장음표시 사용
21쪽
Omnes proportiones deinceps ordinatae, quae simi
inter terminos effabiles aequalitate Arithmetica se invi cem excedentes,inter se sunt incommensurabiles. am termini extremi fabiles, vel recipiunt a. i. :-ediam proportisnalem quantitatem unam piaresve, vel non,
recipiunt. Si non recipiunt,nuri igitur abili, O senes medio
Arithmetico dividitur eorumproportio in commensurabiliape et ras. Prop. Recipiant vero effabile mediumprvortionale, ut term miges 18, recipiunt enim ire abim,cumsint ut ad ' , qu dratus, quadratum. Est vero inter 8.i8, medium Arithmetia' i proportio 8. I3. majores quam S. Ia,ei 3. I8 minor, . quam ii. I 8, quantitate utrinspar proportionis inter termi- , nosti. ysi proportio tr. i3, nulli reliquarum ect commensura- bilis. Nam terminis. 3. quiano uni adinvicem, ut numeris fguratus adactum ejusdem gurationis per I O.Prop.non capiunt mediam vel medias proportionales effabiles , quarenumerus id . non est unus ex iis numeris, qui inter 8cti; intercidunt incon tinua proportione: non ea igitur commensurabilis proportio 8, Iyproportionii 2.r3. vel8. I L. Sic exii e undamentis, quia iermini ir. 78. non capiunt es bilem mediam proportionalem : sergo tr. is o i 3. i unt incommensurabiles , ad commensurabia
re idus ergo is .i8.est incommensurabilis ipsi a. is. di nes pro porita inter 8.ta, exi commensurabilis it 1 oportioni interi 3 I8, quia tota inter 8.i8 alter riparii inter 8.M Hrincommensiurabitis , ergo partes invicem per i 6. decimi Fuci. Item si Dir es commens biles,mensuram Iraa communem
22쪽
etiam coant stam inter 8. i8 emeriretur, sic partes Iora commensurabiles essent quijam demonstratum eis, bie commensurabiti m. Nonsent igitur tar-rcoquas hinc facit me. Arithmeticu inter se commensurabiles.
si quantitates quaecunq; deinceps collocentur or- di ne magnitudinis, proportionis vero inter madiimas mensura statuatur differentia inter eas , differentia inter quascunque alias,ex positis, minor erit mensura suae pro-
portionis ; de si proportionis inter minimas mensura statuatur differentia minimarii: differentiae reliquae erunt majores mensura proportionis suorum terminorum. enim continue proportionali mi quantitates cot
a locata a , melpotestare plendi amissas, es tunc patet prop situmper VI o per II I. Aut nonsentin proportione c. ntinua
si ut partes consituant incommensurabiles: es tum conceptione mentis in in nitas particulas aequalescuritates geretur peris terpositas in nitas mediis proportionales: ita redigentur cum iis, quae actu sunt continue proportionales ad eandem vim de monstrationis. C O n o LT ARIu
Quod si superet mensura proportionis inter maximas, diffe- α rentiam earum: hujus mensurae ad hanc differentiam proportio mi- nor erit, quam sequentis mensurae ad differentiam suam. cum pro portionalium eadem sit ratio.
Si quantitates tres ordine magnitudinis se insequa- 'pQrtio minimarum duarum, in proportione ex- 'i ricinarum continebitur rarius, quam differentia mini-hi I
marum erentia extremarum: & vicissim propor-
23쪽
quoties licet non exactὸ: ct capiat proportio minimarum B E , c F mensuram di merentiam M N , eriti itur oportion A D,
- bitur tapius, quam differentia illarum in differentia ha
contineatur enim in adiecto diagrammate differentiat minimarum Ei, vel MN , in dicterentia D N extremarum at linc F mensura minor quam merentia D N per I 2. rarius igitur' - continebitur M N. mensura sus A D, C F proportionis,liam V D longiore;rarius igitur es ipsa oportio inproportione. Vi-recis contineatur D M,differentia in D N aliquoties sit D M . . mensi ra proportionis Λ D,B E. Erit proportionis Α D, C F n- sῖra maior auam D N maepius i itur eris PM, in mensura ipsius
COROLLAR Iu M. Differentia ead in inter terminos binos hinc maloris, inde minores existente: proportio inter maj es minor erit ruet minores major.
