장음표시 사용
31쪽
1o Curvi ac recti proportio promota.SIT minor ratio AB. ad AC. quam AC. ad AD. minorque sit AB. quam AC. & AC. quam A D. & ditarentiae, ut prius BC. CD. Dico maiorem esse rationem BC. ad CD. quam AB. ad AC. aut A C. ad AD. Fiat ut AC. ad AD. ita AE . ad AC i' i' erit AE. maior quam AB. cadetque inter pueta BC. cum igitur sit ut AE. ad AC ita AC.
ad AD. erit per lemmata B E C IS. huius ut AC. ad AD. i is. s. ita EC. ad CD. sed BC. ad CD. maiorem habet rationcm , quam EC. ad CD. igitur etiam maiorem habet rationem
quam AC. ad AD. sed etiam AC. ad AD. maiorem habet rationem quam AB. ad AC. ergo BC. ad CD. maiorem habet rationem quam AB. ad AC. Quod fuit demonstrandum.
THEOREM A XIX. PROPOS. XIX. SI fuerint tres quantitates in continua ratione
maiori,&ordine maiores; duae disserentiae cum
tertia quantitate erunt in continua ration maiori. SINT tres quantitates AB. AC. AD.AB. maior qua AC. &AC.quam A D. maiorquo D C sit ratio AB ad AC. quam A - - AC. ad AD. Dico malo rem esse rationcm BC. ad CD. quam CD. ad DA. Quoniam enim tres quantitates AB. AC. A D. sunt in continua propoma f. tione maiori, maior erit ratio disserentiae BC. ad disserentiami, 'm' quam CA. secundae magnitudinis, ad DA. tertiam sed CA ad AD. maiorem habet rationem quam CD. ad AD. ergo
32쪽
SI fuerint quotcumque quantitates in continua
proportione maiori, & ordine maiores; maior erit ratio primae differentiae ad secundam disse rentiam , quam ultimae disserentiae ad ultimam magnitudinem. SINT quatuor quantitates AB. CB. DB. EB. sitque maior ratio AB. ad CB. quam CB. ad DB. & DB. ad EB. & AB. maior quam CB. & CB, C DEquam DB. & DB. quam A--ἔ-- -- BEB. Dico maiorem eis rationem AC. ad CD. quam DE. ad EB. Quoniam maior it. est ratio AC. ad CD. quam AB. ad CB. id est quam CB. hujus ad DB. & DB. ad EB. at vero DB. ad EB.maior est quam DE. g. . ad EB. maior ergo erit ratio AC. ad CD. quam DE. ad EB. Quod fuit demonstrandum.
THEOREM A XXI. PROPOS. XXI. SI habuerit prima quantitas ad secundam maio
rem rationem, quam tertia ad quartam, fueritq;prima maior quam secunda,aut tertia: etiam differentia primae & secundae erit maior, quam disserentia tertiae & quartae .HABEAT prima quantitas AB.ad secundam EB. mai rem rationem quam tertia CD. ad quartam FD. sitque AB. maior quam AE. aut CD. C EDico maiorem esse AE. di L A , ------ Bferentiam primae & secunia Ci- - Ddae, quam CF. differentiam tertiae & quartae. Cum enim
maior sit ratio AB. ad BE. quam CD. ad DF. erit eadem tot ad
33쪽
xi Curui ac recti proportio promota.
ad maiorem aliquam BG. sit igitur vi M. ad BG. ita Cinad DF. erit per connersionem ra tionis ut AB. ad AG. ita CD. ad CF. & permutando ut AB. ad CD. ita AG. ad CF. Sed maior est AB. quam CD. ex hypothesi, igitur maior est AG quam CF. & adhuc maior AE. quam CF. Quod erat demo
I duo arcus circuli inaequales sint suis compi mentas ad idem punctum minores, sinsuli singulis ; maiorem habebunt rationem quam complementa , si maiores cum minoribus comparentur.
SIT circulus CEA. in quo arcus duo inaequales CD. minor,CE. maioriquorum complementa ad idem punctum A.sint arcus DA. minoris, EA. maioris, Aille maior quam CD. hic quamCE. Dico maiorem esse rationem CE. ad CD.quam AD.ad AE. Cum.n. maior sit arcus AE. arcu EC. idemque arcu CD. si duobus AE. CD. bu' addatur communis DE.maior erit '' ratio AE ad CD. qua AD. ad CE. Et permutando maior AE. ad AD. Corol quam CD. ad CE. ideoque maior CE. ad CD.quam A D. ad AE. Quod fuit ostendcndum.
