장음표시 사용
311쪽
1', SECTIONUM CONICA Rurist BL 3 erit ELB rectangulum , quod fit eπparametro ejus in disserentiam laterum suae figurae . Sed rectangulum EL B est aequale quadrato ipsius A L . Quare , sicuti A L quadratum , ex constructione , datum rectanguintum adaequat , ita quoque eidem dato recta uingulo aequale erit rectangulum ELB. Hoc idem problema poterat cliam ad praecedens revocari. Quum enim datum sit rectangulum , quod fit ex parametro in diseferentiam laterum figurae ; S rectangulum ex diametro in eandem illam di fierentiam sinii litet sit datum et dabitur quoquc disserentia horum rectangulorum , hoc est quadratum ex disterentia laterum figurae I S consequenter ipsa late tum differentia etiam data erit. Unde eo res redit, ut quaeramus diametrum, quae differat v sua parametro per datam diffe
xl. XI. In undecimo problemate ostendemus quo pacto . datis axibus Dperbolae, intieniri -- ire /M- possit diameter , cujur quadratum disserat a quadrato parametri per datam diserentiam. - Atque hic quoque duo sunt casus distin-pa, me ,3 guendi. Nam quaesita diameter, vel invenienda est inter eas , quae parametris suis sunt majores , vel etiam inter illas , quae vicissim sunt minores suis parametris. FIO. 66. Quantum ad priorem catum solvetur problema in hunc modum. Extendatur CB
versus M , ut fiat B M aequalis ipsi AB . Tum iuncta AM , describatur super ea , velut diametro, semicirculus AN M , in quo applicetur recta MN talis longitudinis . ut quadratum
312쪽
eius datam disserentiam adaequet. Iungatur deinde AN . Jamque , si in semicirculo ARBapplicemus rectam AR , aequalem Ipsi AN serit AE diameter quaesita. uum enim AΚ sit aequalis ipsi AN, erunt quadrata duo AR , MN aequalia quadrato ex AM . Sed quadratum ex AM, velut duplum quadrati, quod fit ex AB, est aequale duplo rectanguli EAR . Quare quadrata duo AΚ , MN duplo rectanguli EA N pariter ae
qualia erunt i ct consequenter, apposito comis muni quadrato ex EΚ , erunt tria quadrata
AΚ, MN,ER aequalia duplo rectanguli EANuna cum EΚ quadrato. Jam duplum rectanguli EAT una cum EΚ quadrato est aequale duobus quadratis AR, AE . Quare erunt tria quadrata AR, MN, EΚ aequalia duobus quadratis AR, AE; adeoque, dempto communi quadrato ex AΚ, remanebunt quadrata duo MN , ER aequalia quadrato ex AE . Unde quadratum diametri AE superabit quadratum suae parametri in per MN quadratum, quod ex constructione datam differentiam adaequat. Quantum ad secundum casum , solutio problematis fiet hoc pacto . Extendatur rursus CB versus M, ut fiat B M aequalis ipsi AB. Tum, juncta AM, erigatur super ea perpendicularis MN . Et in angulo AMN applicetur recta AN talis longitudinis, ut quadratum ejus datam differentiam adaeque t. Fiat postea BL aequalis ipsi MN. Et,erecta super AL perispendiculari AE , erit BE diameter quaesita.
Quum enim AM quadratum sit aequale
313쪽
as SECTIONUM CONICA Ru Mduplo quadrati ex AD , sive etiam duplo re. Sanguli E BL : apposito communi quadrato ex MN, sive EL ; erit AN quadratum aequale duplo rectanguli E BL una cum B L quadrator' propterea , addito rursuS communi quadrato ex BE, et unt duo quadrata AN , BE aequalia duplo rectanguli E BL una cum duobus quadratis B L . BE . Et quoniam duplum rectanguli EB Luna cum duobus quadrtitis BL , BE est aequa.le quadiato , quod fit ex EL ; erit E L quadratum aequale duobus quadratis AN . BE. Unde quadratum diametri BE superabitura quadrato suae parametri EL per AN quadratum , quod ex constructione datam disse tenotiam adaequat.
