장음표시 사용
321쪽
FIG.6S gox SECTIONUM CONICARUM dem AD una cum quadruplo ipsius AR.Quare excessus , quo RI superat Eld, aequalis erite cessui , quo qudruplum abscissae AR lupeis rat quadruplum abscissae AG. Sed excessus iste est quadruplum ipsius GR , sive EQ. Itaque per idem hoc quadruplum parameter Κl superabit parametrum EH. Quod quum ita sit, perspicuum est, theorema generale, quod in hac re locum obtinet , ita quidem concipi debere; nimirum, quod disserentia parametrorum . quae ad duas quasvis diametros referuntur . sit aqualis portioκi, quam ex diametro , axi propinquiore, aufert perpendicularit ad eam ducta ex vertiisce alterius remotioris.
U. Sed nolo hic reticere pulcherrimum istud theorema , respiciens exces ut, quibus parametri aliarum diametrorum fuerant parametrum axis r scilicet, quod excessus isti sint in tet se in duplicata ratione rectarum, quibus ipsae diametri distant ab axe. Esto enim AB axis parabolae , EF diameter propinquior , & ΚL diameter remotatior. Sint autem AD, EH, Κ I parametri ipsarum. Dico . excessus , quibus parametri diametrorum Eld, EI superant parametrum ax SAD , esse inter se in duplicata ratione rectarum , quibus ipsae diametti EF . ΚL distant ab axe AB.
Ducantur namque ex verticibus d ame-erorum E,& Κ ordinatae ad axem EG,ΚR. Ee quoniam ordinatq istae rectos cum axe angulos constituunt . metientur eae distantias diame-
erorum EF, ΚL ab ipso axe AB. Unde eo res
322쪽
ELEMENTA. in redit, ut ostendamus, excessus . quibus para. metti diametrorum Eld , Κ I superant para- metrii in axis AD, esse inter se , vuluti sunt quadrata ordinatarum EG , Κ R. Id vero ostendemus in hunc modum. ET-
cessus, quo EH superat AD , est quadruplum abscissae AG. Pariterque excessus , quo RI superat AD, est quadruplum abscissae AR. Qua
re excessus, quibus parametri diametrorum EH, ΚI superant parametrum axis AD , erunt ut abscissae AG, AR, atque adeo , ob parabolae naturam, ut quadrata ordinatarum EG, Κ R. I. Caeterum ex eo , quod parameter cujusque diametri superet parametrum axis per quadruplum ejus abscissae, quam aufert ex axe ordinata ad eum ducta ex vertico diametri, facile erit, datis axe parabola, o parametro ejus, invenire diametrum , qua habeat parametrum
Sit enim AB axis parabolae, A AD para
meter ejus . Et quoniam parameter axis est omnium minima; utique parameter data maior
esse debet ipsa A D. Capiatur itaque excessus, quo data parameter superat AD, & quadranti eius aequalis constituatur abscissa AG. Erigatur porro ex puncto G perpendicularis GE, Parabolae occurrens in E . Et, ducta per pun
ctum E recta ER, ipsi AB parallela , erit ista
Esto namque EH parameter ipsius EF. Jamque, ex superius ostensis , parameter illa EH superabit parametrum axis AD per quadruplum abscissae AG Scit , ex construis ditione , per hoc idem quadruplum parameter
323쪽
e SECTIONUM CONICA Ruia data superat eandem AD . Quare erit Eld aeis qualis datae parametro et S propterca erit EF
quaesita diameter. vII. VII. Si loco axis, S suae parametri detur diameter quaevis alia cum parametro ejus, par- eie, , per ea , quae superitis ostensa sunt, etiam licebit invenire diametrum alterum . quae habeat ,---ju- poramctrum datam. Sed hic duo sunt casus ... t in distingtiendi. vel enim data parameter est major ea , quae resertur ad diamet tum datam;
Fio.6v. vel vicissi in minor. In priore casu solvetur problema in hune modum. Sit EF diameter data . & EH parameter ejus . Capiatur excessus, quo data parameter superat Eld ; S quadranti eius teis qualis constituatur portio EQ. Erigatur deinde ex puncto QIerpendicularis Q Κ, parabolae occurrens in Κ . Et, ducta per punctum Trecta R L, ipsi EF parallela, erit ista diameter quaesita. Esto enim XI parameter ipsus EL. Jamque,ex superius ostensis, parameter ista RI superabit parametrum Eld per quadruplum po tionis EQ.Sed ,ex constructione, per hoc idem quadruplum parameter data superat eandem EH. Quare erit XI aequalis datae parametro: Sepropterea erit XL quaesita diameter. In secundo autem casu solutio problematis fiet hoc pacto . Sit XL diameter data, ct XI parameter eius. Capiatur excessus, quia XI superat datam parametrum & quadrantirius aequalis constituatur recta XP , ipsi R Lin directum existens. Erigatur deinde ex Puncto P perpendicularis PE , parabolae occurrens Disiij. by Cooste
