장음표시 사용
301쪽
aga SECTIO NuM EONI EA Ru Mel ad ejus diagonalem ; ita in hac eadem ratIoiane erit quoque B M ad BNi ct propterea BM quadratum aequale erit dimidio quadrati,quod sit ex BN . Hinc , quotiescumque BC non minor est , quam BM , nec etiam BC quadratum minus erit dimidio quadrati, quod fit ex BI. Quotiescumque veto BC minor est , quam BM;erit itidem BC quadratum minus dimidio quadrati, quod fit ex BI.
Solvuntur problemata quaedam ebea b perbolae diametror, , parametron
I. I. omparatis inter se mutuo . tam diametris, quam parametris hy- et perbolae , sequitur modo, ut problemata quaeisdam resolvamus , quae circa eas institui pota '' sunt. Primum itaque problema hoc erit: G-Fio.6o. tis axibur perbolae , onvenire duas diametrorcphurator . qua datam habeant rationem istarer P . Quem in finem reserat in triangulo rectangulo ABC hypothenusa AC axem mi in rem , Sc latus BC axem minorem. Per ea , quae superius ostensa sunt . iam eo res redit, ut producta BC versus X , inis veniatur in CX tale quidem punctum E , ut AE ad BE sit in data illa ratione . Itaque,
quia ducta CS , ipsi AE parallela . AE est ad BE. ut CS ad BC serit CS ad BC sunssilee
302쪽
ELEMENTA. ars in illa data ratione. Unde solvetur propositum problema, applicando intra angulum ABC r ctam CS , quae ad axem minorem BC datam habeat rationem I & ducendo per punctum Atectam AE , ipsi CS parallelam.
Patet autem , in solutione propositi pr hiematis illud a nobis assumptum esse . ut ratio data sit majoris ad minus . Unde , si fuerit minoris ad maius , necesse est , ut ea invertatur . Sed liquet etiam , rationem datam minois rem esse debere ea . quam habet axis major ad axem minorem ; quia aliter punctum E reperiretur in ipso axe minore BC , atque adeo
problema impossibile foret. II. Secundum problema ita se habet: Dis Imtis axibus hiperbolae , invenire duat diametroteonireatas , qua datum rectavatam conti bisse nuneant. Maneant omnia , ut iupra , di proau--- - -
CB versus T. sit AB T lectangulum datum, quod quidem maius esse debet rectangulo ACB . Socetur AB bifariam in S . Et juncta ST . extendatur AB versus v . ita ut SU ipsi rST sit aequalis . Describatur deinde super A Usemicirculus AEU i Sc erunt AE . BE diameis eri quaesitae. Quum enim duae ST , SV inter se sine aequales 3 erit quoque ST quadratum aequale quadrato , quod fit ex SU . Sed ST quadristum est aequale duobus quadratis BS . BT S SV quadratum est aequale rectangulo AVB una cum BS quadrato . Itaque erunt quadrata duo BS . BT aequalia rectangulo Avs una cum m quadrato: ct propterea , dempto communi quadrato ex BS. super erit.