Si quantitates tres ordinentur deinceps,aequalibus differentiis invicem excedentes: proportio inter extre-
mas est major quam dupla proportionis maXimarum. Sint tres qxantitates, Α D maxima, B E media, C F minial ma, os excessui primae super secundam o M , aequatas excessu secundaesuper tertiam E i , vel 11 N. Dico,proportisnem inter A D, C F, maiorem esse quam duplam ipsius inter AD ad BE.' GVensuretur enim proportio A D, B E peri erentiam D Nper; 3 igitur mensura proportionis v E , C F niaior quam l. 1 dimerentia i E , vel N M perii. Sed M N aegrat D M mensuram proportionis inter D, B E. Ergo me rapi oportionis DE, C E
24쪽
r E,C F maior elaproportione Α D, B E. Se proportio A D , C Fcomponitur ex proportione Α D , B E se ex proportione B E , C pper Axioma r. Ergo proportio A D, C F partes habet A D,3 E,Oeam maiorem 2 E, C F,maior igitur dupla ipsius A D, B E.
COROLLAR Iu M. Hinc sequitur, semissem proportionis extrematum esse majo-ἔem oportione maximarum,minorem proportione minimarum.
si duae quantitates proportionem constituerint, di- naidium vero quantitatis majoris dematur de quantitate utraqGresiduae quantitates proportionem constituent majorem dupla prioris. . s Sint quantitates Ip. 9. Ur ablato dimidio ipsusio. hoc eΗ, ri .ex Vtrast,relinquantur A. Dico,proportionem inter S. q. δε- pla ipsim io. 9. majorem esse. Dupliceηtur enim F. q. sent IO. 8. eritiproportio eadem i. q.quactio. 8. Differentia vero Io. 8. hoc Hi α,dupla erit differentiae s. q. hoc eit differentiae I O. Si vero tres quantitates ordinentur IO.'. 8. quarumpri-' - maro. excedat tertiam 8, duplo eius, quodexceditsecundam', suin quibu aequali intexcessus Io. 9. o 9. 8. proportio extra marum I O. 8. fideius . maior est dupla sim IO. 9. maxima rumper Ergo.
In commensurabilium proportionii partes aliquotae sunt inter se in commensit rabiles. pars aliquota elasitoti commenserabilis, at ista in perhibeturiorisciae incommensarabilis, ergo e pars unius toti C alteri
25쪽
13 IOANNIs KEPLERI alteri eris incommensurabitu per i . decimi Euci se pro eadem,
Si mille numeri invicem succedant ordine natura li, differentes bini unitate, initio facto a maximo Iooo, deinde proportio inter maximos Iooo. 999. bisection: continua secetur in partes minutiores,quam est excessus proportionis inter proximos ''9. 998, super proportionem inter maximos Io oo. 999: minimum vero illud Elementum proportionis, inter Iooo. 99'. Capiat mensuram, differentiam inter Io oo, & proportionalem illam mediam,quae alter elementi terminus est:ulterius si proportio inter Iooo. 998. seorsim secetur in partes duplo plures,quam prior proportio inter Iooo. 999,3chujus se. paratae divisionis minimum clementum seorsim capiat mensuram , sitorii terminorum quorum alter sit Iooo. differentiam. eodemq; modo quaelibet proportio ipsius Io oo. adsequentes numeros, ut 937, &c. bisectione continua secetur in particulas tantae magnitudinis, ut Versentur inter sesquiplum & dodrantem elementi, quod emerserat exsectione proportionis primae inter Iooo M999. singulisq; elementis mensura detur a suorum termi norum differentia, maxime existenterooo,&silaoc facto, cuicunque ex mille proportionibus, mensura constituatur ex tanto numero mensurarum clementi sui, in . quot elementa ipsa divisa fuit: proportiones omnes, ad omnem calculi sitbtilitatem, omendatas exactasq; habebunt menseras. Nam succedant invicem numeriIO OO. 999. 998. dine naturali, disserentes unitate: erit inter maximM IOOo.
