장음표시 사용
41쪽
s o Curvi ae recti proportio promota.
cus AE. ad arcum ED. minor igitur erit ratio FE. ad EI. quam arcus AE. ad arcum AD. Quare conuertendo,& componendo, maior erit proportio FI. ad FE. id est. CA. ad AB. quam, arcus AE. ad arcum AB. Quod erat demonstrandum.
I sequentibus propositionibus sepe nominibus chordarum , sinus et
tangentium, secantium utemur quorum ircet pleraque Deiunioribus mathematicis incognita fuerint, a recentioribus tamen passim usui pantur, in triangulorum praesertim calculis, qua nos etiam ad C eometricas demon-yrationes traducemus, ut breuitati, ad quam mirum momentum habent, consulamus: multa enim, qua longis ambagibus describenda essent , unico verbo complectemur. Horum definitiones qui ignorat, reperiet apud Io. lomontanum lib. I. de triangulis definit ia. O I g. christophorum clauium tractatu desinubus; Maginum,Pitiscum, Lantabergium, et altos quotquot de triangulis rectilineis ac sphaericis A ripserunt.
THEOREM A XXVII. PROPOS. XXVII. Differentia tangentium remotior a punio contactus ad vicinorem maiorem habet ratione , quam arcus illi respondens ad arcum.
IN Quadrante ABI. ducatur tangens BM., & sumantur quotlibet arcus BL. LF. FΚ. ΚN. quorum primi propiores sint puncto contactus B. & per puncta L. F. Κ. N. ducantur secantes AC. AD.AE.AM. erunt DC. ED. ME. disse
rentiae tangentium,quarum primae viciniores sunt puncto contactus B. Dico maiorem esse rationem ED. ad DC. quam arcus ΚF. ad a
cum FL. & maiorem ipsius ME. ad DC. quam arcusNΚ.ad arcum FL. Vel enim
42쪽
3Idisserentiae illae coniunct* sunt, vel separatae: sint primo coniunctae, ac per punctum F. in quo A D. circulum secat ducatur HG. ipsi MB. parallela secans A E. AC. in punctis H. G. Quo- , niam minor est ratio trianguli GAF. ad triangulum FAH. quam sectoris LAE. ad idem triangulum FAH. & adhuc minor est ratio sectoris LAF. ad triangulum FAH. quam eiusdem sectoris LA F. ad sectorem FAΚ. minor erit ratio trianguli GA F. ad triangulum FAH. quam sectoris I AF. ad sectorem FAΚ. ideoque maior erit ratio sectoris I AF. ad sectorem FAΚ. id est arcus LF. ad arcum FΚ. quam trianguli GA F. ad triangulum FAH. id est quam GF. ad FH. ergo maior ratio HF. ad FG. id i-6. est rectae ED. ad rectam DC. quam arcus X F. ad arcum FL. V . quod prius demonstrare oportebat. 36.s. Sint secundo differentiae illae, ut ME. DC. separatae in te media ED. cum maior sit ratio ME. ad ED. ex paulo ante d mon stratis , quam NΚ. ad ΚF. & ratio ED. ad DC. etiam probata sit maior quam ΚF. ad FI . erit ex aequalitate maior ratio ME. ad DC. quam NΚ. ad FL. Quod secundo erat demo strandum. Igitur differentia tangentium &c.
THEOREM A XXVIII. PROPOS. XXVIII. SI expuncto ubi diameter circulum secat duo ar
cus inaequalcs sumantur , ex quorum extremis ad diametrum duae inter se parallelae ducantur, maior erit ratio maioris arcus ad minorem , quam lineae ductae ab extremo maioris arcus, ad eam quae ab extremo minoris ducta est. EX puncto B. ubi diameter AB. circulum BCD. secat, sumantur duo arcus inaequales BC. minor BD. maior,ex quorum extremis C. D. ducantur parallelae CF. DG. secantes diametrum in punctis F. G. Dico maiorem esse rationem arcus BD. ad arcum BC. quam rectae DG. ad rectam CF.Connectam
43쪽
31 Curui ac recti proportio promota.
tur puncta CD. recta DCE. quae vel concurret cum diametro producta, ut in prioribus figuris, vel erit parallela vi in post riori. Concurrat primo ex parte arcuum sumptorum in E. ducantur AC. AD. Quoniam minor est ratio sectoris BCA. adsectorem ACD. quam trianguli ECA. ad eundem sectorem. ACD.& adhuc minor trianguli ECA.ad sectorem ACD.quam trianguli ECA. ad triangulum CDA .multo minor erit ratio se- 'iri' ctoris BCA. ad sectorem ACD. id est,arcus BC. ad arcum GD. ii quam trianguli ECA. ad triangulum CDA. id est rectar EC. adi-ι- rectam CD.&conuertendo, ac componendo, maior ratio a
cus DB. ad arcum BC. quam DE. ad EC. id est, quam DG. ad CF. Concurrat secundo DC.
