장음표시 사용
291쪽
ai.-- diametror perbola reciproce proportionalet
esse disserexilis laterum Dorum figurarum .
eisnal aevim Ut enim diametri AB parameter estia Tn .. AD , ita sit EH parameter cujusvis alterius ---diametri EF . Dico, AB esse ad EF, ut est dita Fidica ferentia ipsarum EF, EH ad differentiam, quae 'es' est inter ipsas AB, A D.
ob ostensum namque theorema , disseis rentia inter quadratum alicujus diametri , &figuram ejus est eadem ubique . Quare differentia inter AB quadratum , & rectangulum DAB- aequalis erit differentiae inter EF quadratum , ct rectangulum HEF. Iam disserentia inter AB quadratum , &rectangulum D AB tantundem valet, ac rectangulum ex AB in differentiam ipsarum AB. A D. Et similiter differentia inter EF quadratum , ct rectangulum H EF perinde est , ac rectangulum ex EF in differentiam ipsarum EF , EH . Quare, quum aequalia sint inter se duo ista rectangula ; erit, ut AB affEF, ita differentia duatum EF , Eid ad differentiam duarum AB, A D. v. V. Atque hinc modo facile erit ostende-2--- re , quod ex binis diametriae . ad easdem Dise Mem perbolar termiuatis eo , quae major est, majo- et illi r em parametrum habeat.
O masorem Maneant enim omnia , ut supra . Et po-5..is . ia namus, diametrum AB minorem esse diametros / EF. Dico, parametrum AD , quae refertur id . diametrum minorem , esse etiam minorem pamrametro Eri , quae te fertur ad diametrum majorem ostenis
292쪽
ELEMENTA.' ,ri Ostensum est namque, quod diameter AB sit ad diamet tum EF , ut est differentia ipsa tum EF , Eld ad differentiam , quae est i ter ipsas AB, A D. Quare, sicuti AB minor est. quam EF ; ita & differentia duarum EF , Et minor erit differentia duarum AB , A D. Disserentia igitur inter diametrum EF,¶metrum suam Eri est minor differentia, quae est inter diametrum AB . & parametrum suam AD . Sed EF major est, quam AB . Itaque Eld multo major erit , quain A D. Id quum ita sit, perspicuum est, quod, sicuti omnium diametrorum hyperbolae miniis ma est ea , quae axis vocitatur sic omnium patametrorum illa quidem sit minima, quae refertur ad axem . Et quemadmodum omnes aliae diametri in recessu ab axe continuo augentur ; sic & parametri earundem in eodem tecessa perpetuo quoque majores evadunt. vi. Notetur autem hic sedulo velim, pr prietatem istam veram esse in iis tantummodo diametris , quae majores sunt suis parametris; quum allata demonstratio dumtaxat in eis illius veritatem evincat. Sed longe secus se res
Ubet in diametris illis, quae parametris suis sunt minores , quum in eis duo sunt casus diis stinguendi. Primus casus est , quum quadratum axis non est minus dimidio quadrati, quod fit ex suo conjugato. Et quum id contingit, miniama quidem parameter est ea , quae refertur ad axem; aliarum autem eae semper sunt minores, quae ad diametros item minores referuntur
Adeo , ut hic quoque generaliter verum erit,
293쪽
xet. SECTIONUM CONICARUM quod, crescentibus diametris, augeantur etiam parametri ipsarum. Alter casus est , quum quadratum axis minus est dimidio quadrati, quod fit ex suo conjugato . Et tunc , comperta diametro , cum ius quadratum adaequet semissem quadrati , quod fit ex ejus conjugata; erit parameteris ius diametri omnium minima , tum item aliarum eae semper minores erunt, quae referuntur ad diametros , minus ab illa distantes. m. .. l. h. VII. Neque vero dissicile erit, stri quae M/ . casus ver talem ostendere . Si enim in trian-
Tet , i gulo rectangulo ABC relatae latus BC axem . . uia. hyperbolae, & hypothenusa AC ejus conju-
atraeam. gatum Per ea . quae superius ostensa sunt,
FIO.63. exhibente BE aliam quamvis diametrum, exhibebit AE conjugatam illius. Unde , erectis super ipsis AC . AE perpendiculis AI, AL ; fiet Ct parameter axis BC , Sc EL para.
