장음표시 사용
11쪽
xit. Pomosndri paue i i ii ad Geometriani Iaertinent, aqgressus est
Anaxagdrarum cia Romemus ; hoc Vero aliquanto iunior Oenopides e litus, Hippocrates itidem Chius, atq; I heodorus Cyreneus inlagnesti, eo increta ex sere ; ac pii Titim rium , qui ireruntur inippocrati elementa Geometrica doni eripsit e Suecestit Plato, qui mrn Geonim
triam, tum e teras urat he naticas disciplinas quam malinac M ac
auxit. Eodem tempore floruere Leodamus Thasius, Archytas Tarentinus, I herum ruetus Athenum i eoclides,atque eius distapultis Leon; horum primiTheoremata auxerunta ad petitioremq; p adum e constitutionem ; postremi vero multa ijs, que superiores excogitauerant. addidere, ira , t Leon accuratius construxetit elementa, & propter multitudinem, & propter usum eorum, quae tiripfir ostenduntur: ac determinationem inuenerit, quando scilicet Problema, quod quaeritur, possibile sit necne. Eudoxus deinde Cnidius primus Theorem cum eorum, quae uniuersalia appellantur, numerum reddidit locupletiorem, ac tribUS proportionibus tres alias adiecit,qusque circa secti nem a Platone simplerant initium, in copiam, re sol utionibus, ut ille, i ii ipsis usus,diffudit uberiorem. Amyclas vero Heracleotes, Meneci mus Eudoxi discipulus, eiusque frater Dinostratus perfectiorem adhuc fecere Geometriam. Postmodum TheudiuS Magnes elementa construxit egregie, multaque particularia magis uniuersalia fecit.
Successere Cy Eicinus Atheniensis, atque Hermoti musNolopbonius. Jlustres Geometrae, qui Hermotimus ea, quq ab Eudoxo, reet hesth, to edita metant fusius illustrauit, compluraque inuenit element3 , ν - cosque nonnullos conscripsit. Post Philippum denique Metaeum Platonicum Euclides hcc aggressus est diligentius; nam elementa collegit , & naulta quidem construxit eorum, quae ab Eudoxo, multa vereri perfecit, quae a I heartheto reperta fuerant; de quae priores imbecillius Ostenderant, ad eas iple demonstrationes redegit, quae neque coarguit neque conuinci possunt. Post ipsum Euclidem usque ad tempora pro Vicii Diadochi, licet nullus uniuersam elementhem institiarionem sit
ausus aliter contexere, adhuc ramem extant in ipso Proclo fragmenta
Apollonij, Ptolemaei, Pappi Alexandrini, Heronis, & Gemini,in quibus
non pauca Euclidianae institutionis elementaris corriguntur, & prolixitatis, aut obscuritatis incusantur. Unde coniecta tr licer qiram plui inrialia Euclidis loca veterum centuram non est ij si e q ramo troii extent innumeri codices, quibus hoc possit ma infeste com 'bari; proximis 'quidem temporidus non desuerunt Arabes, qui duo praeeipua Euclidis N. loca corrigere studuerint; alterum in primo libro, ubi parallelarum passiones olfenduntur; alterum in quanto de proportionibus. Idem Io: Baptista Benedictus ,nonnullique iuniores iecere.
