장음표시 사용
12쪽
A X I O Iu a m Notitia communis II. Si fuerint nritates quotcunq; crescentes ordine e proportio extremarum divisa est per intermedias in p.:rtes Ana plures quam iunt intermediae, divinonem faciente . Sις quatuor mlesitιa digitorum arguunt qui ivss. digitos. Sic quinque comora regularia sibi ιnνum instria ordine interpostu orbι,m ιnscriptu ct circumstriptis arguunt Orbium talium sex esse.
Troportionem inter datos duos terminos
quosiuniis dividere in partes quotcunq) ut in
partes numero continue multipliciprogre laniae binaria seous, donec partes oriantur min res quantitaturoposita.
Proportio enim est etiam una ex quantitatibus continuis in infinitum dividuis. Vide hic typum divita proportionis inter Io. 7. per triginta proportionales med id in a
Minimum proportionis elementum quantulumpro minimo placuerit, metiris inare
perquantitatem quamcunque , uiper excelsum
termis orum hujus Fumen ii 'II. PROPO si Tio.
13쪽
6 IOANNis KEPLERI proportio primae ad secundam, vel secundae ad tertiam. eadem est proportio differentiae priorum, ad differentiam posteriorum. Sint continue proportionales A MERD F , di ferentia 'l a priorum L M, posteriorum H l: Dico, ut eis AK ad SH is esse J X M ad HI. Est enim H E ad F D, ut K A adH E ex spothes. Sedi H E est aqualis ipsi M A, o F D aequalis ipsi I E, rumum exspo- . thesi. taure etiam M A erit ad I E, ut K A ad ΗE; quareper II. quinti Eucl. etiam residua XM, adresduam H I, erit ut tota xs, ad totam H E. d . a III. PROPOSITIO. Cum fuerint aliquot quantitates in proportione
continua minimarum minima erit differentia, maxima. rum maxima.
Nam per i. Prop. sicut eΗ maxima ad vicinam minorem,su eu differentia inter maximaου, ad disserentiam succedentium; inor igitur ea qualibet disserentiarum Νccedentium, quam antecedens. Minima igitur ea ultima disserentis,qua sic licet ea
Cum fuerint aliquot quantitates in proportione. continua: si differentia maximarum statuitur mensura proportionis illarum: disterentiae quarumcumque duarum deinceps erunt minores mensura proportionis illarum justa. Nam quia ponuvtur continue proportionales, igitur aqualis effprcportio inter duas maximas, se proportio inter quasi μη que du- minores deincepssitas peri. Prop. ochor vero est differentia inter maxinaae, iusserentiis inter quasi ungat πιιιncvisitas per 3. Si ergo magor disserentiasutuιιur mensiura proportio. Disis rod by Corale
14쪽
LOGARITHMr. 7pormnu inter duas marmimas per 3. postvtitum.tunt eadem Eua. rum maximarum disserentia statuitur etiam mensura proportionis int- Δώ minores deinceps sequentes. AI dsserentia in . ter duas minoret,minor etiam eis disserentia inter maximas per 3. Prop quare etiam minor eis, quam uisuorum Iermιnorum proportionem metiatur.
In continue proportionalibus si differentia maximarum statuitur mentura proportionis illarum: omnes reliquq proportiones,quq sunt inter maximam & unam- quamlibet reliquarum minorum, sortientur mensuras, maiores differentiis suorum terminorum. Nam proportio maxima A L adminimam G B componi-rur ex proportionibuι binarum , or binarum deinceps usis ad minimam , per Axioma I. At omnes binarum deinceps sitarum proportiones inter se siunt aquales per L Prop. Mensiuras igitur etiam aquales habent per Postulat. i. s re quolsent Elementaproportionis inter maximam AK, ct minimam G B, toties disse
sura proportionis maxima x Α, ad minimam B G. Iam vero maxima x Λ, seminima B G disserentia x L componitur ex defrentiis x M, M o, o L binarum, o binarum deinceps sitarum omnibus. Sed qualibet disserentia Mo, o L, binarum deinceps seor- minor e It disserentia K M maximarum per , Prop. quare etiam totidem juncta deerentia binarum deinceps,ideis, disserentia Κ L maxima x Α, es minima B C erit minor quam m ultiplex ipsius K M disserentia maximarum, secundum numerum, elementorum proportiona secta. Sed multiplex ista est mensura proportionis inter maximam x Λ, ct minimam B G , ur Iam o-
15쪽
8 IOANNrs KEPLERI sensum. Ergo differentia X L maxima se minima non aq-s me/fgram proportionis earum ,positis quaesunt posita.
proportιonales. aximi siunt lo oo. 'oo. Eorum verentia ea ioci. Sit hae mensvra arbitraria proportionis socio. 9oo. Erit igitur etiam me ura hac proportionis 9oo. 8 ro. o proportionis 8io. 'a'. Composita igitur proportionis inter locio.'729. mensura erit boo. quia elementa aqualia proportionis ιria fiunt. per duos medios proportionales per Axioma r. i qui termino rum hujus proportionis cilicet Ioz o.s71 9 erentia ect 27r. multo minor quam 3 oo, triplum ipsi- roo.