meter diametri BE. Quum enim in triangulo rectangulo CAI ex angulo recto A demissa sit ad hyp thentilam CI perpendicularis AB; erit, ut BC ad AC , ita AC ad CI. Sed parameter axis BC est tertia proportionalis post ipsum axem, & ejus coniugatum . Itaque , quum sit AC coniugatus axis BC, erit C I parameter eiusdem axis BC. Eadem ratione , quoniam in triangulo
rectangulo EA L ex angulo recto A demissa est ad hypothenulam EL perpendicularis AB; erit, ut BE ad AE , ita AE ad EL . Sed para metet diametri BE est tertia proportionalis post ipsam diametrum, Sc ejus conjugatam,
294쪽
E I. E M E N T A. Itaque , quum sit AE conjugata diametri BE.etit E L ejusdem diametri param ter . III. Quemadmodum ergo CI est para. meter axis BC . ita EL est parameter diametri ei pra/-BE . Et quoniam anguli CAI, EA L, qui cruribus suis abscindunt ex eadem Ax pot-- - tiones CI, EL. sunt aequales intee se ; iam hie ri*'- δ'
etiam sumus in eo casu, in quo angulus remeti lineus vertitur circa verticem suum , ct eu recta , positione data , cruribus suis parpetuo Portionem aliquam abscindit.
Hinc , siquidem MAN sit positio anguli recti , in qua crura ejus aequalia fiunt; erit
portio MN omnium minima; tum item alia rum eae semper minores erunt, quae ad ipsam MN magis accedunt. Unde eo res redit , ut ostendamus, BC quadratum non minus esse dimidio quadrati, quod fit ex AC , quotie cumque BC non minor est . quam BM; esse vero minus , quum per contrarium BC minor est, quam B M. Id vero liquet abunde . Nam , propter aequales A M. AN , sunt etiam aequales duae AB , Bia . Quare , quum BC non minor est, quam BM , nec etiam minor erit, quam AB: dc propterea quadratum ejus nec item minus erit dimidio quadrati, quod fid ex AC. vicissim vero , quum BC minor est, quam BM; erit BC minor quoque , quam AB r adeoque BC quadratum minus erit dimidio quadrati, quod fit ex AC. IX. Caeterum nolim hic silentio praeterire, I x.
quod sicuti, erectis super ipsis AC , A E pe Pendiculis AI, AL, fiunt CI , EL palametri
295쪽
adid SECTIONUM CONICARUMI- - - ipsarum BC , BE ; ita , dem sita super iisdems 6 AC , AE perpendiculis BH , BR , fiant poris
x '' a' tiones CH , EN palametri, quae referuntur ad
Quum enim in triangulo rectangulo
ABC ex angulo recto B demita sit ad hypothenusam AC perpendicularis BH 3 erit, ut AC ad BC, ita BC ad CH. Sed parameter axis AC est tertia proportionalis post ipsum
axem , ct ejus conjugatum . Itaque , quum sit BC conjugatus axis AC . erit CH parameter eiusdem axis A C. Simili ratione , quoniam in triangulo rectangulo ABE ex angulo recto B demissa est ad hypothenusam AE perpendicularis BΚ, erit, ut AE ad BE , ita BE ad EΚ . Sed parameter diametri AE est tertia proportionalis post ipsam diametrum . & ejus conjugatam. itaque , quum sit BE conjugata diametri AE, erit EΚ ejusdem diametri Parameter. Jam , si super AB . velut d ametro , s micirculus describatur, transibit iste per illa
eadem puncta, in quae cadunt perpendiculares BH, BΚ. Unde portio suae circumferentiae AH considerari poterit veluti locus para meistrorum , quae referuntur ad diametros AC, AE . Et inde rursus apparet, quod crescentia hus hisce diametris , augeri debeant quoque parametri ipsarum.
