장음표시 사용
31쪽
Super data linea recta reminata Triangulum. habens tria laatera inter se qqualia, constituere. Vocetur tale triangulum Aequilaterum.
32쪽
intellectiis debet eoncipere, ut repressentativam cuiuscunque mensure, ex infinitis, que propc Mi 'stunt. Il et . .
. I TU I IAIuxta tertium postulatum, secto centro A. interua Ilo vero rccte AB, describatur cetculus CBD; Rursus centro B interuallo eiusdcm rect(B Aha alius circulus C AD descri- a Post. i. batu r. Et quoniam eadem recta sinea A B intra ambcet circu-Ios C B D. & C A D collocatur. Ergo ex XIII axiomate hiduo circuli te se mutuo secant: proptereaque circunferentis dictorui circulo timi se se mutilo secabunt in aliouo pun- et scio ; cum sint ipse circunserentim lines indivisibilcs. Ponature o punctum sectionis csse Quam 1huncto A ad C recta ducatur; hariterque a puncto Bad C alia recta extendatur. bHic iam persecta est-; facta enim est figura tralatera A BC, quame e quilateram pronuncio.
oniam duae recti lineae A p, dc A G ducuntu r a centro A ad circunserentiam circuli B C D. c Ergo recta A C equa- c axis.ri
lis est re o A B . Rursiis quia rectrum B C , A ' ducuntur a
cciati' Bad circunferentiatri circuli C A D: verit tecta ii Cequalis ei deni rectae B A, Tam ergo risi, qnim Cnequares sinit eidem recto A B. Qinire A C, dc CB u .ssessivit inter se.Et tres lince recte o B C, dc C A audentes triangulum
Ergo super data recta linea A B trianguium, a tribus lateribus equalibys coimprehenti ini,construximus. quod faciendum imperabatur in propositioile. Vocetur talis figura triam gulum Aequi laterum.
33쪽
ponuntur equalia latera AC,& D F, & angulum C squalent esse angino Fribubus opponuntur reliqua duo latera equa
B C stiper triangulum D E, F, ita ut punctum A super punctiam recta AB .hi r DE . dat necessa- rio sibi niuitio a coctu utit- , diuhrecte AB & D E: pa-Κ et x riterque angulus A angulo D congruet, propter a qualitatent; ideoque A C super D F cadet : cae propter eorumbaxibm. v. equalitateiushi tuo b c ingruent. I rute punctiam C super i Piinctima ac ister. IDS positis dico bases ii Sis: E F sibi mutuo congruere. Si enim hoc verum non cit, cad=nt paridi intermed aeripsjus B C supha, vel infra ipsam E F ut in latu E NF in tunc dile recte linee EF,& E Κ F clauderent stiperfi-c Axio . ' ei Siasse quod est abiurdiana. Non ergo basis B C supra,vcl
mut si quandoquidem Iupexficies platie sitnt,
quarum omnia extrema te tangunt, oc partes intermediae e Brita. i triangulorum se se tangant necesseo, alias. lunea recta non congrueret omni ex parte visique superficiei plane, quod est fax, M. v. ab Iurdum. Ery trisingula. BC, & D E Fequalia paritet sunt inber se. Postremo a uti B, & E, cum libi mutuo congruanti quales eriuix inter se, Mi opponuntur equalibus la- teribus AC, dc DF:i pariterqtie anguli C. & F Dbi mutuoc gruent, minitquc inter se cqugi iis qui ol populatur lateribus equalibus A B,&DE. Quaproptet si in dii bbus triangulis, 3 c. quae eraiit demonstranda . Vocentur autem breuitatis causa duo triangula, iam dictas conditiones haberitia, sumester equina
ne hoc primo theoremate tot partes licet rarii ies, quot in proble-
34쪽
'istibus; sed constra Gomn Immer m Iintest, ripatet in hac pr positione. Rursas cre dera debet, q-d is hoc theoremate tam hi Hum , quam eius passio demonstranda , non est simplex , sed multiplex . O conflexa ; eo quod plura si ponuntur indictis triangulis, optaraa pationes de eisdem demonstrantvir.