Sicuti ergo multis ante, dc posripsem Eueside immiti licebit qu6que i
12쪽
que mihi, seruata antiquitatis reuerentia, iterum elementa Geometri q. maioribus reperta, longoque tempore exculta, atque aucta in niuam formam, clariorem, aliquibus etiam in locis firmiorem contexta restituere; quod quidcm, quo ordine sit factum , postquam occasionem, quq me ad scribendum impulit, enarrauero, paucis expona m . Decimus septimus est annus, ex quo cum a Mamertino Senatu ad Italiae Academias missus Florentiam attigissem, Tua Celsitudo me liti manissime excepit; cumque tunc temporis de quinto Euclidis clemen- . torum libro restaurando inter viros doctos disceptaretur; ipse quoque eandem rem contemplari sum aggressus, animaduertique restitutiones omnes eiusdem quinti libri ab alijs factas, siue typis excusas, siuestylo exaratas optatam difficultatis metam minime attigisse, neque de-hitam Euclidiano operi adhibuisse medicinam. Inueni demum inisi fal-Ioσlegitimam demostrandi viam,illamque Geometriae partem hactenus obscuram declaraui. Idcirco de propos tionibus, & proportionalitate librum composui, & cum plurimis matbematicas probe callentihus amicis communicaui ; quorum iudicio atque hortatu sollicitatus, reliquos etiam elementaris institutionis Euclidianae libros (quos facilius ac breuius tradi posse multoties affirmaueram; si nimirum ordo ab ipso Euclidpirauatus perturbaretur sum denique aggressus. Quorum exemplaria schedis commissa, Pisis tandem in hanc breuissimam formam redegi, in qua ea omnia quae Euclides propositionibus I. comprehindit, ea ego propos ago. exposui, si excipiantur lemmata, & quae ex Archimede, Pappo, & alijs adieci. Atque eiusmodi forma contexui, ut propositiones praedictae multo breuiores ac faciliores, saepe etiam
uniuersaliores re aderentur,illas autem propositiones tantummodo in- iactas reliqui, quas faciliores,breuioresque reddere minime potui. Primus itaque meus liber propositiones 3 . tantum habet. Secundus et .
di ipsae sunt, quae in I. & IIL Euclidis. Tertius autem de proportione, det proportionalitate agit;qui omnino nouus est,amplectiturq; propositi nibus a .omnia,quq Euclidis V. habet,cum aliis additis propositionibus Pani , Campani, &c. Quartus vero propos a G. ea, quae in VI. Euclides , tradit. Quintus proposi s s. breuissime exponit propositiones I V.& II. Euclidis, sed methodo uniuersaliori, de reliqua onmia, quae ad
Geometriam planam pertinent. Sextus propos 3 . Elementa Stere metriae noua & faciliori methodo XI, dc XII. Eucl. comprehendit. Staptimus propos. I p. descriptiones quinque corporum regularium cum omnibus laterum comparationibus, radiorum, superficierum plana rum , atque ipsorum corporum uberrime praestat,quae omnia ab Euclia de in XIII. & XIV. atque a Pappo aperiuntur, cum plurimis antehac non consideratis. Octauus propos g. elementarem Arithmeticam imstitutionem enodat, quae in Euch libb. VII. VIIL IX. reperiuntur. Nin
13쪽
nus denique de quantitatibus rationaIibus, & irratsodalibus uniueitatiori methodo agit; ct nedum lineis, atque earum quadratis, vi Euclides; sed etiam oliambus quantitatibus cuiustibet generis easdem passiones conuenire demonstrat, idq; ea breuitate, ut proposui contineat
Propositiones ri 6. lib. x Euel idib. V PF, S, contineat ia ta'dem Euclidis elementa uixta vulgatum Theonis ordinem