324쪽
RLEMENTA. gorrens in E. Et, ducta per punctum E recta ER, ipsi XL parallela , erit ista diameter optata. Sit namque Eld parameter ipsius E R. Jamque, ex superius ostensis , ducta RQ, ipsi EF perpendiculari, parameter XI superabit
parametrum EF per quadruplum portionis EQ, sive RP. Sed, ex constructione, per Idem hoc quadruplum eadem Ni superat parametrum datam . Quare erit Eld aequalis datae Para metro : Se propterea quaesita diameter
Patet autem, problema esse semper solutionis capax in primo casu , sed non item in secundo ; quia fieri potest , ut perpendicularis P E minime occurrat parabolae r quod quidem quum contingit, nulla erit diameter, cui data parameter competit . Nec id mirum esse debet , quandoquidem, si parameter data minor sit ea, quae refertur ad axem, omnino necesse est , ut problema sit solutu impossibile. VIII. Non dissimili artificio , data para- vlis. metro unius diametri, inveniri poterit parata P Qq
EF . XL duae quaevis parabolae d ametri . Et,
data parametro unius diametri ES , quae sit .u H, i a EH , oporteat, invenire parametrum alterius
diametri XL. Fio.6'. Ex vertice Κ alterius diametri demittatur super EF perpendicularis Κ . Jamque duo contingere possunt. Primo nempe , ut punctum Q cadat infra verticem E. Et secun do, ut idem punctum Q cadat supra verticem E. In priore casu parameter diametri XL ma lor erit parametro diametri EF . In secundo Tom. I. V ve-
325쪽
Fio. o goc SECTIONUM CONICA Ru M vero casu erit per contrarium minor. In utroque autem casu disserentia parametrorum est semper quadruplum portionis EQ. Viide, siquidem contingat, ut punctum Q cadat infra verticem E , invenietur parameter diametri XL, addendo qu druplum ejus portionis ad Eri , quae est parameter ipsius EF Quod si vero accidat , ut punctum in cadat supra verticem E , habebitur quaesita para meis ter . subducendo ex Eld quadruplum ducdem illius portioniS. Fieri quoque potest , ut perpendicularis , quae demittitur super EF ex vertice alterius diametri X , cadat in ipsum verticem E. Et in isto casu, evanescente portione EQ, utraque constructio nobis ostendet, eandem EH esse etiam parametrum diametri XL. Quod quidem mirum esse non debet quia, quum id contingit, hinae diametri EF , XL reperiuntur aequaliter hinc inde ab axe diis
IX. Possumus quoque, data parametro unius diametri. reperire parametrum alterius diametri , eodem illo artificio , quo superius usi sumus , ad idem problema solvendum in
hyperbola , ct ellipsi, Sint enim AB, EF duae
quaevis parabolae diametri. Et, data parametro unius diametri AB, oporteat, invenire diametrum alterius EF.
Sit AD parameter diametri AB , quae eum ipsa AB ponatur in directum . Tum . Ω- in AD bifariam in puncto M,describatur per tria puncta A , E , M circulus AEM, occurrens ipsi EF productae in puncto N . Exten- i
326쪽
datur porro EN usque ad punctum Hi ita, ut sit EH dupla ipsius EN . Et erit Eri parame inter diametri EF. Demittatur si quidem super AB perpendicularis EG . Jamque , per superius ostensa,
differentia parametrorum , quae referuntur ad diametros AB, EF, est quadruplum portionisAG. Unde eo res redit , ut ostendamus rectas
AD, EH differre a se mutuo per quadruplum ipsius A G. Id vero facili negotio ostendemus. Nam, demisso ex puncto N super eadem AB perinpendiculo alio NO,erunt duae AG MO tquales inter se et proindeque differcntia rectarum AM , EN erit duplum portionis AG. Sed ex constructione AD est dupla ipsius AM , &EH dupla ipsius EN. Itaque differentia rectarum AD , EH erit quadruplum ejusdem AG.
X. Reliquum jam est, ut breviter ostendamus quaecumque pertinent ad angulos, quos parabolae diametti cum ordinatis suis const ituunt. Hune in finem, praemittendum est prius sequens theorema , quod si AB , EF sint duae quaevis parabolae diametri, super quibus
ex alternis earum verticibus ducantur ordinatae EG , AO ; ordinatae istae sint in subduplicata suarum parametrorum ratione.
