Bernardi Nieuwentiit Analysis infinitorum seu Curvilineorum proprietates ex polygonorum natura deductæ

321쪽

sai et xci juxta praecedentia reducta exhibebat Iza xx, ac extracta radicux unde primo haec aequatio infiniterimatis Fig. LXXXIV. ad triangulum Verb. gr. in qu I Qix, S, , reducitur. Si ero in Venta aequationi II a xx, determinata quantilitas r sub quolibet signo addatur , erit, ex. gr. II π x-r adi 'perbolam, ad quam eadem haec infinite imalis secundo referri porest,inositis enim in eadem figura IRA:r, Riux, I QP:e, FIDa, sit curva DE Hyperbola, unde ipsius arquatio xx rr II, quae reducia ad in is nitesimas dabit a xem II a. Unde positis in IV I Q in Q S cc , tum Pti in F ac DR in K. c. erit E PF triangulum om- alia ara I , tum trapeetium G IVPm Omnia e , leoque hic reductio omnium x a xl xx locum non habet, hac quidem de causa, quod scii non in totum, sed parte solummodo sui P ex infinitesimis PQ, L, C, . Cc seu infinitis e componatur residua nimirum portionei A determinata manente, quare hoc in casu omnia xe seui trapezium G IVP aequatur di x irr. Tertio , Sit Jam 2P:x , eaque supponatur Crescere per

. 2Ias sunt autem positam P in X c. omnia xerar triangulo CV, ac his aequalia omnia a s si quidem γ' perpetuo in F, Hic, p. ponatur constituent trane-2ium seu Irr I. Unde patet quamlibet arquationum infinitesimalem

simpliciter sine restrictione propositam, unam determina tam curvam non respicere clim manente eadem infinite si- mali, post reductionem quantitates quaelibet determinat Emultis modis aequationi adjungi qlieant, quorum tractationem magis accuratam, cum plus requirat temporis, quam mihi mea impraesentiariam permittunt negotia, aliorum in

dagini ulteriori relinquo, hoc addo:

322쪽

g. 6. Sit aequatio quaelibet infinitesimalis Hie F em 3IIa; quae collective sumta, saltera pars I a ex s. a. hujus reducatur, abit in collective mixtam Vid ue exempl. I. Omnia xj onmia 33 em γ' quaeruntur hinc termini infinitesimales collective sumti,qui valorem ipsius γ' per quaslibet indeterminatas veri, gr. multiplicati aut divisit, seu ipsum, adaequent. Quod quomodo obtineatur in casu multiplicationisJequens docebit theoremat terminis expositis insinitesimalibus xe IJe, per P seu quantitates indeterminatas priris multiplicatis, pars sequationis expositae absoluta γ' c terminum infinitesimalem exf oriundum multiplicata, cum suo igno legitimo addatur summa haec infinitesimalium collective sumta aequabitur quaesiit valori absolim

Sic, ut in eodem maneamus exemplo , ex inventa aequatione Omnia πα- Omnia 3e: et

323쪽

eri enim hoc posse supponimus ac per f idatur, redibit aequatio exposita. Coroll. Qiuomodo hoc divisionibus, perip- f exponentem negativum , accomn Od tr; tum' in radicum extractionibus ac pote litum ad altiores gradus evectionibus inuae aultiplicationis ac divisionis species quaedamini usui esse queat, quilibet hinc eruet.

324쪽

D aeparatis Communis. Sit, Fig. XXXV.

g. I. Satis jam notum est , si Fig. LXXXV LXXXVI. M it trilineum P E seu omnia . , aequari trilineo AEPseu Omnibus spatium vero P L O , se complenaentum triline P EL, semper aequari summae vel differentiae trilineorum cA FG , nescio an adhuc animadversum sit; illi obtinet, si curva ADE Fig. LXXXV. ver ssus axem concava sit hoc si versus axem Fig. LXXXVI. convexa sit. Demonstr. Cum ex hypothes sit perpetito III ααT, d EL: FP , erit L Fig. LXXXV m V in i sed in Fig. LXXX ue adeoque cum in utroque casu sit MN erit curvilineum P OL in primo, Omnia e 1i, in secundo et omnia)e i; unde cum AP E sit: omnia , ac GFza

325쪽

patet propositu na. Posset idem imore umigari ex figurarum aequivalentia demonstrari. Schol. Hunc, si curva in cum axe As oncurrat, posset erui curvaturae diagnosticus

una si curva cxistat versus axem ouea,

'I; si vero sit convexa, evadatis D ferum laaec Capite I cx proseu tractavimus s. a. bit' determinata, ac t 3: Ga ire r

it nae reci adeoque , si LXXXV a in 'et applicetur ad e, ac z in , ad atrii spat omni ninibus e ectangulo α x, quod ab aliis ami emonstratum est ast spatium MN emi, idaequar rectangulo ASCI nondum ob ef

vatum memini.' Demonstrati facilis est,cum enim ex laypotiresi

tet raris et a rectangulum H MN P rectan

B 'A,erit spat. PMNα rectangulo sic T. Idem ex infinitesimali calculo evincitur sit

nim N ipsius 4 in sinitesima is erit ruatione ad insinitesimas redacta

'ri; unde cum sit rema

. t quae redacta ad insinitesimas, victi

326쪽

ut in Fig. LXXXVI sit versus axem coim vexa dabit a m to et, e latici, unde quiara et, , erit to z: et i; quare si et jugiter in I S ad F seu i applicetur, crit l, dc Vm jam, cum sitis odi mi, erit ori: t, seu Vm VS:: TS: TR , quare curvae ASU hoc modo generatae subtangens TR semper aequa-hitur curvae expositae subtangenti