x. X. Ex his omnibus colligi etiam denuo et et potest veritas theorematis superius ostensi , pr- quod duce quavis Operbola diametri sint re- et ruin' eiproce proportionales disserentiis laterum fa -- --- ram figurarum. Nam facile erit ostendere, re-
296쪽
ELEMENTA. , tangulum ex diametro quavis in differentiam ' laterum suae figurae adaequare semper quadratum datae rectae AB. Sit enim primo AE dlameter . de qua agitur. Et quoniam, ex ostensis , ER est ejus parameter , erit AR differentia laterum suae
figurae. Unde eo res redit, ut ostendamus,
rectangulum ex AE in AΚ aequale esse quadrato ex AB . Quod quidem liquet abunde; quii in tres rectae AE , AB , AΚ sint in continua proportione.
Sit secundo BE diameter, de qua est quaestio. Et quoniam, per superius ostensa, ELest parameter eius; erit BL differentia late tum
suae figurae . Unde eo res redIt, ut ostendamus , rectangulum ex BE in BL aequale esse quadrato ex AB . Quod quidem ad huc liquido patet; quum tres rectae BE, AB , BL sint
in continua proportione. XI. Quamquam autem vi huius theore- ---.matis disserentia laterum figurae diametri miis denuatur , crescente diametro 3 attamen non pe- r aerarinde res est de summa eorundem lateram. Ubi Cm enim diametri majores sunt suis parametris; tunc , quia cum diametro augetur quoque parameter ejus, necesse est , ut summa laterum figurae cum eadem diametro pariter augeatur. Ubi vero diametri minores sunt parametris suis , tunc duo oportet casus distinguantur. Primus casus est, quum quadratum axis non est minus triente quadrati, quod fit ex suo conjugato. Et quum id contingit, summa laterum figurae ipsius axis erit omnium munima , ea vero . quae refertur ad diametrum.
297쪽
axi propinquiorem , minor erit illa , quae reis fertur ad diametrum, ab eodem axe remotio rem et adeo , ut hic quoque generaliter verum erit quod , crescente diametro , augeatur etiam summa laterum suae figurae.. . Alter castis est , quum quadratum axis est minus triente quadrati, quod sit ex suo conjugato. Et tunc. comperta diametro . cujus quadratum adaequet trientem quadratis quod fit ex ejus conjugata serit summa laterum figurae istius diametri omnium minima , ea vero , quae refertur ad diametrum . ipsi propinquiorem . minor erit illa , quae refertur ad diametrum , ab eadem remotiorem. D--.- - XII. Pendet autem utriusque ecat de- infimonstratio ex praeclaro iseo theoremate , quod:...., i, manentibus omnibus, ut supra, si angulus ro-D-m- , eius CAI revolvatur circa verticem suum A, 5. Itimnia uuarum BG, CI eo minor evadat, qu mages ipse angulus ad eam positionem accedit.