THEOREM A XXIII. PROPOS. XXIII. SI sint duo triangula unum angulum uni angulo aequalem habentia , reliquos duos in squales ,
quorum neuter sit obtusus , minor erit ratio lateris adiacentis angulo maiori, ad latus oppositu ire,
34쪽
angulo tquali in uno triangulo, quam lateris adiacentis angulo minori, ad latus oppositum angulo squali , in altero triangulo.
SINT duo triangula ABC.DEF. quorum anguli ad A.D. sinr aequales, angulus vero ABC maior quam DEF. ideoquo ta
ACB. minor quam DFE. nullus autem angulorum ad B. C. E. F. sit obtusius. Dico minorem esse rationem AB. lateris adia-ccntis angulo maiori ABC. ad latus BC. oppositum angulo aequali A. quam lateris DE. adiacentis angulo minori DEF. adlatus EF. oppositum angulo aequali D. Fiat angulus ABG. aequalis angulo DFE. erit triangulum ABG. aequiangulum. 31. I. triangulo AEF. Igitur angulus AGB. aequalis angulo DFE. cum vero angulus DFE. id est AGB.non sit obtusus,erit vel r ctus vel acutus, si rectus erit eius complementum BGC. etiam i s. r. rectus; si acutus erit angulus BGC. obtusus, ergo angulus sx. i. BCG.acutus;maius igitur latus BC. quam BE. Cum igitur in i ', triangulis a quiangulis DEF. ABG. sit ut DE.ad EF. ita AB.ad BG. habeat autem AB. ad BG. maiorem rationem quam AB. 8.f. ad BC. etiam DE. ad EF. maiorem habebit rationem quam is . s. AB. ad BC.atque adeo minor est ratio lateris AB. ad latus BC. quam lateris DE. ad latus DF. Eodem modo demonstrabimus minorem esse rationem DF. ad FE. quam AC. ad CB. si fiat angulus EFH. aequalis angulo BCA. idem enim prorsus efficitur. CO-
35쪽
i. Curui ac recti proportio pro mota.
HInc sequitur Et Nini duo triangula unum angulum uni angulo aqualem habentia, reliquos duos inaequales, quorum neuter sit obtusus, minor erit ratio lateris oppositi angulo minori , ad latus oppositum angulo aequali in uno triangulo , quam lateris oppositi angulo maiori, ad latus ovo tum angulo aequali in alio triangulo. Sint enim saperius duo triangula ABC. DEF. quorum anguli ad A. D. ag ales angulus DFE. maior quam ACB.s angulus DEF. minor quam ABC. quorum nullus is obtusus. Conclat ex superias demonstratis minorem esse proportionem DF. ad FE. quam AC. ad CB. sed DF. opponitur angulo DEF. qui minor esensus quam ABC. Igitur minor est ratio lateris DF. opposti minori angulo E. ad latus EF. oppositum uniaequalium D. quam lateris AC. oppositi maiori angulo A. ad latus BC. oppositi angulo aquali A.
RUrsi pestis qua superius, maior erit ratio lateris oppositi
angulo aequali , ad latus oppositam angulo minori in uno triangulo, quam lateris opposti alteri aequalium angulorum, d l tus oppositum maiori angulo. OLFensum enim ect minorem esse rationem AB. ad BC. quam DE. ad DF. Igitur conuertendo maior erit ratio CB. opposti uni angulorum aequalium A. ad latus AB. positum minori angulo C. quam lateras FE. oppositi alteri aequalium angulorum ad latas ED. oppostum maiori angulo DFE.