passim in libris mathematicorum citantur, ut studioss consulerem , eadem ad operis calcem cum locis, in quibus exponuntur, apposui. Restabat ipso iam opere perfectos ut cui potissimum dicandum esset statuerem. At Uir Princeps quaerendus erat, qui auctoritate ac dignitate, huius nobilissimq Scientiae susciperet patrocinium, studium qu ac nomen amplificaret: mihi nempe imitandam proposueram vel rum mathematicorum consuetudinem, qui n*n nisi huiua diuinae s cultatis peritioribus sita dicabant opera, eorumque submittebant iud cior ac denique is debebat esse Princeps, qui non, ut complures diuersis detenti studiis noua omnia contemnunt; nihilque quod ab antiquitate recedat,utile atque honestum ducunt; sed qui summopere philosophie studia promouere, nouisque ditare inuentis omni conatu contendera Haec omnia cum in Te uno (Serenissi Princeps) summo cum amore ediga mathematicas excellenter coniuncta reperissem, hune malemcumque meum laborem Tibi dicatum, & commendatum magnopere vinlim . I ibi, cui utre hereditario omnium seientiarum patrocinium de hetur, t qui ex ea familia ortum habuisti,quae non modo scientias atat artes e C raecia in Italiam transferri curauit;sed nunquam non auctoritate protexit, studio auxit, natanificetia locupletavit.Tibi,cui rerum mathematicaria ea est peritia, ut facile sit inuenire neminem, qui supremi Principis munia minime seponens, ita probe calleat, quae Euclides,ac diuinus Archimedes , aliique mathematici litteris mandauere. Stindium porro tuum Philosophiam promouendi, detegendique falsitates per ledula impensis liberalioribus facta*xperimenta, nullus est quem nigiat. Quo circa si elementaris institutio ad rite recteque philota phandum maximo necessari censetura, Tibi potissimum dicanda erat, qui Naturalis Philosophie instaurationem moliri vehementer desid ras. bi ergo aliquid ex hac mea restitutione Reipublicae litterariae utilii
tatis eueniet; uti etiam ex physiologico opere, quod nunc meditor ci ea naturae phaenomena,quae in d les accuratissime experiri curas: Quan
tum quantum erit a Tuae Celsitudinis henignitate oriti cognoscent merato postera, Tibaque gratias habebunt, quod mihi id otium impertitus sis, ut mea opera persici de in lucem prodire valerent: mihi vero pergratum luctat hoc meae Tibi obtulisse obseruantiβα pratitudinis monumentum, tempusque in camina non omnino trinasse valere
14쪽
EOMETIUA precipua, inter diicipi inas mathemat cas, magnitudines considerat; atq; uniuersa speculatio scientifica, que de tali subiecto fieri potest,uersatur,aut in cotemplati Drationis structurae, qua magnitu- . dures formate sunt aut in cotemplatione proprietatum essenti uim , dc passonu earundem magnitudinum. Cumq; alique magnitudinum stru- .cturae, atque passiones, sint adeo faciles, & euidentes, ut ne- nemo sanae menti, eis assensunt n egabit: aliae vero sint adeo reconditae dc disticiles, ut nullo pacto concedi possint: sitque innata nobis via a notiorib Sad ignota procedendi ( cum omnis doctrina intellectit i ex pretexistenti, seu anticipata cognitione fiat) : debent cvidentesmonstructiones, & passiones magnitudinum, assia mi ut principia, ex quibus scientifice discurrendo aliae abstrusae, & dissiciles constructiones, de pas
Attamen, siue faciles, siue dissiciles sint huiusmodi con- templationes, lemper nuncupari coniueuerunt propositio- A LeS;
15쪽
Patet ergo principia Geometriae esse propositiones, exponentes facilem rationem striinura: , qua magni nidine ,-mantur ; aut facilam, , d euid item ioprietatgm, vel passionem earundem magnitudinum. Et qtioniam saepenumero triagnitudines, habentes euidentissimam constructionem, aut passionem, non habent prOpriurn ii aera; aut habent non1ina aequnioea, remit mersas significantia: propterea, Vt quaelibet magnitia distinguatura qualibet alia, nomen ipsi imponi debet, aut exponi germana nominis significatio. Qupprvies principiqium Geometriae tria genera erunt. Primum, in quo declaratur, seu ponitur nomen alicuius magnitudinis, habestis euidelit u constructionem, aut manifestam passionem: Et vocatur Definitio. Secundum,in quo magnitudinis,cuius nomen impositima, & usu receptum ess , exponitur uissur euidesis alius constructio: Et vocatur Petitio. Tertium, in quo magnitudio', iam nominatae, exponitur euidens eius proprietas, aut aliqua manifesta eius passio ; iv vocatur Dignitas, vel Axioma, tui Pronunciatum, liue conmmunis notitia.
