장음표시 사용
21쪽
Curvi ac recti proportio promota. CONSECTARIVM.
EOdem prorsus madue demonstratur , si prima quantitas ad
secundam,ut tertia ad quartam; sitque prima minor tertia , ac ex prima S tertia eadem quantitas auferatur, aut ex prima minor; minor erit ratio primi re ui ad secundam quantitatem ,
quam secundi ad quartam. Nam si re . statuatur prima. F. secunda. Af. tertia,OC. quarta,ct auferantur ex EI. m. aut aquales,aut BI.minor', sequetur eodem modo maiorem esse rationem Amad C.quam DE.ad F. ideo'e minorem rationem DE. ad F. quam AB. ad C.
THEOREM A X. PROPOS. X. SI sit ut prima quantitas ad secundam, ita tertia ad quartam, quibus singulta quantitates addantur, ita ut additae ad primam & tertiam, i tenta additae ad secundam &quartam sint aequales, sitqu
prima quantitas maior quam secunda,& tertia, atqUe . additum primum maius secundo ; minor erit ratio primae cum addita, ad secundam cum addita, qua uia tertiae cum addita, ad quartam cum addita .
SIT ut prima quantitas AB. ad secundam CD. ita tertia EF. ad quartam GH. quibus ordine addantur IB. ΚD. LF.MH. sintque IB. LF. it Κ D. M H. inter se aequales, AB. autem maior quam CD. aut EF. & BI. maius quam DΚ. Dico minorem esse lationem AI. ad CΚ. quam JUL. ad GM. Fiat ut CD. ad AB. ita DΚ. ad BN. Item ut G H. ad EF. id est CD. ad AB. ( minor ad maiorem ita H M. ad FO.erit BN minor quam BI.&FO. minor quam FL. Igitur 'o erit ut DT ad BN. ita I M. id est DΚ. ad FO. aequales ergo sunt FO. BN. quae si demantur ex aequalibus FL. BI. remanent
22쪽
aequales oL. NI. Cum igitur sit ut AB. ad CD. ita BN. ad DT. erit ut AB. ad CD. ita AN. ad CΚ. & quia est ex constructione ut EF. ad GH. ita Fo. ad MH. erit ut EO. ad seM. ita EF. ad . GH. id est, AB. ad CD.eri Lergo ut AN. ad CΚ. ita EO. ad GM. Quare cum primae AN. & temtiae EO. additae sint aequales. NI. OL. sitque prima maior quam tertia , erit per octauam propositionem huius,minor ratio AI.ad CΚ. quam EL. ad GM. Quod erat demonstrandum.
Eodem modo octendetur, sisti ut prima quantitas adfeι--dam,ita tertia ad quartam s quibus guia quantitates a dantur , ita ut additae ad primam S tertiam , item addita adfe-eundam s quartam sint aequales , s sit prima quantitas maior
quam fecunda ,sed minor quam tertia primam additum maius fecundo, maior erit ratio primae ctim addita ad fecundam cum addita, quam tertiae cum addita, ad quartam cum addita. Ins periori figura Batuatur EF.prima, m. secanda, AB. tertia, CD. quarta reliqua omnia flant , ut in superiora rassum es,inueniemus minorem esse rationem AI. ad CR. quam EL. ad h. idem ematorem esse rationem EL. prima cum addita, ad M. secundam cum addita quam AI. tertiae cum addita, adCC. quartam c mais ita
THEOREM A XI. PROPOS. XI. SI sit ut prima quantitas ad secundam, ita tertia ad quartam, ex fluibus singulae quantitates de
mantur, ita ut subtractae ex prima & terti . , item ex secunda & quarta sint aequales si & sit prima quantitas maior quam secunda ac tertia, primumque B a d
23쪽
x x Curui ac recti proportio promota.detractum maius secundo; maior erit ratio primi re sidui did secundum quam tertij ad quartum.
