장음표시 사용
31쪽
, a d εIO ANNIs Κ g pLERI in elementum, emergens adpropinquitatem esementiprioris iis propositionepraesinitam. At in iis quasiquuntur proportisneis inter so I. se soo sectionetorro non estvin. Nam quisproportio inter Foo. yy eadem est qua inter Iooo. yβῖ iccirco uerit notificata Iooo. 923 isto o. Joo.nsetur etiam composita ex utras Io oo. 49' sinesectione tiboriose. Igitur inquisitio proportionalium desinit inproportione duplasilicet inter Io oo JOO.
Cognita proportione numeri cujuscunque ad primum Iooo: simul cognoscitur etiam numerorum reliquorum continuae ejusdem proportionis, ad eunderes primum IO OO. proportio.
Notast me ira proportionis inter Aor B. Etsit ut A ad B c B AEd C ad D, o Dad E. Erunt igitur aequales mensi proportionum harum guti mei, quae estprimo notae A ad Aper LP ut Iam vero proportis A ad C componitur ex proportis nibus A ad B, o B C,per I. Ax. quare σmensuraproportio nis AC componetur ex duarum proportionum A B , s B C mensuris. Mest, mouera ipsim A B duplicata, dat mensuram ipsius A c ,triplicata ipsius A P,quadruplicata i us A E . Hocpacto cognita proportione inter I Ooo,9ao, cognsi- . tur etiam i in Iooo.ad8Io,or ad 7 is. ψ
32쪽
CARITHMI. 2s numeronam figuris. Est enim ut Maximus Chiliadis tanquam deno-- minator ad Numerum propositum tanquam numeratorem sic hie. ad stactionis quadratum,&hoc ad cubum.
Cognita proportione numeri ad primum Io oo ; si duo alii in eadem inter se proportione suerint ; eorum unius proportione ad Iooo. cognita, noscetur etiam reli qui proportio ad eundem Iooo. Sis Arooo,o nota mensi proportionis A ad B. Sit vero ut A ad B dic C ad D, is nota mensuraproportionis A ad C.Dico,etiam innotesiere mensuramproportionis A ad D. aenim nota ea mensura ipsius A B proportionis , nota etiam erit ipsimc D proportionis, ut quoisii ponitur aequalis per i. Postut Nota vero eis etiam AC,O A Deucomposita ex ACOC Dier I. Ax. quare etiam mensera i tW A D componetur ex mensura iasus Λ C ,ut ex mensura Usius C ra,ideis Uus AB.C o R o L I A R IuM LHoc pacto ex notificatis proportionibus quindecim, prop.i8 praemissis, noscentur aliae centum viginti, Numerorum intra mille, natium,ad ipsum millenarium.
Agusiles enim dat uerint proportiones ad Ioo O. duorum numerorum talium, in quibus velambobus, duos ultimos locos habuerint Iphrae,ut 9 oo 8OQ,velin eorum altero quidem duos, in reliquo verbunum, ut pop. 8IO, 7co. Io. Ve unum flum ums ultimum in utros numero locum ex tribus obtinuerit c)phra: qua tamen hane cnbram antecedit figura in altero numero, ex laribuι in reliquo quinaris fuerit, ut 6 io. yso c
33쪽
2o. 2o. 9Jo. veis alter quidem Iphia in ultimo loco caruerit, ex paribus tamensuerit ut sin. Ia. vel 1. reliquus fuerit1oo. Omnibuου hisce casibus instituta multiplicatione numerorum,proveniunt in ne tres Ophra, quibus abjectis formatur numerus,unus ex mugeordinis naturalis reprogressionis Arith .metica. COROLLARIuM II. Hinc oritur praeceptum tractandi regulam trium, quando un
Namsi ille occurrit primo loco in talisu fA IOoO.dat B,quid c 'Tunc additur mensuraproportionis Α Β ,admenseramproporti/nis A C,itas mensuraproportionis A D. Sin autem Io Oo. occurrat locosecundo vel tertio,in talissu B dat A lo oo,quid c ' vestali B dat C,quid A Io oo' Tunc aufertur mensura proporti nis Α Β , amensura pro portionis A C,velejus multiplicisproxime majoris,ita relinquitur mensi rea vel i in proportionis AD, vel ejud aeque multiallicis.
Quando suerint ut primus adsecundum Gic tertius ad quartum,notae vero fuerint proportion es ipsius roo O. ad tres priores, innotescet etiam proportio ejusde IOOO. ad quartum Sit enim A io oo, os ut A ad c coad E. Nota vero tproportiones Α Β , A C, A P ; Dico innotesiereetiam propor rionem A E. Nam quia ut v ad c , c D ad Ε, aequalis in igitur
34쪽
A C,tunc A B bas accessit. Vicis pro B Esumatur A E propa iis quassabiune A semellantum accessit. Stergo Hunctis A D, Α C notu, abstuleris Λ B notam semel, relinquitur A Esroportio qu sita.