XII. in ultimo problemate docebimus quomodo,datis axibus hyperbolae,inveniri possidiameter talis, ut data sit summa quadratorum, quae sunt ex lateribus fuae figurae . Ac primo quidem, si diameter invenienda debeat
esse ex earum numero, quae parametris suis sunt majores . solvetur problema in eum, qui sequitur, modum.
Extendatur AB usque in Y, ita ut duis plum rectanguli ABY datam illam summam exhibeat. Tum secetur Ar ita quidem in puncto U , ut AB quadratum fit aequale duplo rectanguli AvY . Describatur postea suis per AU . velut diametro, seiiiicirculus AEU. Et recta AE exhibebit diametrum quaesitam. Nam , demissa super AE perpendiculati BΚ, erit summa quadratoium AE,EΚ adlammam quadratorum Au , Bu , ut est A E
314쪽
E L R M E N T A. a sqquadratum ad Av quadratum I sive etiam, ut est AB ad A vi sive demum , ut est rectangulum ABY ad tectangulum ex A v in B T. Sed summa quadratorum A v. BV est aequalis duis plo tectanguli ex Av in BY 3 quum rectangulum istud sit aequale rectangulo A v B utincum rectantulo Aux , quod ex constructione aequale est dimidio quadrati ex AB. Quare etiam summa quadratorum AE , EΚ aeq talia erit duplo rectanguli AB T. Quod si veto diameter invenienda deis
heat esse ex numero illarum . quae minores
sunt suis parametris , solvetur problema hac ratione. Extendatur quoque Ad usque in Y, sed ita tamen , ut duplum redianguli BAT exhibeat datam summam . Tum secetur Brita quidem in puncto v , ut AB quadratum sit aequale duplo rectanguli Bu Y . Describatur postea super AU , velut diametro , semita circulus AE U . Et recta BE exhibebit quaeis
Nam,creeto super AE perpendiculo A L. etit summa quadratorum BE, EL ad summam quadratorum B v, A v, ut est BE quadratum ad Bu quadratum; sive etiam . ut est AB ad BU sive demum , ut est remngulum BAT ad rectangulum ex BU in AT. Sed summa quadratorum BV. AU est aequalis duplo rectanguli ex BU in Ar; quum rectangulum istud sit aequale tectangulo Bu A una cum reis ei angulo B UY, quod ex constructione aequa te est dimidio quadrati ex AB. Quare etiam summa quadratorum BE, EL aequalis erit d
315쪽
. 236 SECTIONUM CONICA Ruia xi t. XIII. Caeterum, quae requirantur, ut sinis gula problemata resolvi possint, abunde
Misenire hi nos docent, tum ea , quae superitis ostensa sunt, tum ipsae eorum problematum allataevem euius solutiones . Unde, ne diutius in iis recensui
hae leamus . sufficiat istud indicasse , ct ad
theoriae huius complementum ostendemus modo , qua ratione . datis axibat hyperbolae,
dic iri possit relate ad eos positio eri ustiis diametri data.Nam in solutione illotum problematum apolloniana exhibetur quoque positio diametri relate ad datos axes hyperbolae.Fio.6 . Sint itaque AB , Κ L axes hyperbolae. Sit autem EF aliqua ejusdem hyperbolae di meter data , quae suos terminos haheat in ii d m illis hvperbolis, ad quas terminatur axis major AB . Jam innotescet diametri hujus politio, si demssa ad axem AB ordinata EG , nota sit longitudo portionis CG . Unde , cores redit , ut inquiramus , quo pacto ipsius CG longitudo possit dc finiri. Et time, propter hyperbolam , CA qu diatum est ad CR quadratum ut est rectangu- Ium AGB ad EG quadratum. Sed EG quadratum aequale est differentiae quadratorum CE, CG ; & rectangulum AGB aequale est differentiae quadratorum C A , CG . Itaque erit, ut CA quadratum ad CR quadratum , ita differentia quadratorum CA, CG ad differentiam quadratorum CE, CG. Hinc , quum convertendo fit, ut CA quadratum ad differentiam quadratorum C A, R. ita differentia quadratorum C A . CG ad disserentiam quadratorum CA, CE , erit, pe