SIT ut prima quantitas AI. ad secundam CΚ. ita teritas. EL. ad quirtam GM. ex quibus ordine demantur IB. ΚD. LR MI . sintque IB. I F. aequales temΚD. M H.inter se aequales, AI. autem maior quam C Κ. aut EL.& IB. quam ΚD. Dico maiorem esse rationem AB. ad CD. quam EF.ad GH. Fiat vi CΚ. ad AI . ita DΚ ad . IN. Item ut G M.ad EL.id est,CΚ.ad AI. mi nor nempe ad maiorem ita H. M. ad OL- erit 'IN. minor quam BI. & OL. minor quam FL. Igitur erit ut DΚ. ad IN. ita, HM. id est DΚ. adoL.aequales ergo sulit OL.IN.quae si demantur exaequalibus FL. BI. remanent etiam aequales OF. BN. Cum igitur sit ut AI. ad CΚ. ita NI. ad XD. erit & residuum AN. ad residuum CD. ut totum AI.ad totum CΚ.Et quia est etiam ut EC ad GM. ita OL. ad MI . crit residui EO.ad residuum G H. ut totum EL ad totum GM.id est,ut A I. ad CΚ. Igitur erit ut AN.ad CD. ita EO. ad GH. Rursus ex AN. prima & EL. tertia demptis aequalibus BN. FO. erit, per nonam huius, maior ratio AB.ad CD.quam EF.ad GH. Quod fuerat demonstrandum
Non aliter ostendetur sit ut prima quantitas ad secodam ita tertia ad quartam, ex quibus gulae quantitates demantur, ita vi subtracta ex prima S tertia , item ex secunda sequaria set aquales , Ost prima quantitas maior quam secunda, sed minor quam tertia , ac primum detractum nivius secundo minor erit ratio primi residui ad secundum, quam teridi ad quartum. Uoc probabimus ratione simili qua usi semus in superioribus corollari s ,s EL. statuatur prima quantitas, M. fecunda AI. tertia CR. quarta. Nam si reliqua fiant, ut in propositione dictum
24쪽
est , Isaeniemus maiorem esse rationem AB. ad CD. etiam O. ad GH. ideoque minorem esse proportionem EF. ad G . quam Am
THEOREM A XII. PROPOS. XII. SI fuerint quatuor magnitudines, & aliae ipsis ae
quales numero, quae sese eodem ordine sup rent, sitque primae ad secundam in primis magnitudinibus maior ratio, quam primae ad secundam in secundis, & tertia ad quartam minorem habeat rationem in primis, quam in secundis, sitque tertia magnitudo differentia, aut aggregatum primae & secundae s minor erit ratio secundae ad quartam in primis, quam in secundis magnitudinibus.
SINT quatuor magnitudines petiores B A. AG. BG. GE.& quatuor posteriores DC. CH. DH. HF. quae sese eodem ordine superent, sitque maior ratio BA. ad AG. quam Det ad
CH. minor autem BG. ad GE. quam DFq. ad HF. sitque GR. differentia ipsarum BA. AG. (vt in prima, secunda & quarta serie aut earundem aggregatum , ut in reliquis. Dico min rem esse rationem AG. ad GE. quam CH. ad F F. Cum enim sit maior ratio BA, ad AG. quam DC. ad CH. erit in prima, secunda & quarta serie, diuidendo,& conuertendo, in reliquiS componendo, &conuertendo, minor ratio AG. ad GB. quam
25쪽
i Curui ac recti proportio promota.
quam CH.ad H D. sed GR. ad GE. etiam minor ratio posita est, quam HD. adHF. igitur ex aequalitate, minor erit rati AG. ad GE. quam CH. ad I F. Quod erat ostendendum . .
SI sint tres magnitudines , de aliae ipsis aequales
numero, quae sese eodem ordine superent, si que primae priorum ad secundam maior ratio, quam primae posteriorum ad secundam; primae autem priorum ad tertiam minor ratio, quam primae posteriorum ad tertiam , sitque prima maior quam secunda, & tertia maior erit ratio differentiae primae,& secundat, ad diffitentiam primae, & tertiae in prioribus magnitudinibus, quam in posterioribus.
SINT tres magnitudines AB. BE. BG. priores , & tres CD. DF. DH. posteriores, sitque tam prima priorum AB.maior ipsis BE. BG. quam CD. prima posheriorum maior ipsis DF. DH. sitque maior ratio AB. ad AG EB CARD
DF. minor autem ratio AB. ad BG. quam CD. ad DH. Dico maiorem esse rationem AE. differentiae prima', & secundae,ad AG. differentiam primae, & tertiae in primis magnitudinibus, quam sit ratio CF. differentiae primae, & secundae, ad CH. di ferentiam primae, & tertiae in secundis magnitudinibus. Qu viam maior est ratio AB. ad BE. quam CD. ad DF. & permutando maior ratio totius AB. ad totum CD. quam partis EB. ad partem FD. maior etiam erit ratio residui AE. ad residuum CF. quam totius AB. ad totum CD. N permutando inaior ratio AE. ad AB. quam CF. ad CD . Eodcin modo cum minor sit ratio AB. ad BG. quam CD. ad DH. & pennutando minor ratio totius AB. ad totum CD. quam partis GD. ad partcm HD.