Et quoniam huiusmodi pruicypri demonstrari nequeunt, clini sint notissima; prvterea tantummodo eorum catalo- .us in vestibulo huius scientiae apponetur, ut postea, demon-rativi syllogietetando ex eis deducantur veritates aliarunt propositionum i conditarum; quae pariter lubdiuiduntur. Tropositio itaque dissicilis, in qua contemplatur ratio stri cturae, qua magnitudo aliqua mrmatur, vocabitur Probi ma : Illa vero proponitio abstrusa, si, qua contemplatur priprietas , vel passio aliqua magnitudinis, vocatur Theoremae.
16쪽
suonim magnitudo species est qua vetitatis continua, cuius proprii neri diuidiscucr posse, augeri, remitiplicarique I estque orpus magnita do quaedam, qua terminos, atque extremitates habet: iam termini extremi, latitudine sua corpux comprehendentes, d qmbo per istellectunomnino profunditas excluditur squi termini aliquid sunt, non autem nihil cum exsanti' natura, O mensurari possent, diuidi, O augens vocantur Superficies. A. B t corporistare C DEFGenirema pleora, ' . 'ne apparentia ABC', J cui remi uremd N adm
bilis remaneat, quoadplo 'nestatem, Ilaci,quo ad longitudinem , O ratituditem, diuidi Irinis
per pollit: vocatur superficies, sicutiaetiam su- L F
SUPERFICIEI extremitates, nullam latiturinem habentes vocentur Lineae
Similiter superficies, latitudinem habentis, termini ea tremi, compre. hendentes longitudine sua dictam frumerficient; si ab eis per intestem momnis latitudo tollatur: vocantur liveae; qui fand termini deteriminatum situm in mundi spatio occupant . in reuolutione enim cuiuslibet corporis in ipsum, aut circa suum extremum,mamve aliquid iura assignari potest quiescens, disraictum, O separatum d reliquis partibus translatis ;quod vero quiescit, corpus Npn d , cum Diumrsm mmus transferri supponatur. Igitur erit linea, seu simplex longitudo. Vt supersiciei A B C D extremaes Y ----. terminus in B, νeI B C, aut C D, sue DA, g quo ter inatu versicies, exclusa tota. Em 'liter latitudine, ita ut indisti uis rema- inneat, quoad latitudinem, O profunditatem, licet quoad longittidiacm rutilummodo dimidi possiet vocatur linea
17쪽
EVCLIDIS RESTITUTIIII. LINEAE extremitates, nullam Iongitudinem habentes,
Tari modo linea, longitudinem tantummodo habentis, tcrmini extremi, determinantes mensuram longitudinis imas; si ab eis per intellectum omnis longitudo tollatur : praedicti termini, qui non :t nihil, cum sent signa ositionem in mundi patis habi n-tia et Vocantur puncta. Vt lineae A si extra
t B in termini A, O B, d quibus mensi ira nu-gitudinis ipsius lineae A B determinaetioer, ablata totaliter longitudine, ita uel indiu*biles omni aeaque remaneant: Vocantur puncta. Patet ergo quod linea ex fluxu puncti generari potest superficies vero ex jura lineae transenersalis atque ui ex fluxu superficiei transuersali gignipotest. Quae tres species quattitatis ccutixuaeso ut concipi renua ; si nix. Si i m flaxas per infinitum spatium continuari intelligatur.
LINEAM autem omnium breuissimam earum, quq a practo ad punctum extendi possunt, Rectam voco.