26쪽
L o C A R I Υ Η M I. . t '' ','ninima proportior maior inter proximos '''. 9 8: hae iterum major proxima inter o 997 sic emper se hoc peri . Prop. Ponec IOO. 499 sat major quam dupla ipsius Io oo.. -Dicosecundo cessumsicundae verprimam fore minimum : sicut semper excessus sequentis si per praecedentem fit major priore excessu: ut quoties sequens proportio duplo longim distiterit a prima,quam aliquapraecedentium, toties ex-ces a sequentissuper primam amplius quam duplo majorsitem cessupraecedentis. Fiat enim ut toro ad999scyyyad998 EIgitur proportio 's' ad 998-esseadem quae io oo ad 999. Aufer ista aproportione 999. 9 8. relinquitur excessus yy8olo. 998oo O. Fiat etia ut i coordy99μ998 ad 97ilo 998 ad'97 eis eadem q*aelo oo ad sy'. Aufer illam a proportione 99 8. 9 9 7. re inquitur excessus , proportio intres' oor. o Io oo.At in priori excessuproportionis 998olo. 998ocio terminissiferebantper I. in hoc verbexcessu termini 997ooz. 997o oo serunipera. Atquis aequale uiseni majores termini h c se istk,proportiosequens, ubi dupla d frenita prioris inuisset major δεpta ipsiu per i . Mulso igitur maior erit
proportio , ubi etiam minorfuerit terminin , quiproportionisequentieti loco majori ilicet 297oor. Lucis causastat numeri minores Orpauciores,d qui etiam unitate disserant ut: IO. 9. 8. 7. 6. f. q. 92. I. Dico excessum proportionis 8.7superproport. I O. 9. amplius quam duplo majorem esse quam excessum oportionis 9. 8super eandem io.'. Re caturenim ut prius prima proper io ister. IO. 9. cum gulissequentium, quaου bini deinceis numeri consituant, reducantur, c 1 inquam,
27쪽
ro mi Io ANNIs ΚΕ ptet Ri ruam, ad communem terminum maximum.Hic etiam excesse, Dum termini disserunt magis,magoi,ut quia 72.TO.ea locos- .cundo,disserentia a sui prioris i,inter 8 I. fo, dupla indicat excessum 72. 7 o. esse majorem duplo ipsius 8 I. 8o. Sic sq. so. loco squarto major duplo ea ipsius 72. 7olo secundo. Sicit. Io loco
octavo major duplo ipsius s . o. indicedisserenita 8,dupla ipsius
Cum igitur in priori exemplo milli numerorum, minimus recessus it 998oo I. 998ooofacta cammproportionempria rima Iooo. 999 in partes aequales,minores sto excess numero. Reducatur enim illi excessus ad terminum minorem dividen , silicet ut 998o oo ad998oos, c99'oo oo oo OOO ad 999oo Iooa oo . orc. unde apparet disserentium terminorum fieri Iooro o . oco quae Hi paulo major quam mi e spars de
disrentia terminorum proportionis primae. Ergo per Iynon to-
P in excessu proportionis misse
28쪽
ratur ergo medium proportionale inter iooo.999Id scabit proportionem terminorum, in aquales dum partes , per I. Prop. quaeratursecunά. inter hanc inveniam mediam, se Iooo alia media proportionalis,ut ita prior media intelligatur,circum data duabus mediis proportionalibus aliis, quarum tamen unius solum, versm terminum Iooo. investatione opinest. Per ba igitur tres medias ut ela in Ax. 1.) secabiturproportio in parres in . Sicproportionalis tertia inter prius inventam , o ioooscabit in partes 8.quaru in is, e consequenter ore Posui. α in
ηρressura investigatoexcessu: quia proportio capit hujuου excessu minuου quam mille , hic vero constituuntur milli viginti quatuorparticula.Hic igitur panicula mille a vice a quarta capias loco mensura, disserentiani terminisuiminoris sumem
proportionatis decimae a termino majore Iooo. per .Posulat. pergimin adsimilemfictionem proportionis inter Iooo. 998.Haec igitur Hi incommensurabilis priori iooo. 999. Nam per II. Prop.proportio999. 998.en incommensurabili propor-rioni Iooo. 999. qui termini binidisserunt unitate aequaliter, I proportio Iooo. 998. romponitur ex isiis interse incommensurabilibusper Axiom. I. Cum vero totum in incommensura
