E R O mindice fama et enit. Hadriaci faveaut modo Numina magna Lycei, Vivet opus, genio et ivet Uterque suo.
Vivo quod debebat post fata desideratiss.
12쪽
Proportio promota, LIBER PRIMVS
THEo REMA I. PROPOS. I. I duabus quantitaribus inaequalibus
aequales quantitates addantur, aut minor maiori; maior erit ratio maioris ad minorem , quam maioris cum addito, ad minorem cum addito SINT duae quantitates inaequales AB. maior, CD.
minor , quibus addantur quantitates aequales BE. S i i DF. Dico maiorem eis Urationem AB. ad CD. aquam A E. ad CF. Cum enim maior sit AB. quam CD. ma- g. s. ior erit ratio AB. ad BE. quam CD. ad DF. & componendo ac permutando,maior erit ratio totius A E. ad totam CF. quam partis BE.ad partem DF. Quare & reliqui AB. ad re--Lliquum CD. maior erit ratio quam totius AE. ad totam CF. Quod demostrare oportuit. Eandem demonstrationem fieri certum est, si BE. statu tur minor quam DF.
13쪽
x. Curui ac recti proportio promota. THEO REMA II. PROPOS. II.
SI ex duabus quantitatibus inaequalibus aequa
les quantitates demantur, aut minor ex maiori ; minor erit ratio maioris ad minorem , ,
quam residui primae quantitatis ad residuum se
cunda . Statuatur AE. prima quantitas maior,& CF. secunda minor, & ex AE. auferatur BE.aequalis ablaty DF.eX A , ECF. Dico minorem ess D Frationem AE. ad CF. quam AB. ad CD. Cum enim maior sit AE. quam CF. maior erit ratio AE. ad BE quam CF. ad DF. & permutando maior ratio totius AE. ad totum CF. quam partis BE. ad partim D. F. Quare reliqui AB. ad reliquum CD. maior erit ratio quam totius AE. ad totum CF. ideoque minor ratio maioris AE. ad minorem CF. quam residui AB. ad residuum CD. Quod erat demonstrandum. Idem sequetur il BE. sit minor quam DF.
Hrae sequitur, F ni quatuor magni adines, quartim prima maior st quam secunda O tertia, s secunda
maior quam quarta , superetque prima secundam eodem aut minora excessu, quo tertia quartam sprima ad secundam minor eris ratio , quam tertia ad quartam . Si enim prima quantitas statuatur AE. fecunda AB. tertia CF. quarta CD sique disserenita primae, O secunda BE. aequalis E erentia tertia , O quartae DF. aut etiam minor, erit ex demonstratis minor ratio AE. ad CF. qaam AB. ad CD. O permurando minor ratio AE. prima , ad AB. secundam , quam CF. tertia, ad CD. quartam. THEO-
14쪽
LIBER I. 3THEO REMA III. PROPOS. III. SI prima quantitas ad secundam maiorem rationem habuerit, quam tertia ad quartam , ac inter primam & secundam, itemque inter tertiam & quartam mediae proportionales sint quinta, & sexta ; erit primae ad quintam maior ratio, quam tertiae ad sextam. SIT primae quantitatis A. ad secundam B. maior ratio quam tertiae C. ad quartam D. &inter A. B. statuatur media proportionalis E. & inter C.
co maiorem esse rationem A. ad E. quam. C. ad F. Si enim non est maior, sit vel aequalis, vel minor , Ac sit primum aequalis, ita ut sit A. ad E. Dcut C. ad F. est autem ut A. ad E. ita E. ad B. ergo ut E. ad B. ita C. ad F. sed ut C. ad F. ita ponitur F. ad D. ut igitur E. ad B. ita F. ad D. cum igitur ponatur A. ad E. sicut C. ad F.atque hinc sequatur esse E. ad B. ut F. ad D. erit ex aequalitate ut A. ad B. ita C. ad D. Quod est absurdum, ponitur enim ratio A.ad B. maior quam C. ad D. Sed dicatur ratio A. ad E. minor quam ratio C. ad F. Quoniam minor est ratio A. ad E.quam C. ad F. O vi R. ad E. mediam proportionalcm, ita E. ad B. erit minor ratio E. ad B. quam C. ad F. Sed ut C. ad F.m diam proportionalem,ita F. ad D. igitur minor erit ratio E. ad B. quam F. ad D. Cum igitui minor ponatur ratio A. ad E.quam C.ad F.& sequatur minor proportio E. ad B. quam
D. Quod est absurdum,posita enim est maior . Igitur cum ci . A et Co-
15쪽
Curui ac recti proportio promota.
ratio dicta neque sit aequalis,neque minorierit maior. Quod demostrare oportebat . .