Hac est definitio rectae lineae Archimedea; Euclides istem ait: Rhcta linea est, quae ex squo sua interiacet puncta. Ualde laborant Interpretes in expositione huius definitionis. Proclus putat tunc lisneam ex equo inter sua puncta interiacere; quando spatium,seu interuali Ium inter duo puncta eius extrema, aequale est j et lineae . haec quidem expositio vatas abstrusa Miletur, eo quod ignoratur quenam sit vera d, flantia inter duo puncta; rino ignoratur quidnam ipsa distantia sit. non enim proprietas, d qua distantia designatur, eaposita fuit ab Euclide . . clauius postea aliter definitionem exponit . Inquit enim rectam line Naraepe eam, qua equa ter inter sua puncta extenditur; hoc est in qua nullum punctum intermedium ab extremis Arsam, aut deorsum, vel ad latera deflectendo subsultat; in qua denique nihil flexuosum est , velati in filo tenuissimo, summam extenso, omnes partes mediae cum cxtremis aequalem obtinent situm, neque νlla est agia sublimior, aut humilior; sed omnes aequabiliter propediuntur,inter extremossuos fines di pom. Hsctamen expositio etiam obscura videtur ; eo quod aequabilitas dispositionis
18쪽
tes ipsae aequalibiter dispositae ' ht; ci cmnia ilia Pocabula supponunt lineam rectam, esse iam cognitam. nam illud est flexuosum , quod non es recti m. ergo mala pcr exclusioncm inflexionis declaratur rictitudo: quandoquidcm hae duae voces aeqP e ignotae surt. Melius ergo reh. medes expostiise n ihi videtAr vaturam rccta lineae per proprietatem notiorem ,rtim dicit rectam lineam esse breuissimare ex uno in aliud punctum extensionem. Si enim intellectu collocentur duo puncta L . OB in spatio mundano, concipi potest Hrhm ipsorum fluere versus alii e dranci sis itineribus, in quibus omnibus describetur variae, O infititae lingae, scis longitudines in D BLA E B,emrod C B quae quidem valde in aequales intra se sepossint in hac multitudine infinita inaequalium li- vearlim necesse est , vi detur breuissima om- c 'abnuim; quae quiuem unica erit: alias non metbreuissima. haec inquam breuissima extento, G - - Rscussuras breui reus a puncto ad puncttim, qui ponatur esic a C B linea recra merito vocari potes. Tradita iam clara, ct intelligibili definitione lineae rectae, beta entelligi potest curvam
aliqrtam,eosdem terminos cum recta habentem A D B, HI ae E B flexuo-stim aliquid habere, partes intermedias non iacere ex aequo inter rara ma, sine non habere eandem aequabialitate, facta comparatione cum linea recta,iam cognita. Erit ergo irecta a B regula, seu trutina,qua examinari reliqua lineae possunt; disic cum dubitatur an linea G Hst recta, vel curva, fieri debet comparatio cum alta , B, qua recta linea ex hopotheserat ;= si omnia puncta ipsus G II ex aequo sunt disposita inter sua emnema,velutisunt ea, quae in proposita recta in B, collocantur: aut si omnes partes linee G H omnibus partibus lineae rectae AB Muliter coxis Bruunt : vel se omnia puncta ipsus O H distant aequaliter a linea A B rtune puncta illius non subsultabunt sucum , aut deorsum; neque ipse aliquid flexuosum habebit Quare necesse es lineam GHese quoque rectam. Ex his ergo patet Euclidis definitionem usum habere posse, quando comparatur aliqua linea ctim recta, prius exposita Ised absolute non declara- repassionem manis amet linee recte. Hinc manifessum es Trocli expositionem idem prorsus significare, ae verba Archimedissonant. Nam inquit: Quando interuallum inter duo puncta equale est linec , que inter eadem duo puncta extenditur: Tunc quidem linea assumpta recta est. Sed quia interuallum inter duo puncta es distantia breuissima omnium, quae concipi possunt. Ergo tunc irnea erit equalis interuallo inter duo puncta, quando erit aqualis Hyantiae brevi ms seu quando linea assumpta est eadem-