THEOREM A XXIV. PROPOS. XXIV. SI sint duo triangula quae unum angulum uni angulo aequalem habeant, habeat autem alterum ipsorum angulum quolibet angulo reliqui
36쪽
trianguli maiorem: maior erit ratio lateris oppositi angulo aequali, ad alterum latus adiacens angulo maximo,quam lateris oppositi angulo aequali, ad latus quodlibet reliquum in altero triangulo. SINT duo triangula ABC. DEF quorum illud habeat
angulum ACB. maiorem quolibet angulorum DEF. DFE. sintque anguli ad D. A aequales. Dico maiorem esse rationem lateris Betoppositi uni angulorum aequalium A. in trianis
gulo ACB. ad latus CA. adiacens angulo ACB. quam. Iatcris FE.oppositi alteri angulorum aequalium D. ad quodlibet laterum DE. DF. Sint enim primum anguli F. E.non obtusi, & fiat angulus ACH. aequalis angulo DEF. cadet CH. intra triangu lum , quod maior sit angulus ACB. angulo DEF. cumque aequales sint anguli D. A. aequiangula erunt triangula ACH. DEF: & anguli AHC. DFE. aequales, angulus autem
DFE. ex hypothesi vel rectus cst,vel acutus. Igitur etiam a gulus AH C. vel rectius est vel acutus ac proinde eius comple- 'i' 'mentum CHB. vel rectus vel obtusus, acutus igitur est CBA. 3 i, ideoq; maior est recta CB.quam recta CH. Igitur etiam maior is. i.
est ratio BC.ad CA.quam HC. ad CA. id est quam FE. ad ED. 'ccum similia sint triangula FED. HCA. in altero triangulo.
Rursus fiat angulus ACG. aequalis angulo EFD. eodcm prorsus modo ostendemus aequiangula esse triangula DEF. AG C. & angulum AGC. angulo FED. esse aequalem, qui cum sit rectus aut acutus, erit CGB. rectus aut obtusus, sed B.
Ostensus est acutus s maius igitur latus CB. quam CG. Quar D maior
37쪽
Curui ac recti proportio promota.
maior ratio BC. ad CA. quam CG. ad CR. id est quam ERad FD. Quod eratos enecndum. Iam vero sit DEF.obtusus, ex hypothesi minor quain BCA. ac proinde DFE. acutus,fatque angulus Ac H. aequalis angulo DEF. erit angulus ad Id. aequalis angi o ad F.ex paulo ante demonstratis, ideoque acutuS, quare eo modo quo prius probabitur maiorem esse rationcm BC. ad CA. quam FE. ad ED. Sed angulo FED. Obtuso fiat aequalis CGA .cum aequales sint anguli CGA.GA C. angulis FED. EDF. aequiangula sunt triangula FED. CG A. quare& similia. Rursus maior est recta BC. quam recta CG. ut mox ostendemus. Quare cum sit ut EF ad FD. ita GC.ad CA. maior autem sit ratio BC.ad CA. quam GC. ad CA. maior etii. . erit ratio BC. ad CA. quam EF. ad FD. Quod vero CG. sit minor quam CB. ita demonstramus. Sumatur CI.aequalis ipsi CB. vel igitur punctum. G.cadit tu punctum. I.vel ultra. I. ve sus A. vel inter I.& B. Cadat primum in punctum. I. si fieri potest, erunt anguli CIB. CBI. aequales cum igitur tam anguli trianguli ABC. BCA. CAB.quam duo CIA. LIB. aequales sint duobusrectis, ablatis aequalibus CBI. CIB. remanebunt duo BCA. CAB. aequales angulo CIA. ergo angulus CIA. maior est angulo ACB. sed angulo CIA. ponitur aequalis FED. ergo angulo ACB. maior est angulus PED. quod est contra hi pothesim , qua ponebatur minor. Quod si dicatur cadere in punctum Κ. inter I.&A. adhuc maior crit angulus ille, cum maior sit angulus cxternus AΚC. intemo de opposito AIC. Si vero e dat inter I. & B. ut in L.ttinc CL. subtendens angulum acutum Ct L. mi nor est recta C I. subtend cnte angulum obtusum CLI .atque etiam ei aequali CB.atque hoc modo in quodcumque punctum cadat ipsum G. ostendctur recta GC. minor quam CB. Quare sequetur quod demonstrandum crat.