non ex parte arcuum sumptorum, ut in tertia figura sed in parte opposita, sitque FC.maior quam GD. Constat mai rem esse rationem arcus DB. ad arcum BC. cum sit maioris inaequalitatis, quam GD. ad FC.quae proportio minorid inaequalitatis est. B
44쪽
3 3Si vero DC.sit parallela ipsi AB.
cum parallelae etiam sint FC. GD. aequales erunt FC. GD. cum ergo maior sit arcus DB. quam BC. maior erit ratio arcus DB. ad arcum CD. maioris inaequalitatis, quam ratio GD. ad FC. quae aequalitatis est. Quod erat demonstrandum. 'B
HInc patet, quod arcus maior ad minorem maiorem habet irationem, quam sinus rectus arcus maioras , ad is num rectum minoris. Si enim tam CF.q am GD. ini ad diametrum perpendiculares , manifestum est ex desinitione tis, rectam CF. esse um rectam arcus BC. or rectam DG. Dum rectam arctis BD. octensum autem est maiorem esse rationem arcas BD. ad arcum BC. quam rectae DG. ad rectam CF.
HInc etiam deducitur maiorem ese rationem arcus ad arcum , quam subtens seu chordae maioris arctis ad chordam minoris. Sint enim duo arcus DEI. Cm. ille maior , hic minor , quorum chorda DI. CU. qui dividantur b fariam , s s. S ad rectos a diametro BA. in punctis G.F. Eodem modo jendemus malorem esse rationem DB. ad BC. quam DG. ad C. F. O terminorum proportionis duplicatione , maiorem esse rationem arcus DBI. ad arc m CBH. quam chorda DI. ad chordam CΗ.
PRaeterea sequitur ex demouEratis maiorem esse rationem ariscus maioris ad minorem , quam secantis complementi minoris arcus, ad secantem complementi maioris. Ect enim , vi mo-
45쪽
3 Curui ac recti proportio promota.
do de monstratum est, maior ratio arcus maioris ad minorem quam us rem maioris ad sinum rectam minoris , ut autem sinus rectusqu- arcus maioris ad sinam rectum minoris, ita secans complementio. de arcus minoris ad secantem complementi maioris . Igitur maior secati- p ratio arcus maioris ad minorem , quam secantis complementidh minoris ad secantem complementi maioris
DEnique conssuis ex puncta quolibet diametri productae ducatur recta circusim scans, maiorem me rationem partis illius rectae extra circulum ad eam quae circuli arcum subtendit, quam arcus diametro es secante comprehensas ad arcum que pars secantis subtendite ostensum enim ect maiorem esse rationem EC. MCD. quam arcus BC. ad arcum CD.
THEOREM A XXIX. PROPOS. XXIX. D serentia tam sinuum rectorum quam ve
forum vicinior centro circuli ad remoti rem maiorem habet rationem , quam arcus cui differentia subtenditur, ad arcum.
IN Quadrante ABI cuius centrum B. latera BA. BI. su mantur quotlibet arcus IN. IN. I F. I L. IA. & ducantur sinus recti NM. Κ E. D. LC.AB. para leti diametro AB.erunt MI. EI. DICI. sinus versid ictorum arcuum. Rursus arcuum AL. AF. AΚ. AN.AI. sinus recti erunt rectae BC.BD. BE. BM.BI. & ME.ED. DC. differentiae tam sinuum rectorum quaversorum. Dico maiorem esse rationem CD. quae vicinior cst centro B. ad DE. quae remotior est, B C E M quam
46쪽
quam arcus LF. ad arcum FΚ. Item maiorem esse rationem . DC. ad ME. quam arcus FL. ad N Κ. Ducantur chordar ΚF. FL. ΚL. Item ex F. & Κ. perpendiculares ad AB. rectae FG.ΚH. secantes CL. in punctis P. Q. Quoniam in triangulis r ctangulis ΚPL. FQL. maior est angulus QI F. angulo PLΚ. minor erit reliquus QFL. reliquo PΚL. Igitur minor est ratio 31. r. PΚ. ad ΚL. quam det ad FL.& permutando minor ratio I(P. huius. ad F dest EC. ad DC. quam XL. ad LF. sed ΚL. chorda . 3 - - arcus ΚL. ad FL. chordam arcus FL.minorem habet rationem . quam arcus ΚL. ad arcum FL. Igitur recta EC. ad re- hutu. ctam CD. minorem habet rationem, quam arcus ΚL. ad ar- as,i cum FL. & diuidendo, & conuertendo, maiorem habet rati nem DC. ad DE. quam arcus FL. ad arcum D . Atque eodem prorsus modo demonstrabibur maiorem esse rationem DE. ad EM. quam arcus tari ad arcum TN. &EM. ad MI. quam A N. ad NI. Sed non sint differentiae coniunctat, ut DC. ac ME. Rursus cum maiorem habeat rationem DC. ad DE. quam arcus FI .ad arcum H . Item etiam maiorem habeat DE ad EM. qua arcus M. ad arcu A N. habebit ex aequalitate DC. ad ME.maiorem rationem quam arcus FL. ad arcum A N.