316쪽
ELEMENTA. a Fmutando . ut CA quadratum ad dissetentiam quadratorum CA , CG , ita differentia quadratotum C A , CT ad disserentiam quadrat tum C A , CE . Unde . addendo antecedentes consequentibus , erit . ut CA quadratum ad CG quadratum . ita differentia quadratorum C A , CH ad differentiam quadratorum CE,CΚ
De selibantur iam super ipsis CA , CE
semicirculi AMC . ENC; & aptentur in iis rectae CM . CN , quarum utraque sit aequalis ipsi CΚ. Jamque, junctis rectis A M. EN , erit AM quadratum aequale disserentiae quadratorum C A . CR , S EN quadratum aequsile diseferentiae quadratorum CE, CR. Unde erit,ut CA quadratum ad CG quadratum, ita AM
quadratum ad EN quadratum et S propterea, quuin proportionales sint quatuor rectae
AM , EN , CA . CG ; invenietur CG, si fiat, ut A M ad EN, ita CA ad ipsam CG.
XIV. Ne aliquid hic omittamus , ostenis X lv. denius denique, qua ratione is ipsa hyperbola, data parametro unius diametri, inveniri possit
parameter cupet is alter us diametri.Sint igiatur AB, EF duae quaevis hyperbolae diametri . Et, data parametro unius diametri AB, Misa d-- oporteat, in enire parametrum alterius dia- sidmetri EF. 1 Sit AD para meter diametri AD , quae super ipsa AB capiatur. Tum, secta AD hiseis etiam in puncto M, describatur per tria puncta A . E . M circulus AEM . occurrens ipsi EF in puncto N . Abscindatur porro ex EF poditio EH. quae sit dupla ipsius LN . Et erit Eri Parameter diametri EF. Est
317쪽
adis SECTIONUM CONICARUM Est enim, propter circulum ,rectangulum
ACM aequale rectangulo ECN . Sed rectanis gulum ABD est quadruplum rectanguli ACM . & rectangulum EFH est quadruplum rectanguli ECN.Quare duo rectangula ABD, EFH etiam aequalia erunt: & propterea erit, ut diameter EF ad diametrum AB , ita BD ad FH.
Iam per ea , quae superius ostensa sunt, diametri EF , AB sunt reciproce proportiona les differentiis laterum suarum figurarum. Quare erit ex aequali, ut BD ad FH, ita disseis rentia laterum figurae diametri AB ad differentiam laterum figurae diametri EF i ct pro- Pterea , quemadmodum prior differentia est aequalis ipsi BD et ita quoque differentia posterior aequalis erit ipsi FH . Unde erit Eld parameter diametri EF.
Parametri diametrorum parabolae inter se mutuo commpararatur.
I. Iametros parabolae haud quidem
necesse est , ut inter se mutuo conferamus. Nam , quum sint infinitae Ionisgitudinis , ex mutua ipsarum comparatione nihil quidem erui potest. Conferemus autem inter se invicem parametros diametriariam.
Nam, velut finitae longitudinis, inter se mu-
318쪽
E L E M E N T A. apytuo collatae, plures nobis proprietates subis mini strabunt. Ad hanc comparationem instituendam
conducit non parum sequens theorema et nimirum , quod si AB sit axis parabolae . AD parameter ejus, AM subtensa aliqua, ex axis
vertice ducta , & MN ejusdem axis ordinatat quod, inquam , quadratum subtensae AM sit aequale rectangulo , quod fit ex abscissa AN in summam ipsarum AD , AN. Ostendetur vero theorema istud in hune modum. Quoniam MN est axis ordinata, erit angulus AN M rectus . Quare quadratum ipsius A M aequale erit duobus quadratis AN, MN. Sed, ob parabolae naturam, MN quadratum est aequale rectangulo DAN ; & AN quadratum una cum rectangulo DAN est aequale ei, quod fit ex AN in summam ipsarum AD, AN . Itaque quadratum subtensae A Merit aequale rectangulo , quod fit ex abscissa AN in eam , quae componitur ex ipsis AD, AN