303쪽
x s Et TIONUM CONICA Ru MBT quadratum aequale rectangulo AUB. Et quoniam , juncta vE . rectangulum AVB aequale est v E quadrato I erit etiam B T quadratum aequale vE quadrato. Unde, quum duae BT, UE inter se sint aequales , erit rectangulum ABT aequale rectangulo ex AB in v E . Sed rectangulum ex AB in V Eest aequale rectangulo AEB ; quum AB sit ad AE. ut est BE ad VE. Quare rectangulum AEB erit aequale rectangulo AB Pi& propterea duae AE , BE erunt quaesitae diametri III. Tertium problema in hunc modum concipitur i datis axibus Operhoia , invenire duas diametros conjugatar, qua datam summam eonficiant. Iisdem , ut supra, manentibus , ca
piatur recta data super B , & sit BZ. quam
ex superius ostensis majorem esse oportet sum
ma duorum axium AC . BC . Jungatur deinde AZ, cui perpendicularis erigatur Ari ipsi BZ occurrens in T. Secetur postea TZ bifariam in E; 2 itincta AE , exhibebunt duae AE , BE quaesitas diametros. Quum enim angulus ZAT sit rectus, si micirculus descriptus super TZ, velut diametro , transibit per punctum A . Sed centrum hujus semicirculi est punctum E i ut quod ex construictione dividit hi fariam diametrum ejus TZ. Quare duae AE . EZ aequales erunt inter se : proindeque , quia apposita communi BE, fiunt duae AE, BE aequales toti BZ, erunt e dem AE , BE optatae diametri. IV. Quartum problema hujusmodi erit: datis axibus lyperbo .invenire duar diametros
conjugatas, quarum disserentia sit data . uua
304쪽
ELEMENTA. atrautem solutio est fere eadem cum praecedente. em mmae
Capiatur enim differentia data super CB pto. sic ducta , Sc sit BT, quam , per superius ostensa, minorem esse oportet disserentia axium AC, Fio.5 . BC . Jungatur deinde AT , cui perpendicularis erigatur AZ,ipsi BT occurrens in Z.Seceis tur postea TZ bifariam in E . Et juncta AE . fient A E , BE diametri quaesitae. Nam similiter, quum angulus ZAT sierectus . semicirculus, qui describitur super TZ, velut diametro, transibit per punctum A. Sed centrum hujus semicirculi est punctum E : quippe quod dividit ex constructione hiis fariam diametrum ejus TZ . Quare duae AE. TE aequales erunt intur se et ' proptereas quemadmodum BTest differentia duarum TE, BE ; ita erit eadem BT disserentia duarum
V. Quintum problema ita proponetur ab T datis axibus hyperbolae,inoenire duas diametror conjugatas, quarum quadrata datam summam consitaant. Ejus autem resolutio nullam di ficultatem involvit . Quum enim differentia eorundem quadratorum aequalis esse debeat . - -- differentiae , quae est inter quadrata axium; utique data erit, tam summa , quam digerentia eorum quadratorum.
Hinc , siquidem ad dimidium summae adis datur dimidium differentiae, habebitur quadratum diametri majoris . Quod si autem ex dimidio summae auferatur dimidium differentiae , orietur quadratum diametri minoris. Quare diametrorum quadrata data etiam erunt
Horsim a ct consequenter dabuntur quoque
305쪽
, c SECTIONUM CONICA Ru MIpsae diametri, quas oportet invenire. Sicuti autem , quum quaeruntur binae diametri conjugatae, quarum summa sit data, necesse est , ut data ista summa sit maior summa axium I ita quoque , quum invenire oportet hinas conjugatas diametros , quarum quadrata datam summam constituant, illud quidem requiritur , ut istiusmodi data summa sit major summa quadratorum , quae fiunt ex
axibus. am n. i. Dinia VI. Sextum problema hunc in modum A: a esse remus : datis axibus hyper/ota , invinire
ais., a--- duat diametrsi conjugatas , quae datum ore istam eontineant. Sed facile erit, problema istud.-d T ad secundum revocare, in quo datis axibus - h3perbolae, quaeruntur binae diametri conjugatae . quae datum rectangulum comprehen