Denique sint dictat differentiae in diuersis Quadrantibus, ut differentia DC. in Quadrante BAI. & differentia EF. in Quadrante BA Jlla vicinior, haec remotior a centro et sumantur rectae BG. BH. aequales ipsis BetBD. erunt DC. GH. aequales &EF. remotior a centro quam GH. quare maior erit ratio GH. ad EF. quam arcus MN. respondentis ipsi G H. ad arcum OP. r
spondentem differentiae EF; ut probatum est prima parte huius, sed differentiae GH. aequalis est differentia DC. & arcui MN. ar- cus A L. Igitur maior est ratio DC. ad EF.quam arcus TL. ad 'arcum OP. Quod erat demonstrandum.
47쪽
3 5 Curul ac recti proportio promota. THEOREM A XXX. PROPOS. XXX.
SI sint duo arcus inaequales, minor uterque Qua
drante, aut alter maior alter minors maior ad
minorem minorem habet rationem, quam sinus versus maioris ad sinum versum minoris.
IN circulo FEL. sumantur primum duo arcus in Quadrante FL. (cuius inrum A.duae diametri perpendiculares A F. A L. scilicet DF. maior & EF. minor . Ex punctis E. D. in diam trum A F. ducantur sinus recti DB. EC. erit BF. sinus versus
maiorisurcus DF. dc CF. sinus ver sus minoris EF. Dico maiorem esse rationem BF. ad FC. quam arcus
DF. ad arcum FE. - enim FC. di ferentia FA. sinus recti Quadrantis FEL. & sinus recti CA. arcus EL. Item CB. est differentia sinus recti
CA. arcus EL. ix sinus recti AB. a cciii. cus DL. Igitur maior est ratio differentiae BC. vicinioris centro , ad differentiam CF. remotiorem,quam arcus DE. ad amcum EF. & componendo , maior est ratio BF. ad FC. quam DF. ad FE. Sit secundo arcuum alter maior Quadrante, alter minor: ut, arcus FE. sit minor Quadrante FL. & arcus FD. maior e dem Quadrante. Ductis sinibus rectis EΚ. LA. DB. erit XF.sinus versus arcus FE. & BF. sinus versus a cus FD. Item A F. sinus rectus Quadrantis FL. dc AB. sinus rectus arcusLD. Dico maiorem esse rationem BF. ad ΚF.quam arcus DF.ad arcum EF Quoniam maior est arcus FL. arcu LD.maior erit ratio arcus FL. ada
48쪽
cum LD. quam FA. sinus recti arcus FL. ad AB. sinum re- , ctum arcus LD. Igitur maiorratio AB. ad AF. quam arcus i ' .LD. ad arcum FL. & componendo maior ratio BF. ad FA. quam DF. ad FE. sed FA. ad FΚ. maiorem habet rationem quam LF. ad FE; ut prima parte huius propositionis demonia stratum est, ergo ex aequali maior est ratio BF. ad FΚ. quam sinus DF. ad FE. ideoque minor ratio arcus DF. ad arcum FE. sinus quam versi BF. ad sinum versum ΚF. Quod secundo loco erat ostendendum.
PROBLEMA I. PROPOS. XXXI. CIrculum ita secare, ut sinus versi arcuum Qua
drante maiorum maiorem habeant rationem, quam arcus it si maiores cum minoribus comparentur. CENTRO L. describatur circulus ABC. cuius diam