Quod notabile, videtur cum omnibus curvis habita curvitatis igni ipsa e α copulantes

ratione, competat. Schol. Qua jam ratione variete curvarum prinprietates, Omnibus curvis communes, per aliorum rectarum curvas in genere spectantium tangentium , subrangentium , normalium, sub- normalium c. infinitesimas erui, ac adhibita , quam capite I tradidimus , tangentium methodo , non pauci theorematum generalium accessionibus , quae particulari cuidam curvae alligatae non sunt, Geometria locupletari valeat, satis hinc manifestum est, suffecerit digitum intendisse. . Sit Figura LXXXVI. curva AI et ejus proprietatis , ut subtangentis abscissa D. Lad tangentem D: s, constantem habeat rati0

nem , ut fax ; erit sta ps, sed propter triangulum T rectangulum es t 'stim ia

327쪽

inqua aeqllatione posita erit dipti

e 1 curvaeque A SI hinc eme entisl ubtangenti T vocata . , erit T TS 'Vin scian t: i e-i unde De- dii nisv qua mediante inventa modo aequationeriectis infinitesimis, invenietur

f Φppit A ffa unde data methodo tan- entium inversa dabuntur curvarum Sin ADonstructioneS.

g. . Sit, Fig. LXXXVII. curva ADEuius subnormalis Vocetur , normalisias k, recta D ex puncto curvet D juxta alam quamlibet conditionem ducta, axemqueta productum in E secans producatur veras V dicaturque ac si h erit b, quae compendii gratia appelletur , quod si, ducta a curvam in puncto Hipssi proximo tangenti, idem fiat respectu appli

catae

328쪽

cato Eici ac siit E S axem in S secans lineandem ad punctum E lineasque ad ipsum, pectivas relationem habens, quam habet Dad punctum , lineasque hoc ipsum similitspectantes suppositio jam lineas V dc

protractas in V sibi mutuo occurrere , idemque fieri ductis similibus lineis ex omnibus curvae si punctis, crit punctum V ad nova hinc ortam curvam σε cujus natura quaeriti& constructio. Quem in finem, producta vi utrinque B dicantur HI: A, O . φ, MN RG κ, quarum stingulae juxta lemma I. sunt initis nitesimae ' vero appelletur: tandem si DV. et erit Vra m p. Iam ob triangulo

rum D OV QS similitudinem est Di

, ob rectarum o dc S parallelismum

est ΒΗ HOD FP PS. seu , ine: φ : Φe --χρά, unde cum D seu ex lenam. I nihil aequivaleat, amotis juxta lenam Io rejiciendis siet emo p; quae cum inventa modo aequatione littera X notata si ad c determi netur, ex utraque orietur bet, e 4pe-ptet re et, κ, ssignetur haec autem cum ins- nitesima era is adhucdum contineat , alia γperienda est aequatio,cujus ope tolli possint, qu*juxta

329쪽

p. XI. milus Infinisorum.

t praecedentia sequenti modo acquiritur- atura seu Q in G, in t 'nec per earum extremitates VI a curva

L describi possit , ecit e Lα PS - It , quare ipsius ruae si subtangenti vocata os, fiet trG:: GK: L seu, be e e . adeoque quae ad aequationem litterais silamna applicata, exhibebit et, ra, Unde cognita seu , tum longitudine positione , datur punctum V in curva V, adeoque hujus constructio; si plaeue etiam elauo ad axem AS, juxta meth

Rip. V. g. a. circa evoluta instinuatam. Generali hoc theoremate pharimarum curva-

examen institui ac constructio erici potest Coro I. Posita enim ipsa h aequali nihilo, bra , rectaeque D R dc D m S c Ei coincident eritque VIVnus E evoluta ac z: uti p. V. g. II Cor. I. inVentum. o II. Si vero si juxta aliam quamli- conditionem ducta sit, repraesentet verb viam radii, post refractionem insuperficie crvae M E Versus tendentis , erit Vrva a radiis post refractionem concurrentibus

rmata in Coro . III.

330쪽

Corol. III. Q uod si Wocium recta Di faciat anguluna Da αα Dd, erit ιν curva ex radiis ' sibi mutuo parallelis ac ad speculum concavum ADE reflexis,

oriunda.

Corol. IV. Unde cum conditio haec infinitis modis varia esse possit, juxta cujus eges linea

Da duci potest infinitarunt, quae hisce inua dis generantur curvarum V IV constructiones evolutarum, catacausticarum, diacausticarum&c unico hoc theoremate expediuntur. Particularia, cum post inventum hunc canonem plus requirant laboris , quam industriae, transilio; uti casum, quo intersectio V cadit ab altora axis parte.