Sit enim A D parameter diametti AB. ScEH parameter diametri ER . Etit igitur , ob parabolae naturam, EG quadratum aequale rectangulo DAG , Sc AD quadratum aequale rectangulo HEO . Quare erit . ut EG quadratum ad AO quadratum , ita rectangulum
327쪽
go SECTIONUM CONICARUM Et quoniam ex superitis ostensis, ordiis natae EG , AO abscindunt ex diametris AB, EF portiones aequales ; et it abscissa AG aeisqtialis abscissae EO. Unde, quemadmodum rectangulium DAG est ad tectangulum HEO. ut AD ad EH , ita in hae eadem ratione erit pariter EG quadratum ad Ao quadratum : ct propterea ipsae ordinatae EG, AO erunt in subduplicata ratione paramet eorum AD , EH.
XI. Hinc vero prono alveo fluunt quae- a. Cumque obtinent circa angulos , quos parab*Σ.- r ia diametri cum ordinatis fuit consultiunt.
-nrI cum Nimirum consequitur primo . sinum an-
.... gura i quem di ameri r qnae vir constituit eum
FIG.6'. ordinatii fuis . esse ad rassium in subduplicata
ratione eius, quam habet parameter axis ad pura metrum ejus diametri.
Posito enim , quod AB sit axis parabolae, & EF diameter quae vis. si ducatur ad hanc diametrum ordinata AO, A ex puncto O demittatur ad axem perpendicularis OL ; erit, ut sinus anguli BAO ad radium . ita OL ad AO, si ve etiam ita EG ad AO . Sed EG ad Ao est in subduplicata ratione parametrorum AD , EH . Qua te in hac eadem subduplicata ratione erit etiam linus anguli BAO ad
Consequitur secundo , sinus avstlornm. quos duae quavit diamet, i consituunt eum ordiuatis fuit . me in feshduplicata ratisne reciproco fuartim parametrorum. Iam enim ostensum est, quod sinus an, guli , quem constituit diameter aliqua cum suis Oidiliatis, sit ad radium in subduplicata re-
328쪽
tione ejus , quam habet parameter axis ad parametrum ejus diametri. Quare, ex aequo pei turbando, sinus anguli, quem constituit di meter una eum suis ordinatis , erit ad sinum anguli , quem essicit diameter altera cum oris dinatis suis, in subduplicata ratione eius, quam habet parameter istius ad parametrum
illius a Consequitur demum , angulum ac tum, quem eo astituit diameter cum ordireatis suis, eo minorem evadere , quo magis ipsa diameter ab axe recedit. Nam, ex superius ostensis , parameter diametri eo maior evadit, quo magis ipsa diameter ab axe removetur . Sed ei parametro est reciproce proportionale quadratum sinus, quem eadem diameter cum suis ordinatia constituit. Quare per contrarium, tam sinus, quam ipse angulus acutus , ad quem sinus r fertur , nece ste est, ut eo minor fiat, quo magis diameter recedit ab axe.
329쪽
LIBRORUM, ET CAPITUM, Quae in hoc Primo Tomo
CAP.I. Sua ratione oriatur eouar, O quot modis plaxo ferari potest. sCAP.II. Suae curva sectiosum conicaram somiue veniant, ct quae sit ea
rum origo. i CAP.III. De diametro fectionum conicarum, deque dat verticibus, ordinatis,
ct abscissit. 22 CAP.IU. aevae fit natura ellipsis relate ad
diametram desinitar. SoCAP.U. Suid hyperbolae relate ad diameistrum accidat. ostenditur. 3 vCAP.VI. Qua sit parabolae relate ad diametrum natura aperitur. 8LL
330쪽
De Sectionum Conicarum in Plano Descriptione.
CAP .I. Mia ratione ellipsis in plano per e num describi possit, enditur. set CAP.II. Ratio describendi Operbolam is plano per cosum explicatur. et i CAP.III. Parabolam in plano per conum dein scribendi rasio aperitur. 83 CAP.IV. aerea ratione ellipsis in plano pers Ias rectas describi possit , demonstratur. s6 CAP.U. Ratio deseribendi hyperbola in plano per reuas Alas explicatur. IOICAP.VI. Quo pacto describi possit parabola is
plano per rectas ostenditur . ii S
De Conicarum Sectionum Diametris aliis.
CAP.I. Ellipsis omnes alia diametri deS
CAP.II. Diametrorum ellipsis communia quaedam menduWtur. I 3 sCAP.III. Hyperbola omnel alia diametri deis termisantur, i sa