26쪽
HD. erit&residui AG. ad residuum CH. minor ratio quam totius M. ad totum CD. & permutando ac conuertendo maior ratio AB. ad AG. quam CD. ad DH. Cum igitur maior sit ratio AE. ad AB. quam CF. ad CD.& maior ratio AB.ad AG. quam CD. ad DH. erit ex aequalitate maior ratio AE. ad AG. quam CF. ad CH. Quod erat probandum.
HInc etiam aperte inenditur, minorem esse rationem di mrentia imae 'secunda magnitudinis , ad disserentiam secundae tertiae in pnmis magnitudinibus , quam in secundis: Videlicet minorem esse rationem O. ad EG. quam CF. --.cum enim ensem sit maiorem esse rationem AE. ad . quam . ad . erit per conuersionem rationis minor ratio AE. ad EG. quam . iam.
PRatere a se itur minorem esse rationemsecundae magnitudinis , ad differentiam secunda, Omaior quam CD.--.eruper conuersonem rationis-diuidendo metnor ratio D. ad EA. quam FD. ad O. sed AE. ad EG. ex praecedenti Corollarios minorem habet rationem quam CF. ad FH. Igitur ex aequali , M. ad EG. minorem isset rationem, quam DF. ad m,dinibus, quam in secundis: videlicet minoremad m. quam O . ad FH. Nam e m posita stet primis magnitu- esse rationem EB, ratio AB. -
COUM etiam maiorem esse rationem , AB. prima quantitatis, ad M. disserentiam secunde , stertia , quam CD. ades cum enim insuperiori Corollario ostensam A mmorem esse rationem BE. ad GE. Pam DF. ad M. erit componendo , minor ratio m.
27쪽
ic Curui ae recti proportio promota.
m,. ad O. quam DΗ. ad Η F. Et rumias eum sit minor ratio D. ad BG. quam CD. ad DΗ. erit ex aquasi minor ratio AB. ad Gmquam CD. ad O.
O Uod si proposito prima ad secuadam fuerit minor in primo ordia
ne quam in fecundo, di prima ad tertiam maior, in primo quam in feeundo, hine etiam in conclusionibus seu demonstrationibus , versa maiori proportione in minorem, omnia eo modo sequentur, quo in propositione: ut si minor fuerit ratio in O. ad BE. quam CD. ad DF. maior autem AB. ad BG . quam CD. ad DH. sequetur , ut in propositione , minarem esse rationem AE. ad AG. qiam CF. ad CH. in primo corollario , minorem rationem AE. ad Es. quam CF. ad FH. In fecundo, maiorem esse rationem BE. ad EG. quam DF. ad TH. in tertio denique maiorem rationem Ad. ad GE. quam CD. ad EF.
SI exprima quantitate, quae aequalis sit secundar
aut minor, auferantur tertia & quarta, &ex secunda , quinta & sexta, sitque tertia maior quam quarta & quinta, & quinta quam sexta, &disserentia tertiae & quartae aut maior aut aequalis differentiae
quintae &sextae; maior erit ratio complemcntiquar tae ad complementum tertiae,quam complementi sex tae, ad complementum quinta . SINT duae quan fiates aequales, prima AB. secunda CD. ex prima auferantur AE. tertia , S AF. quarta; Item ex CD. secunda demantur CG. quinta & CH. sexta, sitque AE. ipsa CG. maior, & differentiata A F E FE. maior, aut aequa lis di L . HGfercntiae HG. Dico maloia C re Prem esse ration FB. complementi ipsius AF. ad ER
28쪽
LIBERI. - ITeomplementum ipsius AE. quam H D. complementi ipsiusCH. ad GD. complementum ipsius CG. Quoniam enim ex aequalibus quantitatibus, AB. CD. inaequales demptae
sunt AE. maior CG. minor, superest EB. minor, GD. ma-s .axi,
ior. Igitur minor est ratio BE. ad EF. quam BE. ad GH. & Dad BE. ad GH. minor quam DG. ad GH. Igitur minor est ratio BE. ad EF. quam DG. ad GH. & componendo, ac per conuersionem rationis,maior est ratio FB. ad BE. quam H D. ad DG. Idem etiam sequetur, si FE. & HG. ponantur aequales, aut AB minor quam CD. Quod euidcntius est quam ut probati ne indigeat.
