Bernardi Nieuwentiit Analysis infinitorum seu Curvilineorum proprietates ex polygonorum natura deductæ

301쪽

p. VII. Aua fisi iustoravi et s

atur per 'r' quae omnium minima hoc in Cia expetitur. Sit ergo aequatio inpraesentans virium summam, in quodcunque inam superficiei punctum radius ex B in- Qerit4 in qua , ut minima reperiatur, Fig. XXI. I. ad interceptam communena ordinatae concipiantur tres curvae Aia', AF quarum applicatae dicantur B: E sque sub tangens CD in casu re sitionis , i m casu refractionis vocenturumque subtangentes C M pro varias latione appellentur, tandem in curva OH pplicata C: , ejusque subtangens I:t; posita curvarum inter se relatione et, ins I aequatio sub tangentialis earum omnium Tap. I. I. 33 ret, in 'ns raristylin qua, ad extremum sit determinanda, seu ad lim N, crito infinitari unde X Schol. neralis N XII rejecto 233 in ac divi-

aae pertinstituta remanetret iis stimi, pro Matione determinata. iam autem hic ad omnimodam problematis 'rminationem aequationes necessariae ei lato- natura reperiri possint ac siit I in triangu- AC in rectangulo, vide Fig. LXXXI. I.&2. dd x ziet, et, quae est ad locum

vae A , erit ejus subtangentialis . . a II. In

302쪽

Quarum subtangentium, . inventus valdis in aequatione, et, in surrogetur emerget I x isset, 4 α; quae, locos& et substitutis valoribus, solam, continebit, adeoque penitus determinata est. Corol. I. In C is Dioptrico , cum sit x: -x: set: rs, Fig. LXXXI. in ejusdem circuli peripheriasiitae esse inte, ligantur est adeoqne x: - : s r , seu ut AC ad C E ita resistentia vitri ad resistes tiam aeris. Adeoque in casu minimae obtinet regula artesii in dioptricis tradita. Coroll. II. In casu cat trico, cum radius D maneat in aere, ideoque resistentia non mutetur , erit m c x: z: f, seu AC GE:: B C: CD. Unde cum , ob laterum proportionem cingulos rectos, triangula ACB CE sint similia , patet hoc in casu anguli im incidentiae BC A aequariangulo reflectionis D C E.

303쪽

c C. VIII. Analysis Infinitorum.

Alctili infimites mesis fundamen- tum consistit in considerandis antitatibus infinitesimis, tanquam fractioni

; quarum denominatores numerum Omni

gnabili maiorem, includunt sic Ti stip- pars infinitesima , c. I. a. Hinc quem lenam. 8, 9 IO δ c. fusesas tradidimus, omnibus , ni fallor, hactenus Bibitis natura prior nascitur quantitatum nitesimarum A orithmus unde postea aequa-aum , ex quantitatibus indeterminatis, seu te sui insinitesima juxta curvae quam specit, aut spectare possunt, naturam per Osui longitudinem crescentibus aut decrescenas constantium, redacrio, aut si mavis, reduca ad in sinites ima juxta Cap. I. g. I. 4. alias plurimas innotescit. g. 3. Qiuod si hae fracliones seu quantitates 5 3 in

304쪽

infinitesimae per vocales a G, c. litteras, compendii gratia, designentur , Oritur tangentium inventioni inserviens Cl. Barovis methodus Videatur Cap. I. g. 3. Schol. II. Q. , g. . Si ero eaedem quantitates finitestinare vocalium' litterarum loco, per indeterminatarum, quas respiciunt, differentias quae in- sinitesimarum naturam nihilo secius retinent CXprimantur, deducitur hinc Ccleberr Leibviiii calculus, disse entalis nomine vocatus , cuius specialem demonstrationem, cum inter praecedentia, superiorum adins ar, expresse non a tingatur, hic adjungo. Sint quantitates indeterminatae quotcunque , et, earumq. infinitesimae respectivae, , , quae u in

D. Leibniti placita per indeterminatarum disterentia , seu X, 3 det, df, denotentur. I. Quaeritur ipsius T , seu quantitatum ad se mutuo additarum vel a se invicem substractarum, differentiales Fiat x 73 et, quae sequatio redacta ad in- sinitesimas positis nimirum 'Me loco ,r a loco , et, is loco et , quod in sequentibus, semper observatum velim dabit,

et, fu, deletis aequalibus, atau seu

resumtis symbolis Letbnitianis xi dyta det,. II. Qiaritur ipsius I, seu indeterminata'

305쪽

2 p. VIII. Anal si In sinit rhoi. 7

tim se muttio multiplicantium , disterenitale' Fiat x π α; quae superiori modo ad infini- imas reducta dabunt, F e xa Fae la, bu, deletis aequalibus, tum&per lenam Io re ctaneis, erit is, xam: seu uxta D. Leibitium ci ci hci det.