In continue proportionalibus, si differentia maximae Munius minorum non deinceps sequentis statuitur mensura proportionis illarum : reliquae proportiones, quae quidem sunt inter maximam, & unam prius astita majorem sortientur mensuram minorem differetia suo. rum terminoru: quae vero proportiones sunt inter quantitatem maximam Munam quamlibet, pribs ascita minorem, nanciscentur mensuram majorem, quam est diis
Sint proportionales AK, E II. DF, G s es assumantur maxima quidem A Κ, or una minorum non deinceps D F, sits iliarum differentia Κο, ct XO mensuret quantitatem proportionis inter AK-DF. Et sint alia quantitates, E H quidem maior prim astita DF ; G B vero ista minor : or sit Mx disserentia ipsaruma Κ, FH; sic HI, velM Osit disserentia ipsarum Em DF; denis FC ii diei rentis ' brum DF, G B. Dico primo mensuram proportionis Ah, E H fore minorem iusserentia terminorum Mk. Nam quia proportio Λ k, D F, mensuram accipit k o,eadem
16쪽
proportio habetpartes aequases consitu asper mediam ra-
portionalem E H ,peri. Prop. Proportionu igitur A k,E H men-.
Iura erit dimidia ibim k operi. Posui. vesparsabaaliquot
secundum numerum interjectarum E H. Atae serentia M: major inquam Moresidua deho per3. Prop. Majorigitur quam dimidium it in k o. Ergo'major, quam utpossit esse mensura proportionu interk A His E majorem prius a ita F D. Dico secundo Mensuramproportionis A x , G B fore majo- rem dijerentia L h. Rursum enim proportionis E H,D F,quasi missis e lipsius Ah, D F, mensura erit emissisi v koperi. Po-su vesparsalia aliquora,cte. At di ferentia H I, vel M o minores quam dii h residua dek o per 3. Prop. GVinori inr H I, quam dimidium ipsim k o. Ergo minor quam menserapropor tionis E H, D F. Se differentia F C vel o I. rursum minor est, quam differentia M oper 3. Prop. Plus igitur de cis o L men u-raproportionu D F, G B,quam M O,amensera proportionis Dr. Est vero proportio D F , C s,aequalis proportioni E H , quia hac quidem vice ipsi D r aeque opinqua est C B versu mi nora , ais E H versis majora, o haec non esset, alia umiptis, quippe ister continue proportionales. Deficit igitur o L a men-fraproportionis D F, G v sed Kopatuitur esset amensuraprportionis A A , D p. Cum ergo proportio A ac, sin, compo sessit ex oportione A k,D F,es proportionera F, G Bler A X. i. Mensera etiam issius
composta erit ex mensuris harum; usproportio DF, cpsemissis es it m proportionis Ah, D r,o proportio A k, c e quiaLura ipsius A h, D p; erit etiam ipsim k of cepta mensurae e qui via et apro ipsius A k,C B ρroportionis men ura habenda.
Similiter vero ok I componitur ex ko, o L; O L vero
17쪽
'o O , earumsd serentia 27lo Ostatuatur mensura propes nis terminorum. Cum igitur haec proportis habeat partes tres aquales,quarum una io OoOo. 'oooo, cum disserentia icio oo: altera 'o Ooo. Si octo, cum disserentia 'ooo: tertia Sio oo. zyoo,cum dimerentias io O. et libet veroproportionum hi. ramsit pars tertias e totius,valebit etiam tertiam partem men-
surae illius silicet so33- haec vero me ira Elementorum pro- portionis minorquidem est, quam primorum terminorum diem- rentia i oooo,major vero quam fecundat ferentia 'Ooo, ma- jor etiam multo quam tertia fio O. Consequenter etiam major quam di erentia ri 'O, num orum 7 i 'oo, 6s6io: quam es differentia 616i numerorum 6 6io. 'o 9. Acproindepropor- tionis ioo ooo. 'oooo terminorum merentia Ico Oo, excedit mensuram susiceptam 'o33 - ωc minus etiam proportion roocio O. 8s Ooo di erantia isto oo excedit mensura uam, scilices daplum i m yo33 ilicet 18 66 quia termini mi nares 9 Ooo O, o 81OO Oadhuc an ante primo adiunctum 719OO. E contrario proportionisi OOCoo, 616io differentia
18쪽
Si quantitates aliquot ordine magnitudinis deinceps collocentur , binae deinceps proportiones aequalesi facientes , ipsae quantitates continue proportionales
Concentur deinceps Α , D , B, E , C vocordine minoresa' inti A v,o B cproportiones aequales,dico B esse me iam proportionalem inter Α, C. Si enim non: erit velmaior, Pelmi- iosa nor media proportionali sit maior ista, ct sit verbi causa E ipse . med aproportioualis. Digitur A E proportio maior quam Α a, per LAMquare E C minor quam AE. At si E media proporrisina- V sis, unc A E E C proportione uni aequales per i Prop.Nnisiarur minorerit media oportionalis quam B. Sit maior, si D,rursum idem absurdu queris. ' . Merg' A B, B caquale Iroportiones, ima se mediapro 'portionis,ctc.