II. Sit iam EF diameter parabolae , cujus ii. ordinatae parallelae sunt subtensae AM; sitque .
etiam Eri parameter ejus . Ducatur ex duc gaeo par
dem vertice E ordinata ad axem EG . Et ex meuso theoremate facile erit inferre , quod parameter diametri EH superet parametrum
axis AD per quadruplum abscissae AG. FIO.6s. Quum enim subtensa AM a diametro EF secetur hi fariam in o , erit MN dupla ipsius EG ; adeoque MN quadratum quadru- Pium quadrati, quod fit ex EG. Sed MN
319쪽
geo SECTIONUM CONICARUM AG . Quare etiam AN quadrupla erit ipsius AG : S propterea . quia ex superius ostensis duae AG , EO sunt aequales iliter se i erit e dem AN quadrupla pariter ipsius Eo.H mc , sicuti AM quadratum quadrum plum est AD quadrati , ita rectangulum exEH in AN quadruplum erit tectanguli exEH in Eoi proindique erit, ut Ara quadram tum ad AO quadratum , ita rectangulum ex
Eld in AN ad rectangulum ex EH in Eo. Sed,ob parabolae naturam, AD quadratum est aequale rectangulo ex Eld in Eo . Quare etiam AM quadratum aequale erit rectangulo ex EH in AN. Et quoniam , per ostensum theorema idem AM quadratum est aequale pariter rectangulo ex AN in summam ipsarum AD, AN ; erit rectangulum istud aeqnale ei, quod fit ex EH iii AN t proindeque Eri aequalis etit ipsis AD , AN simul sumptis . Unde parameter diametri EH superabit parametrum axis AD per AN , quae est aequalis quadru-
iri. IlI. Atque hinc modo liquet abunde ,
omnium parabolae parametrorum minimam esse parametri illam , quae refertur ad axem quam parame- - .... ter cujusvis alterius diametri superet Pata meistrum axis per quadruplum ejus abscisne quam Fio.6s. aufert-ipso axe ordinata, ad eum ducta ex vertice diametri. Patetque etiam , aliartim pura metrorum eam semper minorem me, quae refertur ad diametrum axi propinquiorem. Nam, quo magia diameter EF accedit ad axem AB , eo mim
320쪽
EL EMENTA. go Inor evadit abscissa AG, per crius quadruplum parameter diametri superat parametrum ipsius ax S . Patetque demum , aequales CF parametros earum diametrorum , eum aequaliter hine inde dipant ab axe. Nam ordinatae, quae ex ipsarum verticibus ducuntur ad axem , eandem ab ipso axe auferunt abscissam I adeoque idem est excessus . per quem cuiusque diametri parameter superat parametrum axis. vidimus autem . haec omnia obtinere etiam, generaliter quidem in ellipsi, & in hyperbola tunc tantum , quum axis est major suo conjugato . Unde , quia utraque earum curvarum vertitur in parabolam, quotiescumque centrum abit in infinitum poterit hac item ratione eorum omnium veritas ostendi. IU. In recessu itaque diametri ab axe pa- ' ierabolae augetur parameter ejus. Sed, quemadmodum nobis innotuit excessus , per quem parameter cuiusque diametri superat para meis v. trum axis; ita licebit etiam,excessum definire, M' - - - ,
per quem parameter agametris ah axe rc motio ' ..isor, mris, superat parametrum diametri, eidem axi
Maneant enim omnia , ut supra ; sitque piacEL diameter altera , remotior ab axe AB . cujus parameter lit recta RI. Ducat Ur ex veristice eius X ad axem AB ordinata RR , quae occurrat diametro EF in puncto Q. Dico, parametrum XI superare parametrum Eri per
quadruplum ipsius EQ. Nam,sicuti Eld est aequalis AD una cum quadruplo ipsius AG , ita Ri aequalis erit eiadem