Eodem prorsus modo demonstrabitur , si prima ad secundam minorem rationem habuerit quam tertia ad quam ram ac inter primam de secundam sumatur media proportia natis qiunta , ct inter tertiam, O quartam sexta, cri/ prima ad quintam minor ratio, quam tertiae ad sextam. Si enim statuantur Cetprima D. franda A. tertia B. quarta F. quinta E. sexta eodem prorsus modo sequetur maiorem esse rationem A. ad E. quam C. ad F. ideoque minorem C. ad F. quam A. ad E.
SI prima quantitas ad secundam habuerit mi
norem rationem, quam tertia ad quartam, fueritque prima maior quam tertia, & pri mar ac tertiae eadem quantitas addatur, vel primae minor quam tertiae; minor erit ratio primae cunta addita ad secundam, quam tertiae cum addita ad
HABEAT prima quantitas AB. ad secundam C. mianorem rationem quam tertia DE. ad quartam F. sitq; AB. maior quam DE. &ad primani AB. ac tertiam DE. addantur aequales BG. EH. Dico minorem esse rationem Ata ad C. quam DH. ad F. Cum enim maior si AB. quam s. s. DE. maior erit ratio AB. ad BG, quam DE. ad FH. &componendo, maior erit ratio AG. ad BG. quam DFq. ad Ela
16쪽
EH. & per conuersionem rationis , minor ratio AG. ad AB. quam DH. ad DE. sed minor etiam ponitur ratio AB, ad C. quam DE. ad F. ergo ex aequalitate minor est , i. ratio AG. ad C. quam D l. ad F. Quod erat probandum 'Eodem modo probatur, si primum additum BG. pon tur minus quam secundum EI . multo minorem esse rati nem AG. ad. C. quam DI . ad F.
SI habuerit prima quantitas ad secundam ma
iorem rationem quam tertia ad quartam, sitque prima minor tertia, ac primae, & tertiae eadem quantitas addatur, vel primae maior quam tertiae erit ratio primae cum addita ad secundam maior, quam tertiae cum addita ad quartam.
SIT prima' quantitatis AB.ad secundam. C. maior ratio quam tertiae DE. ad quartam F. sitque AB. minor quam DE. & primae ac tertiae addantur aequales BG. A, EH. Dico maiorem esse C rationem AG. ad.C.qua D SDH.ad F. cum .n. AB. sit Fi minor quam DE. minor s. s. erit ratio AB. ad BG. quam DE. ad EH. & componendo, per conuersionem rationis, maior erit ratio AG. ad AB. quam DH. ad DE. sed etiam ponitur maior ratio AB. ad C. quam DE.ad F. igitur ex aequalitate maior est ratio AG. s M. ad C. quam DH. ad F. Quod erat demc strandum.
Idem aperte sequitur si primum additum BG. st maiusquam secundum. EH THEois
17쪽
s Curvi ac rccti proportio promota.
THEOREM A VI. PREPOS. VI.SI habuerit prima quantitas ad secundam mi
norem rationem quam tertia ad quartam,sitaque prima minor tertia, ac ex prima,& tertia eadem quantitas dematur, aut ex prima maior quam ex tertia , minor erit ratio residui primae quantitatis ad secundam , quam residui tertiae ad
quartam HABEAT prima quantitas AG. ad secundam. C. mianorem rationem quam tertia DH.ad quartam F. sitque AG. minor quam DH. & ex pri-
B irima ac tertia demantur aequales BG. EH. Dico minorem esse rationem res-
quam residui DE. ad quartam F. Quoniam minor est AG. quam DH. & aequales BG. EH. erit AG. ad BG. minor ratio quam D H. ad EH. & permutando minor ratio totius A G. ad totam DH. quam partis BG. ad pa tem EH. quare & reliqui AB. ad reliquum DE. minor erit ratio quam totius AG. ad totum DH. & permutando minor erit ratio AB. ad AG. quam DE. ad DH. sed etiam minor est posita ratio AG. ad. C. quam DH. ad Rigitur ex aequalitate, minor erit ratio primi residui AB. ad secundam quantitatem. C. quam secundi residui. DE. ad quartam. F. Quod demonstrare oportebat. Eadem demonstrationis ratione sequitur,minorem esse , rationem AB. ad C. quam DE. ad F. si detracta pars BG. Ponatur maior, quam detracta M.
18쪽
TTHEOREM A VII. PROPOS. VII. SI habuerit prima quantitas ad secundam ma
iorem rationem quam tertia ad quartam, sitque prima maior tertia, atque ex prima tertia aequalis quantitas dematur , aut ex primae. minor, quam ex tertia; maior erit ratio residui primae quantitatis ad secundam, quam residui tertiae ad quartam.