COROLLARIuM I. Hac methodo praeterquam quod superionim Chiliades mul iterato exquiruntur,accedunt illis insuper aliquot alia COROLLARIuM II. Hinc oritur praeceptum tractandi Regulam trium, quando mi iam occuciit rotundus i o O o,ut si sic: collicentuν ires: B dat C,quido 'Nam additur mensi proportionis A C , mensuraeproporationu AD , se umma aufertur mensura proportionis Α Β , vel
ejus aliqua pars aliquora: ita relinquitur mensura oportio σίν A E ,πAejus alue multi lex. DEFINITIO.
Mensura cujuslibet proportionis inter Inoo.&numerum eo minorem, ut es definita in superioribus, ex pressa numero, apponatur ad hunc numerum minorem in Chiliade,dicatur , L O C A R I T H Mu sejus, hoc est,
indicans proportionem Γλαγὼ quam
35쪽
Si primus numerus sit semidiameter Circuli seu sinus totus: omnis numerus minor, v t Sinus complementi alicuius arcus, Logarithmum habet majorem sagitta arcus, minorem vero excessu secantis arcus supra radium seu semidiametrum, excepto unico proximo post semidiametrum , quia illius Logarithmus ex hypothesi est aequalis sagi itae.
Sit A centrum circuli , A D semidiameter , D I, D E arcus, eorumque SinuU I C , E B , Sinus vero complementorum snt C Λ, Β Α ,sagitta C D, B D. Sit autem ut A D ad AC ,sic AC ad A B. i mplius tra- π rundem arcuum secantes A G, E I , per terminos I. E, in tangentes D G, D reducti , se ipsi A si aequalis ab indatur ab A F,quaesis Axy, denique t CD
mensura proportionis C A, AD , ut minimi elementi arbitrarii. Dico, mense ramproportionis BA ad AD, hoc eis, Legarithmum ipsius B Amajorem esse quam B D , minorem vero quam E F, Ηdma torsit quam BD,demonstratum essuprapropositone duodecima. md vero minores sint mensurae proportionum harum I G. Crscprobatur. Primum de C A,cum isa c D sagitta,utpote in mi-. ximo
36쪽
L o G A R. I Υ Η M I. 13 vino proportionim elemento ponatur esse Logartihmus 'sau C Ar C neeis minor quam a C. Vt enim C Α ad AD ,sic I A, hoc ea, D A adΑ G, quia D C es C I ,parallela. Eu igitur A D media proportionalis inter C A , se A C. Vt igitur C A ad A D , scdisserentia cA, AD , hoe est , c D ad disserentia sequentem D A , A G , hoc eis , ad I C. Sed C Aeu minor quam Α D, ergo or C D est minor quam I G , Sed c D es Logarithmus ipsius C Α Sintu tomplementi arcus i D,cti et est exce secantis Aufidem arcus.Ergo Logarithmus minores hoc excessu. Transeamus adBA: cuius Logarithmus maior es quam a D,demonstrax um est,illum non esse tanto maiorem ipsa S D,
quin interim maneat minor ipso E F. Rurswm igitur AD est media proportionalis inter B A C AF. Et quia posita esuis A ad A C, c C A ad AD: quare etiam ui E A ad A G,vel A P K A, vel G A ad A F. Sunt igitur continue proportionales i a A B, AC, AD, A X, vel A Gor AF. In eadem igitur proportione sunt etiam B C, CD, I G, vel E KoKF. tminor vero es CD, quam IG,utprius ostensim, minor igitur eris etiam Is vel E Gquam KE.Tota igitur E F.maiore quam dupla ipsius I G, multo magis igitur E F maior erit quam dupla ipsius C D miseris. Dproportionis inter B A, AD ,ut qua dupla es 'sius B A, AC per I. propositimem mensiurasteu Logartihmus ipsius B A,s ρυ- cise duplud ipsius C Dperi. Po sui. LMinores ergo Legarithmus ipsius B A excesserantis ERErat autem maiorsagitta BD. Paret ergopropositum.
Iisdem positis , sagitta arcus cum excessu secantis superat duplum Logarithmi , ad Sinum complementi QRpponendi.
37쪽
3o Io A MNIs ΚΕ TE R. 1 sit enim primo Sinus complementi longissimus, aut lon-ν k gissima mediarum proportionalium , quibus aliqua
f i proportio dividitur inc Ni- partes arbitrario numero: mutiasse ut elin, veria
i cos , A C residuum C D, ε seu sagitta arcus ID sit
c u ' His a mensura arbitra riaproportionis C D,Logarithmus igitur 'sius C Aes CD. ρI Gest maior ipsa C D. Iuncti igitur excessusecantis I G ,essagitta C Dplu efiiunt,quam duplum ipsius C D. Sit deinde alia quaecunque minor Mesproportionis conti-πω,ut A B , oreductam B vendiculari in circumferentiam E,connexi AE,s D G continuatis in Fsit E Fexcessinsecantis,es B agittaeis Amsi ilicet arcus E D. Dico iunisos EF se B D , facereplus quam duplum, Logarithmi ad I A apponendi, pu me ira i in B A,A D proportionis. aestui B AMAD ,sic D Aad AF, o C A media proportionalis inter B A, A D, ui igitur B A ad A C , c G A ad A F, quareper ΣΤ quinti Eucl. BA, AFiunt Iasiunt longiores iunctis η , a G, sive quia, ut v a 4d AED ,sic D A ad F, quare βA Fjunctae,superant o A, AD duasmedias.Vt vero B A ad a C , cetiam BCad CD, se IG ad KF per a. prop. auare etiam BC ct
38쪽
duplum tantae partitionis de C D,quantaportio in proportio B a A C,proportioηὼ CA, A D. COROLLAR tu M. Logarithmus siniis complementi est minor medio Mithme
tico inter sagittam &excessum secantis. PRAECEPTu M.