Ex dictis colligitur I duo qualibet triangula comparentur ,
quae unam angulum uni angulo aequalem habeant , maiorem
38쪽
esse rationem Dieris oppositi angulo aequali , ad latus ad acens angulo maiori in uno triangulo, quam lateris oppositi angissi aeqviali
ad latus adiacens angulo minori in altero triangulo i ct conuertendo , minorem esse rationem lateras adiacentis angulo maiori,ad la tus oppositum angulo aequali, quam adtacentis angui . minora, ad
oppositum angulo aequali , hoc enIm duabus praecedentibus demen-Eratum est. Exclusimus.a.m Coroll. 2 3 .h us,ex angulis inaequalibus , obtusum, non sine ratione . Potes enim contingeres alterum triangulorum B ambligonium, ut non sit minor ratio latens oppositi angulo minori, ad latus ora tum angulo aequali in uno triangulo, quam ratis lateris onasti angulo maiori in altero, faeati Juando aequalis, aut maior . Sit tmangulum ASC. obtusiavx-lum ad B.s oxygomum DE F.cuique angulus EDF. aequalis angulo BAC. si atque an gulus Asu. aequalis angulo DEF.
gulus HGB. maior quam Um. maior erit ratio AH. ad HG. id 8. s. est AC. lateris oppositi angula maiori ABC. ad CB. Ottis op- .6. postum angulo aequali A.quam Aes .ad HB. id est DF. lattis oppost tum an otio minori E. ad FE. latus oppositum angulo aequali D. Si vero AG Derit ips HB. aequalis S angulus reGB. angulo HBG. aequalis,erit vi Au . ad . id esIm AC. a CB.ita M.ad HBfei licet DF. ad FE. Sin autem Gli. fuerit maior, es angulis HGB. minor angato HEG.minor erit ratio M. ad HG. d est AC. ad CB. , , quam Aes . ad HBs DF. ad O.
39쪽
1 8 Curui ac recti proportio promota. THEOREM A XXV. PROPOS. XXV. Si duo trian gnia unum angulum uni angulo ae
qualem habuerint, reliquos inaequales et latus oppositum minori angulo unius trianguli, ad latus oppositum maiori minorem habet rationem quam latus oppositum maiora angulo in alio triangulo, ad latus oppositum minori. SINT duo triangula ABC. DEF. in quibus anguli ABC
DEF.aequales,reliquorum BAG. sit maior quam EDF. atque, ideo DFE. maior quam ACB. Dico rationem lateris AB. oppositi angulo BC A. minori quam DFE. ad BC. latus oppositum angulo BAC. maiori quam EDF. esse mino- Crem ratione lateris DE. oppositi angulo maiori F. ad latusFE. oppositum angulo minori. D. Fiat angulus BAG. aequaliis minori EDF. Cum aequalis positus sit angulus B. angulo E.&factus angulus BAG.aequalis angulo D. Squiangula erunt
triangula ABG. DEF.est ergo ut DE .ad EF. ita AB. ad BG. sed ,' AB.ad BG. maior est ratio quam AB.ad BC. Igitur etiam DE ad EF. maior est ratio quam AB. ad BC. atque adco minor est ratio AB.ad BC.quam DE. ad EF.
40쪽
a. 'Eodem modo ostinditur, latus oppositum maiora angulo unius trianguli , ad latas oppositam minori maiorem habere rinnonem , quam latus oppositim minori angulo in alio triangulo , ad latus oppositum maiori ensem enim est , maiorem esse rationem DE. ad EF. quam M. ad BC.
THEOREM A XXVI. PROPOS. XXVI. ARcuum iniqualium in Quadrante, tangenS ma
ioris ad tangentem minoris maiorem habet rationem, quam arcus maior ad minorem. IN circulo AED. cuius centrum G. diameter GA. secans circulum in A. sit arcus maior AD, minor AE.& ex puncto A. ducatur ipsi GA. perpendicularis AC. tangens circulum in A. quam productam quantumlibet secent rectae ex G. centro per puncta E. D.ductae, in punctis B. C. erit A C. tangens maioris arcus,& AB.minoris, ex definitione tangentium. Dico maiorem esse rationem CA. ad AB. quam arcus DA. ad arcum AE. Ducatur ex E. termino minoris arcus ad AG. perpendicularis EF. quae producta secet rectam GC. in puncto I. Quoniam minor est proportio trianguli FGE. ad triangulum EGI. quam sectoris ' AGE. ad idem triangulum EGI. &rursus minor est proportio .
hJL Wad triangulum EGI. quam eiusdem sectoris'
AGE.ad lectorem EGD.minor erit proportio trianguli FGE. si iad triangulum EGI. quam sectoris AGE. adsectorem EG D. V Sed ut triangulum FGE. ad triangulum EGI. ita recto . g. FE. ad rectam EI. & ut sector AGE. ad sectorem EGD. ita ara