III Q uaeritur psitus V , et indetermina .rarum se mutuo dividentium, differentiale Fiat , et erit χα)z, dc post redactio-m ad infinitesimas rejecta ejectanea tar

u za; unde possit S loco , , aequatio-

te ad mordinata, emerget uri c

: notatione disserentialium ij . IV m uaeritur ipsius Lad potestatem p Vec ae disserentiale pTiatis α , quae ad infinitesimas reducta, eletis juxta Cap. I. g. o. delendis , dabit u seu 3 3 me T.

g. . Sin autem quantitates indetermina-as luentium nomine , ipsas vero infinitesina s*xiom , momenta, crementa momeH' lanea

306쪽

,8 absis Infinitorum. Ap. VIII.

lanea aptissimo usitatoque Clar. Ne tono tech nologemate appellemus, eodem hoc fonte cal. culi, ab inclyto hoc Authore in profundissime eruditionis de Phil. Nat. Princ Math tractata adhibiti , demonstratio haurietur. g. 6. Hisce corollarii ad instar annecti, in simulque confirmari posset , Scholio , . 3. Cap. II. subnexo, terminos sequationum inde- erminatos ad infinitesimas redigendi insinua ta , adeoque inde petenda methodus quae, licet fractionibus aequationem ac irrationalitatibus liberam postulet, non paucis tamen in casibus terminos differentialium simplicissimos, compendiose magis, quam modo traditus cabculi disserentialis algorithmus exhibet. g. 7. Posset disserentialis hic a orithmus ud-terius extendi , a quantitatun , qui potestatum indices indeterminatos habent, differentialibus assignandis idhiberi. Quaeritur verb. r. ipsius L differentiale

Fiat γ', ac posito x e loco a ,

loco , Φu loco. et erit 3 2 ad potestatem x Fe cvecta, is, unde multiplicatione in

stituta , ac rejectis per lenam Io reliciendis,

307쪽

io ipsi et si arrogato ν , fiet tandem

mu jam si loco arac reis iantur differentiale quaesitum, ta designationem ei itianam , Obtine

oroll. Quod si x fiat determinata p, erit

prodibit, tanquam casus hujus theor itis particularis, N IV.

Ol. I. Posset potestas, etiam ad quamlibet aliam po-citem, tum determinatam, tum in determinatam evehi; rursus ad aliam, potestatumque potestates hoc ritu nlinitum continuara tum inico phiribusque terminisrrio sic verb. gr. ἈVecta ad potestatem x potest haec im ad potestatem denuo ad potestatem 4, i unde calculi laujus, tum S curvarum, quae hacte- non satis consideratae fuerunt, contemplatio ulterius e promoveri earumque tangentes s ex more Capor. c. aliaque symtomata inquiri poterunt. Cum au-ὰasus hinc originem ducentes ferme in innumerabiles,tique eorum ad certa quaedam capita reductio tantum impossibilis, praestabit in hisce Omnibus methodono- generaliora uti, cum labor alias in sumtus opera suae tum vix compensaturus Videatur. chol. I. Antequam calculum dissarentialem deseram bre ex eo deductum curvarum sumptoma, repetiti ici dissereminionum succes nem silenti praetermittere n in Placuit nimirum quibusdam e clarissimis liti usaevi hematicas ipsa curvarum triangula characteristi a LXXXIII. DHE, EUC, CLI, disterentiationi iovo subiicere, partiumque disterentialium disserentias, inlinitesimarum infinite simas in calculo considorare arebat enim posiIis H, EG CL, semper aequali

308쪽

bus, non tamen DE EC CI, Ore aequalia, adeoque differentiam quandam inter illas intercedere. Quae quidem differentiationum continuatio num ex iisdem, quibus dis serentiatio prima , fundamentis deduci'neat , sequenti modo inquisivi.