Nam semper ac datus est angulus , quem quaesitae diametri continent; data erit ratio, quam habet ejus sinus ad radium. Sed ratio ista est aequalis ei, quam habet rectangulum sub axibus ad id, quod sub ipsis diametris continetur . Quare etiam haec alia ratio data erit: ct propterea , quum datum sit rectangulum sub axibus, dabitur quoque rectangulum, quod continent quaesitae diametri. ni. VII. In septimo problemate illud porro, et, uti quaeremus,qua ratione. datis axibas hyperbola,
Divea re Iah intenire liceat diametrum,qua datam parame-T .h,T, trum habeat. Huius autem Problematis, perinde ac eorum omnium , quae sequuntur, duo Fio.6 s. erunt casus , Nam diameter, quam quaerimus, vel invenienda est inter eaS , quae terminanis
306쪽
ELEMENTA. alvetur ad hyperbolas axis majoris; vel etiam in ter illas , quae suos terminos habent in hyperis bolis axis minoriS ,
In priore casu erigatur super AB perpendicularis BQ , quae dimidium datae parametri adaeque e . Tum, juncta AQ , describatur cenis ero Q, intervalloque QB circuli circumsere tia, cum qua ipsa Ad conveniat in punctis T , & V . Denique in angulo ABC applicetur recta AE , aequalis ipsi AV . Et erit AEdiameter quaesita. Demifici enim super AE perpendiculo BΚ, erit eidem AB quadrato aequale , tam re ctangulum EAR , quam rectangulum TAu, Quare duo ista iectangula EAT, TAY aequalia erunt inter se a & propterea , quemadmmodum sunt aequales duae AE , AU . ita aequales erunt pariter, tam duae AR,AT, quam duae ER , TU . Sed TV , velut dupla ipsius BQ , datam parametrum adaequat. Et igitur eidem parametro aequalis quoque erit ipsa ER , quae est parameter diametri AE . In secundo veto casu applicetur in angulo ABQ recta Ad, quae semissem adaequet datae parametri. Fiat deinde QE aequalis ipsi A . Et erat BE quaesita diameter . Nam , si centro Q. intervalloque QE semicirculus describatur . ipsi BL occurrens ad partem alteram in L i ob angulum rectum EAL , erit EL parameter ipsius BE ; adeoque, quum EL
sit dupla ipsius QE , sive AQ, et it EL datae
Paxametro aequalis. vlli. Ad octavum problema quod atti um. Det, quaeremus in eo, qua ratione, datis axibus in
307쪽
Fio.6 1 SECTIO NuM CONICA Ru Mhyperbolae, inveniri possit diameter, quae ad parametrum suam datam habeat rationem .Et ubi quidem data ratio est malo tis ad minus , diameter, quam quaerimus , invenienda est inter eas. quae terminantur ad hyperbolas axis maioris . Quotiescumque vero est minoris ad majus, comperienda inter illas, quae suos terminos habent in hyperbolis axis minoris. In priore casu extendatur Ad usque in
vi ita, ut A U ad BU sit in data ratione . De scribatur deinde super Av semicirculus AEU. Et erit AE diameter quaesita. Nam, demisso super AE perpendiculo BΚ , fiet EΚparameter ipsius AE . Sed AE est ad EΚ, ut AU ad BU . Itaque diameter AE ad parameistrum suam EΚ erit in data ratione. In secundo casu extendatur quoque AEusque in v , sed ita tamen , ut B v ad A U sit in data ratione. Postea describatur similiter super AU semicliculus AEU. Et erit BE diameter optata. Nam, erecto super A E perpendiculo AL , fiet EL parameter ipsius BE. Sed BE est ad EL . ut BV ad A v . Itaque diametet BE ad parametrum suam EL erit in data
Idem problema potest etiam ad primum
revocari. Nam, semper ac data est ratio, quam quaesita diameter habere debet ad suam para- metrum , utique data erit pariter ratio , quam eadem quaesita diameter habebit ad suam conis
iugatami quippe quae illius est duplicata. Unde vicissim primum problema ad octavum istud poterit reducit quaerendo nempe diametrum . quae ad suam Parametrum habeat ratio
308쪽
E T E M E N T A. asynem subduplicatam ejus , quae inter utramque
IX. Nonum problema eo se vertet . ut Ix. datis axibus Operbolae , indeniatur diameter s .. . , ... qua,vel constituat datam fummam cum Aea pa- M . invenis rametro . vel disserat ab ea per datam dis ren- 2-tiam. Et quantum ad priorem partem , solve. tur problema in eum . qui sequitur , modum. Sit primo dimameter invenienda ex eata rerum numero , quae parametris suis su ni majores . Extendatur CB versus M, ut fiat B M ae TI