-x i ) p iDVo anguli, qui duos aequales angulas , vel eundem misguluin consequuntur, sunt inter te aequales. Sint duo anguli ABCD DEF inter se aequales; dc productis rectis lineis Ap.&DE ad partes angulorum B, & Eusque ad Κ, dc M. Dico angulos C B Κ, dc F E M, qui eosdem consequuntur, squales inter te esse. R Qitoniam angulus D E F supponitur ualis angulo ABC. Ergo tacta im, D' a ' vW'. ii , - tellectuali suprapositione rectae D B- A B, atque puncti E super B, ad , R ipsi is anguli D E F, & A BC sibi mu-
tuo congruent f ideoque recta E F cadet super B C; sed tecta E M cadit super rectam B Κ s quandoctuidem . rect* bD E, di A B, in directum pro--- ductae vique ad M,& Κ, sibi mutuo
- - . .m congruentes, tegmentum commu- '' .
ne habere nequeuntiErgo anguli F EM, st C B Κ sibi mutuci . congruent, & u propterea qquales ilirer se erunt. : s. Secundo unius anguli A B C producantur rectae linee A B dc C B ad paties anguli R. inΚ, & O. Dico angulos ambo os C
B Κ, & ABO, (qu consequuntur esse inter se quales. In teli atur idem angulus A Bias C a plicatus supra te ipsiimo, tia inuerso modo it ita ut recta AB cadat supra rectam C x a lue recta C B cadat iuprar tam A B. Manifestum est re
que recta C B cadat iupra rein . actam A B. Manifestum est re- O ctam, BN cadere precim sine Diome N pra B Os de recta OB cadet G. iupra rectam Κ B. Q resam gulus A B O tqualis erit angu o CB Κ,quod etat Ostedendiia i .
35쪽
HINC colligitur Runctas lineas se secantes,.essicere angulos ad verticem equales inter se .
B, ostensi sunt duo angu i ad verticem A CBΚae. qmlatanon se qui Caicquebantur an uium AB C. Eadem ratione duo morum ad vetticem AB C& ΚB iso ualde erunt inter se i cuna consequantur cundem anguIun A B O.
.c Corollarium es auud theorema, miri Mema ive eriter, O intention m dono ratum in progressu devonstrationis, aut confra dionis alterius prvmtiotui . Vi in hac pro sitione quaerebatur tantummodo an a re qu, eram quuntur aetium , aut aequales avgulas . ese sent inter se aequales. Sed quia semper anguli, qui Et ad Perticem, comsequvntvr Mngi, mydemque angulum , notatu dignam est reperisse nos nouam cognitIonem morum quas tam . vi si a non qΗerebatur in propositionem anguli ad verticem eisint quales . Ccmque set utilis haec noua coisgnitio, breui amotatione m siue propositioibi es apponenda . .
IN triangulo Idu lauta iliterjse inu lia habenteo anguli, qui ad basim lint q ales erunt inter se;oc Produciis cqua- . libus lateribilabitum sit infra basim pQssiri equales quoqu inter se erunt. Vocetur huiusmodi triangulum IIolceluunt. Sit triangulum AB C cuius latera equalia sini B A, & C A Dico angulos AD , R AC h , qui iiipra basim sunt, equales me intenses& productis tectis A J,& A C infra basina B et ut in D:, E, esse angulos D B Q, & E QB qtrales quoque latcrse. Producantur a indefinite latera B A, dcc A ad partes verticis A, ut in G, dc F; dc tam ex A G, quam ex A F is secentur recte A M ,&AH, singule equalcs ipsi A B, vel A C; de con-hingattinc recta HM . Et quoniam dius triangula B A C, H AM c rea angulos, B A C de H A M a ciuales (cum sint ad x cr-ticum habent latera equalia i singula sinsulas in 'constitu
36쪽
LIRER I. ctione. Ergo eans ilo M H A equalis est, angulus C B A ( cam latera iub eis subtemia M A, dc C A aequalia facta sino. Eadem rationerangulus ACB vqualis erit eidem angulo M H A ( cum pariter subtensa latera rum A, dc M A cqualia posita sint . Quare duo anguli A B C , & ACB sunt squales uni tertio angulo M H A s ideoque X duo anguli,supra basim, A B C, & A C B qqu
Ira inter se erunt. Quod erat primo loco ostendendum. Rursus quoniam duo anguli ABC,&ACB qquales ostensi sunt. h Ergo duo reliqui, qui deinceps sunt, anguli D B C, & EC B qquales inter se erunt. Quapropter duo anguli infra basim trianguli latera qqualia habentis,sunt inter se squales. Veterat probandum. vocetur huiusinoditriangulum IIbscelium.