Sit sine. IXXXIII. curvilineum XJ, sumtaque

intercepta Due applicata I AD curva c, subtangenti stit, tangenti TI .s; in axe accipiantur se mutuo insequentes interceptae AP, R, S, quarum differentiae sunt infinitesimae seu omni data minores, s p. e, PR. o R. S. π Cl. Leibni Itio x vocitatae deinde ad singula axis divisionum puncta si eleventur applicatae PE C, SI, erunt applicatarum disserentiar HE: a Goth, IL:i; curvarumque respectivarum , DE .u , C: δ, Cl. ζ; quarum illae D. Lelisitio, d , hae de nominanturi quae curvarum differentia infinitesimae versus axem in , , , productae generabunt infinitesimas, Ini. GF:φ; ac ductis K, BD ag El, tangentes ad angulos rect0ssecantibus aliae rursum Orientur in finiresimae , GK . .

309쪽

Hoc autem similiter eventurit in pacet , quotcunque odo numero finitae assianatae fuerunt in sinite simae.

orol. I. Manifestum hinc est , quotlibet trian ut ex nitesimis constantia , HE, E i C, CLI. eodo numero sint finita quae se invicem non interrupti estione sequuntur, inter sed triangulo as ignabili OD

similia est enim a: o tui: &sic in caerῖ. Demonstratio ex g. praeced. Num l. IV. d. X leui otio colligitur.

Corol. II. Unde sequitur , posita in triangulis hisce silibus una laterum homologorum aequalium serie, &re-ua latera, homologa homologis, aequalia fore. Idem hoc excalculo demonstratur, sint enim omnia des constanter aequalia , erit ideo, adeoque juxta .. I. IV. IX. Iezat et ire tandem ara μα , seu omnia . , vel HE,n C LI'rrpetuo aequalia. corol. m. Quod si omnia d aut omnia de peri 'tuo amantur ejusdem magnitudinis , eodem modo colline- hic omnia I x, illic omnia de de Y constΓ- fore aequalia. Calculum hoc evincentem, cum superi plane similis sit, omitto. orol. V. Ex quibus tandem consequi videt tir, cum po- una laterum seu omnium x semper aequalium serie, ni quoque 3 sibi semper aequentur , ac Omnia de ta Corol. II. nullam inter ipsa d aut de si nume- sint finiti, intercesi tu an differentiam, cum aequali una la sit disserentia unde hoc saltem principio, quo Om- 1, ni fallor, reliqua calculi infinites malis genera deduci

siti tu, di rem ionum o indarum tertiaruin i c. vltra pris iu untiationes demonstrari nequeunt.' autem hoc demonstrationis genere in re tanti Ciniat quispiam Offendatur, cum per modum inductionis entum evincere studeat, aliam ad ungo quem in si aem uentia praemitto lemmatica: onm. . Si quotlibet, modo numero finitae, infinitea ad se mutuo addantur, earum uirima eri quantitas nitesima evincitur ex lenim. g. vel etiam hoc modo sint

310쪽

sint tiantitates quotlibet assignabiles, sed numero finit: h loq-duhcirco quae seposito tiro numero quolibet sinito quantum libet magno sint ' erit Mi quan

Lemna. II. Sint infinite sim , numero infinitae , ac sibi mutuo aequales, erit earum summa aequalis quantitati

assignabili sic infinitesima ii infinities sumta est raseu quantitati assignabili. L m. III. Sint tres quantitates, a, B C, quarum sest minima, C maxima B inter utramque magnitu itinemedia. Dico sint assignabitis, etiam B fore assignabilem, hoc est nec infinitam nec infinite simam. Dem str. Si neges, si primo B infinita, ergo infinitare assignabilis , erit major ipsa B infinita , quod ablur-dum. Secundo, sit infinitesima, ergo dabitur quantitas stignabilis A minor quantitate infinitesimam, contra lemma 7. Lemni. U. Sint infinite sim quaelibet numero infit altae, erit earum summa B aequalis quantitati assignabili Demon firmi enim omnes supponantur aequales max imae,erit earum summam quantitas assignabilis iuxta lemm. hujus II sin vero supponantur aequax 's minimae, erit quoque summa

earum ae quantitas assiignabilis juxta lemma II hujus u de cum summa B media sit magnitudine inter A e C , harum utraque sit asmignabilis, eriti juxta lem. praeced. summa B assignabilis. Sed ad rem. Resumtis iisdem symbolis, ac Fig. LXXXIII sit Vr b, Z:ν, IVA b, ZIV b, IV siit e, XY: , erit propter triangulorum s Dd D H E similitudinem aquatio prima o ita insuperri ob triangulorum I Z V IVYX militudinem , est UZ: IV: IVY YX