LEMMA.SI sint tres magnitudinu continue proportiona
les ; habebunt differentiae eandem rationem quam magnitudines.
SINT tres magnitu dines AB.AC. AD. in con- , D Cxinua proportione, qua rum differentiae sint BC. CD. Dico esse ut A C. ad AD. irata BC. ad CD. Nam quoniam est ut AB. ad AC. ita AC. ad AD. erit dividendo, & permutando ut BC. ad CD.ita Aead AD. idest AB. ad AC. quod erat demonstrandum.
THEOREM A XV. PROPOS. XV.SI sint tres magnitudines in continua proportione maiori, sintque priores po sterioribus maiores: maior erit ratio disserentiae magnitudinis primae & secundae, ad disserentiam secundae & tertiae, C quam
29쪽
,s Curvi ac recti proportio promota. quam magnitudinis primae ad secundam, aut secundae ad rertiam. SINT tres magnitudines AB. AC. AD. in continua pro- poitione maiori , sitque BC. differentia priirae & secundae magnitudinis, & CD. dis
ferentia secundae &tertiae, x T, C sitque AB. maior quam A. -- -e-ι- BAC. & AC. quam A D. Dico maiorem cita rationem BC. ad CD. quam AB. ad AC. aut A C. ad AD. Fiat ut BA. ad y CA. ita CA. ad AE. erit AE. minor quam AD' cadetque pun- ' istum E. inter D.&A. Quare cum sit ut AB. ad AC. ita AC. adi ema AE . erit ut BC. differentia primae & secundae magnitudinis,
h, ad CE. differentiam secundae & tertiae, ita AB. ad AC. sed . maior est ratio BC. ad CD. quam BC. ad C E. igitur maior est ratio BC. ad CI . quam AB. ad AOsed etiam AB.ad AC. maior est quam AC. ad AD. Igitur maior est ratio BC. ad CD quam AC. ad AD. Quod erat demonstrandum.
THEOREM A XVI. PROPOS. XVI. SI sint tres magni rudines in continua proportiO-
ne minori , sintque priores posterioribus maiores et minor erit ratio disserentiae primae secundae magnitudinis , ad disterentiam secundae &termae, quam magnitudinis primae ad secundam secundae ad tertiam.
SIT minor ratio AB. ad AC quam AC. ad AD. sintque priores posterioribus maiores, & disterentiae sint BC. CD. Di cominorein cffc rationem LC. ad CD. quam AB. ad AC. aut A C. ad AD. Fiat ut AB ad AC. ita CA. ad AE. erit AE. ma Lem ior quam A D. & cadet inter D & C. Erit igitur, per lemma praecedens, eadem ratio BC. ad CE. quae AB. ad AC. sed ra-
30쪽
Xytio BC. ad CD. minor est quam ratio BC. ad CE. igitur minor 8 r.est quam ratio AB. ad AC. ideoque etiam quam AC. . D E cad AD.quae ratione AB.ad i a AC. minor posita est. Quod erat ostendendum.
THEOREM A XVII. PREPOS. XVII. SI fuerint tres magnitudines in continua proportione maiori, sintque priores posterioribus minores; minor erit ratio differentiae primae magnitudinis & secundae, ad disserentiam secundae m. tertiae, quam magnitudinis primae ad secundam, aut
secundae ad tertiam. SIT maior ratio AB. ad AC. quam AC. ad AD. sint que priores posterioribus minores, & differentiae sint BC. CD. Dico minorem esse rationem BC. ad CD. quam AB. ad AC. & AC. ad AD. Fiat ut A C. ad AD. ita AE. ad AC. minor erit AE. quam AB. cadetque punctum E. inter io. s. A. & B. Igitur cum sit ut AE. ad AC. ita AC. ad A D. crit,per lemma praecedens, ut A C. ad AD. ita EC. ad CD. sed BC.ad , , huCD minorem habet ratio- ius nem quam EC. ad CD. . E R C p, i, Igitur minorem habet rationem quam AC. ad CD. sed AC. ad AD. minorem habet quam AB. ad AC. igitur BC. ad CD. ctiam minorem habet quam AE. ad EC. Quod erat, &c.
THEOREM A XVIII. PROPOS. XVIII. SI fuerint tres magnitudines in continua proportione minori, Ac ordine minores ; maior erit ratio differentiarum quam magnitudinum. C et SIT