bilia secatur, ipsumsingulo in incommensurabileper I7. decimi Euctu vero haec proportio Iooo. yy8.major quam duplaprioris IOoo. 999. excessuincommenserabili, ut supra alligatione pramissae i indicatu. Pars igitur ejus millesima vigesima quartaptu quam duplo major es misimo elemento prioris ; incetur igitin, ut totius fiant partes Eoa 8. per inquisionem: undecima proportionalis. Tunsne elementῶ hoc ejus erit proxime AEq au
29쪽
elemento minimo prioris,majus tamen Ego etiamnum, se is incommensurabile per i 6 praemissam. Si ergo illud accepit menseram, disserentiam Forum te minorum, hoc jam elementum proportiθnis, quippe majus illo, mensuram habebit majorem disserentia Forum terminorum, per i 2. Prop. Acproindesi prioris elementi terminorum disserentia multiplicetur Io 1 qiespro mensera proportionis inter i o oo. yyy iuncposterioriselementi terminorum disserentia,multiplicata 2 o ψ 8 ira, adhuc minor erit men 26 proportionis intere
Veruntamen si attendamus ad quantitatem hujus defectus,illa est omnino βbtilissim ornusta calculi diligentia obser-mabilis. nia enim proportio interlooo.s yyy secta es in par
ticul-pim quam misie,stelementi tam parvi mensera constituta es disserentia terminorum ioooooo.& 999292.silicet s. O minor adhue certe proportioproxima inter 299999 299998. major prioriper ri. Prop.Menseram habebis, quae excedat termianorum disserentiam primam vix millies milli asui; Acproinde compositaproportio ioo oooo 29999 major es dupla pris' ris vix millies missima prio sparticula. At jam elementumsi cunda proportionis inter iooo.'98.i perioribus constitutum,
nequaquam est majus duplo prioris proportionis elemento sed ob idipsi actaeβηtpartes,non i o 2 q.sid 2o48. ut es etparsi iaproxime aequalis priori,quomodo excedit illam rursem vix Lle a parteisu fero totum eradderet disserenti ae mil
30쪽
L o C A R I)T H M I. 23999- gares cetur in aequales ior . particulas articulatalis etiam erit polo major quam tripti elimentiprimi. Sinuste- rim lyae bisecentur per undecimam proportionalem, existent nu-
mero χο 4 8.eriis unaqualibet major quam seri quialteraprimi elementi. Nam triplae dimiHa es issisi quialtera totius. Luia ergosperant primum elementum plus quam dimidio ipsiuου, bise- centur denuθ constitutione duodecimae proportionalis , ut flant partes Ao96: quaelibet major dodrante prioris elementi, quia si quialteri dimidium et dodrans. Satis igitur appropinquat ei mento priori. Srigitur huic elemento proportionis tertiae mensura seorsimponatur, disserentia terminorum it 3,peccabit quidem illi excessu ,per i praemssam, at peccato nunquam olima bili,ob causas injecundaesectionedictas.
Hocpactoproportio interio oo. 96 persectionem in qo96 paulo majussortitur elemenium,quam eis elementum primae,se' proportio inter Iooo. 9's, paulo majus quins quanti primi lementi. At proportio inter iooo. 99 jampertredecimamproportio lem,capere debet partes i' ut i rursum paulo majores dodranteprimielemenILEtproportio inter Iooo. 993 pauo majores habebis septem octavis primi, se proportio inter IooάP9λ rursum paulo maiores primo elemenso.
Hoc itur tantis crobtinet, quoadnumeri ordinis millinarii proximi invicem appropinquaverint magis ipsi soo. im dis primi,quam ipsi primo i Ooo. Nam quia proportio inter soo. 'P maior eis quam dupla proportionis inter Iooo. β' ' per i s. praemssam: Iam igitur excessus soo. 49' super ipsam iooo. 'β' superat ipsami o 'β' quare insectione proportionum, quae proxime antecedunt proportionem inter oo. o FP per unam superabundantem, bisectionem, vel etiam quadrisectionem, redigendum