19쪽
Met dissavita inter dico puncta; sive est breuissima omnium linearum, quae a puncto ad punctium duci possunt; haec autem erat desinitio Archim vii. Ergo Luclidis de iustio iuxta Procii expositionem i dem prorsusD-nat, ac illa, que ab archim de tradita est sed ii Foc tamen deficit,quod Trectas uetitur nomine interualli ignoto, quando nondum definitio inter
Tandem qupram sint nee rectae, O quam passonem habeant plurimis exemplis inradii natura ipsa. Nam radii lucidi, O visuales,nec non motus grauium descendentium per rectas lineas fiunt, ides fluunt itinere breuissimo; quod quidem multis experimentis comprobari potes ; sed fatis erit Nico exemplo veritatem havc confirmare. Sit pila plumbea B aD ligata filo reuuissimo B, atque eius extremum clavo Ah firmatum sic Tunc plumbum B libere premendo,dum accedere contrassit ad Telluris centrum, directam fili producit extensoncm, quam rectam lineam esse dico . Nam frium. F-bmn B subterpost.i manu suspendatur, , travistratur in X locum C: Tunc quidcm longitudo sili instectetur, cohstupraque lineam AEC: eritque intereallim ,seu dictautia ab Ora puncto ad C minor, quam longitudo ipsius fili A E C, pii, D B; ideoque D B recta, o A E C curua erit. Hoc . exemplum, uretsensibilest, ct improprium, inseruiet OD . t tem ad tollendam dissici itatem Magi satioueis , tum rectitu
S V P E R FICIE S, cui omni ex parte recta linea congruit:
. Haec definitio Heronis clarior mihi videtur, quam Euclidiana, qua iis .dem dissicultatibus, qviibus definietio linea rectae, imolisitur. Inquit enim:. Superficies plana est, quae e aequo suas interiacet lineas . M 1 DI si liui ergo cum Hemone dicemvis: Si insupe E p sime ABCD, recta linea ad G congruit, et rami idest tota tangit ipsam superficitans One
o s t dum ipsitu AI G , sed similiter si transse-
20쪽
QUANTITAS inclinationis duarum rectarum linearum , in plano se mutuo tangentium, & non in dire cium
iacentium alterius ad alteram: vocetur angulus planus . . . , ambigit 'mulus tu quo genere quantitatis angulus planus repovi de-brat . Nam se est qualititas permanens , O continua, erit linea , aut fu- lib. c. r. pcrficies . linearis quantitas esse uon potest. Prim) quia insuperficie plana non 'terminat, aut mensurat longitudinem solam, sed spatium. Secund) qui ut litica diuiditur a puncto, sic superficies si linea; sed angulusa livea diuiditire. Ergo superficies est. Aliqui ro dixerunt angulum planum non esse superficiem , aut i, Mam', fiameram relationem Broclus autem utramque naturam, mc-gnitudiuiae scilicet, di relationis in e habere resimauit. Quae omnia riclard intelligavim , Eoonat 'inplaho inea recta A B. M'ite extraca MUM G. Iam alio Numa recta quaturi modii holi dcari potest circa restam iPrimo se illam nullo modo cre- iungat, ut E F, tunc hasia vrectae angulum constituere no O DAcuutu . Setando se istam eontingat,=I posita in directum,
puncto sco tunc piriter angusim hian ranstituunt: sedfolummodo rebcam lineam rectam DAB. Terta puta linea totam lineam contingat, ut a G, ct in B non constituunt angulam; cum unicam rectam lineam componant. Quarto si recta linea a C eontingat quidem rectam a B iupuncto A tantummodo ,sed non sit in directum posita, ut erat D m tunc eisdem duae rectae B is , O C Is angulum d untur constiti re. Ubi notandum, quod recta A C dipat qui hi ab alia recta in B, sed non eo modo, ut E F, prioris casus,as alia distabat i eum hae sint prorsux separate , illa ver)sese contingant in puncto M. Haec inquam distantia, seus ratio non absoluta linearum Ac, O A B,se tangentium in puncto A,&
Sed rursus notandum est,ri Prochis, carpuni Anetlacb. redarguent,ssu: G eici noa posse angulum esse virum linearum dissavtiam; quia se con cipia-