PRIMA quantitas AG. ad secundam. C. maiorem habeat rationem quam tertia DΗ. ad quartam F. sitquOAG. maior quam DH.&ex pridia, & tertia aufe- Ay-rantur aequales BG. EH. C E
Dico maiorem esse rati , --l-i- - ri
nem residui AB.ad secunia L---dam. C. quam residui DE. ad quartam F. Quoniam maior est AG. quam DH. & aequales sunt BG. EH. habebit AG. ad BG. maiorem rationem quam DI . ad EH.S permutando, maior erit ratio totius AG. ad totum DH. xm quam partis BG. ad partem EH. quare,&reliqui AB. ad reliquum DE. maior est ratio quam totius Ata ad totum DH. & permutando maior est ratio AB. ad AG. quam DE. ad DH. sed etiam maior est posita ratio AG. ad. C. quam D l. ad F. igitur ex aequalitate maior erit ratio primi residui gi. r. AB. ad secundam quantitatem. C. quam secundi residui DE. ad quartam F. Quod ostendere oportebat. Eodem modo maior fiet ratio residui AB. ad residuum.
19쪽
8 Curui ac recti proportio promota THEOREM A VIII. PROPOS. VIII.
SI fuerit ut prima quantitas ad secundam itae
tertia ad quartam, sitque prima maior tertia, ac primae ac tertiae eadem quantitas addatur, aut primae minor quam tertiae s minor erit ratio primae cum addita ad secundam, quam tertiae cum addita ad quartam.
HABEAT prima quantitas AB. ad secundam.C.eam. dem rationem quam tertia DE.ad quartam F.sitque An maior quam DE.&primp ac tertiae addantur aequales BI. EG. Dico minorem esse rationem A I. ad C. quam DG. ad F. fiat enim ut AB. ad DE. ita BI. ad EH. cum AB. sit maior quam DE. erit BI. id est EG. maior quam EH. Quare cum sit ut AB. ad DE. ita BI. ad EH. erit permutando, componendo, & per conuersi nem rationis vi IA. ad AB. ita H D. ad DE sed ut AB. ad. et ita est DE. ad F. ex hypothesi est ergo, ex aequalitate vis.s. AI.ad C. ita DH. ad F. minor autem est ratio DH. ad F.,s.f. quam DG. ad F. minor igitur etiam est ratio AI. ad. C. quam m. ad F. Quod erat ostendendum. Idem etiam aperte sequitur si BI. ponatur minor quam EG. ut ex modo demonstrandi constat.
Eodem modo inenditur, is ut prima quantitas adsecumdam, ita tertia ad quartam,sitque prima minor tertia, ac prima es tertia eadem quantitas addatur, am prima ma
20쪽
or;maior erit ratio primae cum addita ad fecundam, quam ter iaeum addita ad quartam. Nam s DE.ctatuatur prima, F. secumda, AB. tertia. C. quarta , O addantur ZI.m. aut aequales, aut EG. maior equetur eodem modo minorem esse rationem M. ad C. qtiam DG. ad F. ideoque maiorem esse rationem DG. ad F. quam AI. ad C.
SI fuerit ut prima quantitas ad secundam , ita ter
tia ad quartam, sitque prima maior tertia, atque ex prima & tertia eadem quantitas dematur, aut ex ptima minor, quam ex tertia ; maior erit ratio primi residui ad secundam quantitatem, quam secundi
HABEAT prima quantitas AI. ad secundam C.eandem rationem, quam tertia DG. ad quartam F. sitque A I. maior quam DG. & ex prima ac
tertia demantur,aequales BI. A, ---S--- I. iEH. Dico maiorem esse ratio-: C et V M U. l.
nem primi residui AB. ad sc- D et cundam quantitatem C.quam F secundi residui DE. ad quartam quantitatem. F. Fiat enim ut A I. ad DG. ita BI. ad HG. erit HG. minorquam BI. id et quam EG. Quoniam igitur esti, vi totum AI. ad totUm . DG. ita pars BI. ad partem HG. erit reliquum AB. ad reliquum Des, ut totum A I. ad totum DG. & permutando, ut AB ad AI.ita DH.ad DG. sed ut A I. ad C. ita DG. ad F. ergo ex aequalitate, ut AB. ad C. ita DH. ad F. sed DH. ad F. m iorem habet rationem quam DE. ad F. Igitur primum res duum AB. ad C. maiorem habet rationem,quam secundum DE. ad F. Quod &c. Idem prorsus concluditur si. BI. pona