Si quantitates quaecunq; deinceps collocentur,ordine magnitudinis, quarum,quae intermediae, non sint inter proportionales medias,proportionis cujuscunhiae, sive actu continuatae, sive potestace continuandae interpositione omissiarum: intermediae tales, proportionem extremarum non dividunt in commensurabilia. Commensurabilia enim ex eo dicuntur, quod habeant unam communem menseram, quam quodlibet contineat secundum certum numerum aliquoties exacte , e ni nihil, quo ea i
me uraminu -α. Jam vero mensurapi - communis, i es ipsa at quaproponis,minor utra ques. Omnis vero roportio est inter duos terminos 4- is repetitionesvi,n enseransaliram propo tionem.
19쪽
IO ANNIs KEPLER 1 incipit ab uno mensurandae termino,e sciat alium,pro ratione o. quantitatu sua minoris: tum isto jam pro antecedenti sumpto, alium constenuentem,hoc identiaem,quoadu permeatur proportionis me urandaequantitaS: non aliter, quam cum n- rerυalupedum Circini metimurtineam , o pede Circini inna linea extremitate ,pede alter unctum signamus, deindepe- idepriore in hocpunctum transtito,punctum aliud alteroperi e metamur, versus ulteriora , donec emens uerimm tota tineam. . s. Et Proportio proportionem exacte mensurare dicitur,quando . in hac continua terminorum interpositione se coaptatione tan- dem ultimus terminus proportionis mens2rantu, cum scundo: termino mensurataecoincidit in quantitate. Igitur idnii in ilia proportionis mensurandis continuere litae incit,terminos continue proportionales per 7. Prop. Ergo sproportis aliqua duas proportiones exatae metitur, necesse est, ut termini, quos ipsi mensurans interponit intcum ipsius mensuranda terminis con tinue votionales. Si ero nulla unquam, quantumvis parva proportispoteu inveniri, quae repetitionesi, terminos ultimos sequatur oportionum mensurandarum sic ut tant major com- in unis terminus,quam duo minores proportionum me odi rumstat eum mensarantis terminis interpostis continuepropor- . ionales preportiones Agasunt inter si incommensurabi es.
Cum duae longitudines effabiles non fuerintad in vicena, ut duo Numeri ejusdem speciei figurativae,verbi causa,duo quadrati, aut duo Cuni: non cade tinter illas, longitudines aliae effabiles, mediae proportionales, numero tot,quot ipsa species postulat,verbi causa,Quadrati unam, Cubi duas,Biquadrati tres,d c.
Sint enim dua lungitudines A n habent esse quidem adi vicem,
20쪽
vicem, ut numerus adnumerum, at non ut merm CubicWad
Cubicum: sequia de cibo agimus, de duabus igitur medis vro portionalibus erit dicendum sentea B c. Dico B'C non esse longitudines effabiles. Sienim quis contenaat esse effabiles s hocpessum. Sunt uitur ut Numeri. Sunt autem ut media proportionales intera, D, ex pothesi. Et quia etiam Α,D sunt ut numeri quippe essabiles, o sesupponuntur 'abent vero duin medias B, C, aemn meros quare rM.o favi A. Aor similis eruntsolidi: quare per 2 7. ejusdem erunt ad invicem, ut Numerus adnumerum Cubicum. Hoc vero ea contraprimam propositionis po- 'thesin. Falsem igitur situ uit, nocesse L itudine eff- hises. Vera igitur Z negauis inpropositione comprehens. JEodem modo etiam de quadratis, o de una mediaproportis- nali ratiocinaripossumus , deductione adimpossibile: nec minus
f O decueris feci H,pinquadratum secubumsiquentibuΥ. X. PROPOSITIO.
si ex aliquot quantitatibus effabilibus ordine magnitudinis invicem sequentibus duae extremae non fuerint ad invicem, ut duo numeri quadrati, aut duo cubi, aut duo alii ejusdem speciei; intermediarum nulla divi- detproportionem in commensurabilia. Nam nisi duae quantitates Gabiles recipiant media proportionalia abilia , earum proportio non dividetur per est abilem intermedium is commensura lisper 8. Prop. saeuaquauritates nonfuerint inter se, ut duo numeri ejusdem oeciei inutivae, non recipiunt media proportionalia effabilia,per '. Pr are ilia intermediae quin vo filio admittit, cum ut . : ab avi, hisneruntexproportionalibuου mediis.Non igitur iv -' Vt pro 'sonem extremarum in commensurabilia.