49쪽
38 Curui ac recti proportio promota.
ter A C. & ex L. ducta perpendicularis ra. secet circulum in duos Quadrantes AB. BC. & sumatur arcus BD. qui sit tertia
pars Quadrantis. Item ex D. recta DM. perpendicularis di metro AC. Expunctis autem D. &B. ducantur duae rectae DH. BI. tangentes circulum in punctis D.B.& occurrentes r ctis LB. MD. productis in H. I. ac secantes se in puncto F. Perpunctum F. ex puncto C. ducatur CFΚ. recta secans MD.pr ductam in X. & circulum in o. & LB. in G.& ex o. ducatur ad diametrum perpendicularis ON. erunt MC. NC. sinus versi arcuum DC. OC. quadrante maiorum. Dico maiorem esse, rationem MC. ad NC. quam arcus DBC. ad arcum OB Connectatur LF. secans circulum iu E. Quoniam triangula LDF. LBF. rectum angulum L DF. recto LBF. aequalem ha- bent, estque ut DL. ad LF. ita BL. ad LF.&quilibet reliquo-s,. i. rum angulorum DFL. BFL. minor recto,aequales erunt anguli et O. DLE. BLE. ideoque aequales arcus DE. BE. accum DB. sit 3β i pars tertia Quadrantis, erit DE. sexta pars eiusdem, ac pro inde in triangulo rectangulo LDH. erit angulus DLH. tertia pars recti, & DHL. duae tertiae; ideoque in triangulo etiam rectangulo FBH. erit tam angulus I FB. quam ad verticem I FD. tertia pars, id est quinque decimae quintae unius recti . Rursus in triangulo rectangulo GCL. angulum GCL. id est OCA. metitur medietas arcus AO. quare cum arcus A D. sit duae tertiae quadrantis, & DE. sexta pars quadrantis, erit e rum medietas una tertia ,& una duodecima Quadrantis, id est quinque duodecimae ipsius Quadrantis ; maior autem estas. r. arcus Ao. quam AE. Igitur angulus OCA. id est GCL. id est GFB. id est IFΚ. maior est quinque duodecimis unius recti. Est autem demonstratum angulum II D. continere tantiu quinque decimas quintas unius recti. Igitur maior est angulus lFΚ. angulo IFD. Quare posito eodcm sinu toto FI. maior est secans is. maioris anguli, secante FD. minoris; quibus ficommunis addatur FO. maior erit LO. quam duae DF. TO. at vero duae rectar D F. FO. maiores sunt arcu DO. (vt mox prointilia .babimus malor igitur est rectaΚO. arcu DO. minor autem,
50쪽
est chorda OC. arcu OBC. Igitur maior est ratio rectar ΚO.ad ' i recta OC.quam eiusdem ΚO.ad arcum OBC.& ΚO.ad arcum OBC. maior quam arcus DO. (qui minor est rceta X O. ad arcum OBC. Igitur maior est ratio ΚO. ad O C. quam arcus DO. ad arcum OBC.sed vi ΚO.ad O C. ita MN. ad NC. Igitur maior est ratio MN. ad NC. quam arcus DO. ad arcum OBC. & componendo maior ratio MC. ad NC. quam arcus DC. ad arcum OC. Quod crat demonstrandum. Quod vero maiores sint DF. FO. quam arcus D O. ita probatur . Connectatur LO. & ducatur recta OP. tangens circulum in o. & secans LE. in P. supra punistum E. Cum in triangulo rectangulo LOP. angulus LOP. sit rectus,erit LPO.acu- 31.1.tus,ergo in triangulo OP F.angulus OPF. obtusus ; maius igitur est latus FO. latere PO. At vero maior est tangens DF.'et arcu DE. & tangens OP. arcu EO. Igitur duae tangentes DF. i. de PO. sunt maiores arcu DO. Sed duabus tangentibus DF.LE APO. maiores sunt probatae DF. FO. & ipsis DF. FO. ostensa liuidio est maior ΚO. Igitur maior est ΚO. quam arcus DO.
P sten etiam demonstrari, si punctum aliquod sumatur inter
L. Ut punctum ducatur simus rectus, maiorem esse rationem sinus vers mc. ad senum versum sic. quam arcus T BC. ad ar- eum e se enim non sit maior ratio MC. ad Ce quam DBC. ad ABC.
fit minor aut aqualis, ac ponatur primum minor . cum maior sit ratio 3 i. M C. ad quam arcus DC. ad arcum CO. minor autem ratio MC. ad CPEquam DC. ad Re Igitur, ex i3. huiui, maior erit ratio M q. hi utarusequam arcus DO. ad arcum DR. in conuertendo, minor ratio si M.
ad quam C . ad DO. di diuidendo, minor ratio si g. ad M. , s. quam v. ad OD. quod est absurdum, of ensum enim est propositione as. huius huius, maiorem esse rationem C ad rim. quam m. ad OD. Sed dicatur ratio MC. ad C. eadem esse rationi Dc. ad CR. Q niam est vi MC. ad CQ. ita DC. ad CR. erit per conuersionem rationis, in conuertendo, ut dis . ad BC. ita DIL ad DC. iterum Hs ad Ci maiorem habet rationem quam DC. ad CO. ut in propositione ostensum est, erit per conuersionem rationis, minor ratio m c. ad NH. quam D C.