Patet triangulum equilaterum esse quoque qquianguIum, idest tres eius aligulos esse pariter equales inter se.Nam triangulum qquilaterum est quoque .sbscelium, si duo eius latera, ad libitum sumpta, conliderentur; & sic qiiodlibet ex tribus lateribus trianguli equilateri erit basis isoscelij. Vnde patet
Nam propositio, vi refert Proclus reperta fuit a Thalete Milesio, eluse' hi que demonseratio ab Eueside relata, latis est eligam, O ingeniosa, sed valde molesta omnibus; qui ne ab illa intricata propositione adumbrati rccantur a Geometria, Hile fortasse erit aliam faciliorem attulisse.
SI duo triangula tria latera tribus lateribus squilia habuerint, singula singulis, erunt similiter squalia. Sint dao triangula G, & H, atque latuq A B quale fit late. - D ri DE,
37쪽
ri DE,& AC ipsi DF pariterque B Cccmale lateri E F . Diaco angulum A equalem eme an rulo D. & B ipsi E, hec non Cipsi F. Intelligatur triangulum G. cum eius latere B C, co li o-catem supra latus E F , ita ut punctum B in E cadat ;a C vero in F propter aequalitatem: & triangulum non ad easdem partes, sed ad oppositas cadat: tunc reliqua latera contermina erunt Squalia. Coniungatur ta-dem brecta AD. quae aut per punctum C transit, aut lecarcommunem basim B C , aut extra ipsam cadit. In Primo casti. cum duo latera A B, & B D in triangulo D A B sint equalia ex livpothesi, erit c triangulum ipsum is scelium; ideoque duo anguli A, ct D supra basim qquales erunt inter se, &,ex quarta propositio. ne,triangula ipsa G, & H erunt si,
militer equalia. In secundo vero casu erit tri
aequales erunt inter se: Pari ra-Tr
aequales. Denique in tertio casu, ab angulis
los CD A, &CAD relinquentur e duo anguli BDC,&B AC inter se aequales; deinde freti qui anguli aequales erunt. Quapropterli duo triangula, dcc. Quod erat ostendendum.
38쪽
I ecpropositio, quam Trocius Thilonis fameliaribus. reli vit, ficilior Id. r.ess illa, quae ab Euclide adducitur. Non enim ad eius demonstratione utaeecessaria est prima pi positio, quae est negama , ira valde dejecti . . . . Notandum es haec propositionem esi euconversam quantea. it mim uerso trampolitio juhiecti ni praedicatum , crip contra; ita is quod dsumitur, ut notum in una propositione iis altera sit quaesitum : O M. quod ibi erat quasnam pse a disertur QIemran : attamen conueris propositiones diiudenter; in abiis enim totum id, Mod insubiecto continetur.escitur praedicatum remeetie propora omis, Ur e contra: hae Hcaisur comismones fecundum totum; aliae vero propositiones conuertuntur secundum estquam partem sui subrecti , in praedicati; huius autem post Doris generis est iraeseptima propositio. Nam retinet partem subiecti ip- a quarta, eri partem conclusotus; reletqua vero conuertuntur. I . . sPROPOS. VIII. PROBL. IV. Eaci. s. i Datum angvium risuiueum talarium secare. Sit angulus rectilineus B A C: Debet hic angulus diuidi in duos angulos squales. Sumatur in AB quodlibet punctum D. & ex AC a, producta indefinite, secetur b A E qqualis ipsi A D, & coniungatur e recta DE,& luper D E, ad partes Oppositas, describatur a triangulum Squilariterum DF E. Tandem a puncto A ad Erecta e coniungatur. Dico A F problema efficere . Quoniam in duobus triangulis D A F , & E A F latus A F est)commune, & latera D A, & A E sunt qqualia, ex constructione, & bales D F, ct E F sunt squales, cimi sint latera trianguli equi latera. Ergo,ex praecedenti propositione, anguli D A F, ct E A F sunt inter li: equaleS. Quareangulus B A C diuisus est bifariam a recta A F. Quapropter datum, angulum biseriam secutinus; quod erat faciandum.