qualis ipsi AB. Tum , iuncta AM , erigatur Fio e
super ea perpendicularis MN aequalis dimidio datae summae . Describatur deinde centro N. intervalloque NM circuli circumferentia MOR , conveniens cuin AN in punctis O, &R . Jamque, si in angulo ABC applicetur re
cta AE . aequalis dimidio ipsius AO ; fiet AEdiameter quaesita. Demittatur enim super AE perpendicularis BΚ eritque , tam rectangulum DARaequale quisdrato ex AM , quam rectangulum EAR aequale quadrato ex AB. Sed , ex constructione , AM quadratum duplum est quadrati ex AB . Quare etiam rectangulum OAR duplum erit tectanguli EAR: proindeque , secta Ao bifariam in s . fiet rectanguis Iu in SAR aequale rectannulo EAN atque adeo , ob aequales A E , AS , erunt etiam ae quales . tam duae AΚ , AR , quam duae ER, RS . Unde . additis aequalibus AE , OS ; erit summa duarum AE,EΚ aequalis toti OR, quae dupla est ipsius MN. Sit deinde diameter invenienda ex nu Am.I. T meis
309쪽
x die SECTIO Nuu CONICA Ru Mmero illarum, quae vieissim sunt minores su sparametris . Extendatur quoque CB versus
M . ut fiat B M aeq talis ipsi AB. Tum, juncta AM, siat adhue angulus tectus AMN , in
quo tamen applicetur recta AN , aequalis dimidio datae summae . Describatur pariter ce tro N , intervalloque NM circuli circumferentia MOR, conveniens cum A N in punctis
O , S R. Jamque, si ex B X abscindatur portio BE , aequalis dimidio ipsius AO , fiet BE
Erigatur enim super AE perpendicularisAL ; eritque , tam rectangulum O AR aequale quadrato ex AM . quam rectangulum EB L aequale quadrato ex AB . Sed , ex construet one . AM quadratum duplum est quam drati ex AB. Qua te etiam rectangulum OAR duplum erit rerunguli EBL: proindeque. s AO b fariam in S . fiet te E angulum SAR aequale rectangulo E BL I atque adeo , ob aequales BE , AS , erunt etiam aequales duae BL , AR . Unde summa duarum BE , EL aequalis erit summae duarum AD, AR, quae dupla est ipsius AN.
Quantum ad secundam partem , nullo negotio solvetur problema. Nam, si diameter invenienda sit inter eas , quae parametris
suis sunt majores s satis erit , in semicirculo, descripto super AB velut diametro . applicare rectam AR, quae sit aequalis datae disserenistiae; quandoquidem ista, productu usque ad E, dabit diametrum quaesitam . Quod si vero
diameter comperienda sit Inter eas , quae minores su ut suis ParametriS ; tunc extendatur
310쪽
CB usque in L . ut sit B L aequat s different aedatae. Et, erecta super A L perpendiculari AE,
si et BE diameter optata. X. Decimum problema illud ostendet, graratione , datis axibus hvperbolae , indenire li. ceat diametrum , cessi parameter cum disii rentia laterum figura datum rectangulum contineat. Jamque , si diameter invenienda debet Esse ex numero earum , quae suis parametris
sunt majores , solvetur problema, si descripto super AB , velut diametro semicirculo ARB. applicetur in eo recta BΚ , cujus quadratum datum rectangulum adaeque t. Nam, juncta AΚ fiet, A E diameter quaesita. Quum enim diametri AE parameter quidem sit ER . differentia vero laterum figurae si AR ; erit ARE rectangulum . quod fit ex Para metro ejus in differentiam laterum suae figurae. Sed rectangulum AΚE est aequale qua
drato ipsius BR . Quare , sicuti BΚ quadra
tum , ex constructione , datum reetangulum adaequat ; ita quoque eidem dato rectangulo aequale erit rectangulum AΚE. Quod si veto diameter invenienda de-heat esse ex numero illarum, quae minores
sunt suis parametris, solvetur problema , fi pro lueta CB versus L , applicetur in angulo AB L tecta AL talis longitudinis , ut ejus quadratum sit aequale dato rectangulo. Nam, si deinde super A L perpendicularis erigaturA E , ipsi BC occurrens in E ; fiet BE diameis
Quum enim diametri BE parameter quiadem sit EL , differentia vero laterum figurae