sinus inventi in Canone Sinuum residuum ad totatum adde excessui secantis complementi, summae dimidium superat Logarithmum , sagitta ipsa proxime minor est Logaritiam O. Eposiniu9997o. I 'o Arcus
Elus residuum 29. 83io adsin. totum 29. 8199 Excessusscantis.
Invento Sinus Logarithmo , invenies etiam proxime Logarithmum Numeri rotundi, qui sinu tuo scrupulato proxime minor est, si sinus scrupulosi excessum supra numerum rotundum adjeceris Logarithmo Sinus
9 '7o, I 9,LNarithmiu inventus HI 1'. 8s 4 circiter Mammis scire Logarithmu rotundi 9997o. Ozo. vides excessum tui Sinussirupulos esse i η'. hunc adde ad inven
39쪽
Si tres quantitates invicem successerint, aequalibus excessibus differentes, mensura proportionis inter maximam δc mediam, cum mensura alterius inter mediam S: minimam constituet proportionem, majorem quidem proporPone majorum,minorem Vero proportione
Sint tres arrantitates A D , A c, A H quasibiu excessibin P C, C H; Sit autem mensura proportionis D A , A c linea δ γ, mensura vero proportionis C A , Α Η ,δεω γ η. Dico,proportionem ipsius δγ aή maiorem quidem esse proportione jsius C A ad A D, minorem vero proportione ipsius HA ad AC. Fiat enim ut OA ad a csic Caad AB, Ut igitur D s ad a Cois DC ad c spera. Prop. Sed longior est D A,quam A C, longior igitur D C, quam cs, longior igitur se CELquam CB,ddserenita B H. Cum igitur aequalessint proportiones DA, ACOCA, Q, per I.prop. me uraver. ipsius na,scsi linea δγ, habebit
Ca,4 B mensuram aqualem ipsiδwper i. Postri. Eicumproportio C a, Arist composita ex proportione C s,s Ac proportione BA, AH. maior igitur erit proportio C A, AN, qηam proportio DA, s C,aequalis ipsi C A, AB. LMaior igitur etiam mensura eius
40쪽
L O c A R I T H M 33dua igitur β η, men sera erit residuae ro rtionis B A, A H. Erit autem proportio γ 3 ad CB minorquam βη ad BP per Iz GraiZideis, maior est β η res quβ γ vel γ' quam H B resecta B C. Compositis igitur terminis, illic γβor βη in CB OB H in C Hi maior erit γη resecta γ β, veletu e ualiόγδ quam C Hresecta C lB.Maior igitur eis proportio intera γ, γ , quam inter B C, C H,ideis, C D. Vi vero BC ad CD, PC A ad AD per a. prop. aior igitur proportio inter δγ, γ η, quam inter C A, A D. Sedδγ, γ η, sunt mensura, illa quidem proportionis inter D A, A C majores , haec vero proportionis inter C A, A H minores. Ergo o
portio mensurarum maior est proportione terminoru minorum.
Rursum ut ut H A ad AC, sc C A ad A L. VilitarH A ad AC PHC ad CL,pera. Seisbrevior est FqA,quam A c, breviori tur H C, hoc est D C, quam C L, disserentia D L. Cum igit.r aequalessint proportiones H A, AC, O CA, A Leerr. Prop.Mensura verὸi iubi A, A Coit linea , γ,habebis C A, AI mensuram aequalem ipsi h γ,per i tosta Esto γ λ. Minor vero erat proportionis C A, A D mensura ,pata γ δ. minor igitur ea γδ, quam γ λ. Excessus igitur δ λ eris men ara proportionis inter D A, A L,apposita adproportioneinter C A, A D.Et quia termini D A, A L unt longiores quam C A, AD, quare pero. Corol minor ea δ λ reflecta λ γ, velγη quam D L. Noesta L C.Maior igitur residua γδ res erita γλ, ve η, quam C D,vel H C,resse, C L. Et quia oportio minuitur,cuncto
Ninpri termino,per Ax. I. 'inorigitur euproportio interδλγη, quam inter MC, CL. Vt vero HC ad CL, c terminit in nores H A ad A C, per Σ. conversam. Minores igitur . Prope, o interῖγ, γηm Fura proportionum, quarum unam