39쪽
Astur latiusmodi dimensiones; sic ducere rectam Z puncto ad phncti miacm est, ac si quis consideret lineam rectam, ta n exirientem in mundo sseu illam dimensonem, qus inter duo illa phxm rcperithr. Tari ratione possumus lineam quamlibet rectam finitam .a B producere in directum, quantum libuerit 6que ad C: scilicet intelligendo extremtim eius p v-ctum vitreius produci squabili fluxu, O breuissimo it nere. Similiter posita quae ibet linea recta ita ae A, vel A C, potest extre- E num eius punctum A fixtim eonsiderari; tota linea A B, vel AC, qtte est interualii tum, intelli, potest reuoluta in plano, quoi I l . M que reducatar in locum,unde moveri corporat. manistupri est 'perficiem B D, vel C E, de scriptam ex reuolutione, iam dicte lives, ci
culum esse. Et quia que libet linea, critura, cumquest magnitudinis, eodem modo intelliagi potest circundum; hinc est, quod quolibet centro, di interuallo circulus describi potest. Tandem magnitudine quacumque data sumi potin maior, O minor, quia intellectualiter, di nommechanice fieri debet; propterea etiam facilliamum est , O a mi poteΩ, H principium.
QV AE eidem riualia, inter te sunt qqualia. Et quod uno
qualium maius est, aut minus, maius quoque, aut minus est altero squalium; & contra .
E T si qqualibus tqualia adiecta sint,tota quoq; sunt squalia ET si ab tqualibus squalia ablata sint, quae relinquuntur
AE QS ALIA addita . vel ablata ab inqqualibus, inqqua
DvPLA, tripla,&c. vel dimidia eiusdem, vel qqualium, sunt pulter Squalia.
40쪽
s I eadem magnitudo metiatur duas magnitudines, dc chrum compositum, atque differentiam mensurabit. Ut, se magnitudo D mensurat 'duas A B,oe B C, necesse est,ri A. i-i-i-i . . c a pararetatum,atque disserentiam . t in C menstiret. Nam avtraque ' --B AB, in BC, distribuitur in ,-- partes, quarum simile squales
QVAE sibi mutuo congruunt, sunt squalia
Debet intellectualiter fieri hec applicatio ; ita ut tota magnitudo prDelia totam magnitudinem contingat, absque re,quod aliquid intactum rota linquare cilicet quando intermedit partes cum intermediis conueniunt: in extrems petriis eum extremus is tunc eorum congruentia intellectui conflare diretur. Comersum vero,scilicet quod ea, qus squali unt sibi innicem eo ruant, non in omnibus verum est,sed in iis, qur specie L -i ha fure, M linee rects interse, di circunferelitis squalium circulorum,n
. Proclus animadvertet .. . . s
DU AE recte concurrentes,& se mutuo secantes, non habent aliquam partem communem. Ut se fuerint duracts sines AB si B, concurrentes in puncto B, di ibidemsto et se secantes, es impossibile , is ambe linee Dre is, products ulterius, conssiluatit eam rectam lineam B D; ita H ABDSunica recta lineas in pariter c B D sit marecta, hoc enim repugnat, Disilired by Go le