F c.6s. in qua quadratum cruris AC adaequat semicsem quadrati, quod fit ex crure altero AI. Sit enim MAN positio anguli recti, in qua quadratum cruris Ara est aequale dimidio quadrati, quod fit ex crure tilicro AN. Erit igitur summa duarum B M , MN omnium minima tum item aliarum summarum eae semper minores erunt, quae ad summam illam magis accedunt. Unde eo res redit . ut ostendamus, BC quadratum non minus esse triente quadrati , quod fit ex AC. quotiescumque BCDon minor est . quam Bia esse vero minus,
quum vicissim BC milior est , quam BM . Id vero facili negotio ostendemus . Est enim
298쪽
enim AM quadratum ad AN quadratum . ut B M ad B N. Unde, sicuti AM quadratum est dimidium quadrati. quod fit ex AN; ita quo
que B M semissis erit ipsius B N.Hinc, quoties eumque BC non minor est , quam B M , nec etiam BC minor erit, tum semisse ipsius BI, cum triente totius Cla adeoque . quia BG quadratum est ad AC quadratum , ut BC ad ad CI, nec item BC quadratum minus erit triente quadrati , quod fit ex AC. vicissimvero, quum BC minor est, quam B M . erit BC minor triente ipsius C, ;& BC quadratum minus quoque trientdiquadrati, quod fit ex AC. XIII. Memorabile est autem, quod locum habet is disterentia quadratorum . qua sunt a. ex figura lateribus. Ista enim in diametris,
quae sunt majores parametris suis, augetur,
crescente diametro in diametris vero , qum piis et
parametris suis sunt minores , minuitur , ubim diameter crescit et adeo , ut omnium minima est illa, quae refertur ad axem,
Capiatur etenim primo d ameter AE quae major est parametro sua EΚ . Et quoniam AE quadratum est aequale AΚ , EΚ quadratis una cum duplo rectanguli ARE , sive etiam duplo quadrati,quod fit ex BΚ erit differentia quadratorum AE , EΚ aequalis quadrato ex AΚ una cum duplo quadrati ex BR ; atque adeo aequalis duobus quadratis AB . BR. Sed
summa horum quadratorum eo maior evadit . quo magis augetur diameter AE . Quare , crescente diametro A E, augetur etiam
299쪽
alo SECTIONUM CONICARUMCapiatur secundo diameter BE , quae minor est parametro sua EL. Et quoniam EL quadratum est aequale BE, BL quadratis una cum duplo rectanguli E BL , sive etiam duplo quadrati. quod sit ex AB, erit dissetentia quadratorum BE , EL aequalis quadrato ex BL una cum duplo quadrati ex AB EF atque adeo aequalis duobus quadratis AB, A L. Sed
summa horum quadratorum eo minor evadit, quo magis augetur diameter BE . Quare , crescente diametro BE, minuitur differentia quadratorum BE , EL.
XIV. Reliquum jam est , ut , quid obtia
faemm -neat in summa quadratorum , quae sunt ex S:. gura lateribus, breviter ostendamus. Sane in Mim diametris , quae majores sunt suis parametris, Fio.6 i. ea crestu , crescente diametro . Et ratio est, quia una cum diametro augetur quoque param meter eius . In diametris autem , quae para memtris suis sunt minores, duo sunt casus disti guendi. Primus casus est , quum quadratum axis non est minus dimidio quadrati, quod fit ex disserentia laterum suae figurae . Et quum id
contingit, summa quadratorum ex lateribus figurae ipsius axis , erit omnium minima , ea vero, quae refertur ad diametrum , axi pr Pinquiorem , minor erit illa , quae refertur audiametrum , ab eodem axe remotiorem : adeo,
ut hic quoque generaliter verum erit, quod crescente diametro , augeatur quoque summa qudratorum , quae fiunt ex figurae lateribus . Alter calus est, quum quadratum axis
est minus dimidio quadrati, quod fit ex diis
300쪽
E L E M E N T A. ,3 tentia laterum suae figurae . Et tunc , comperinta diametro, cujus quadratum adaequet semitasem quadrati ex disserentia Iaterum figurae ejus 3 erit summa quadratorum ex lateribus figulae istius diametri omnium minima , ea vero . quae refertur ad diametrum , ipsi propinquiorem , minor erit illa, quae refertur ad dia
XU. Utriusque autem casui demonstratio X pendet ex hoc altero eleganti theoremate, quod manentibus omnibus , ut supra , si angulus re- e ictus CAI revolvatur circa verticem suum A, eas M. et summa quadratorum ex ipsis BC, CI eo minor evadat, quo magis ipse angulus ad eam s. ... positionem accedit, in qua quadratum cruris Fio. I S.
AC est ad quadratum alterius cruris A I in eadem illa ratione , quam habet latus cujusque quadrati ad ejus diagonalem. Sit enim MAN positio anguli recti . in qua quadratum cruris AM est ad quadratum alterius cruris AN, ut est latus cujusque quadrati ad ejus diagonalem . Erit igitur summa quadratorum ex ipsis BM, MN omnium miniis
ma tum item aliarum summarum eae semper minores erunt, quae ad summam illam magis accedunt. Unde eo res redit , ut ostendamus,
BC quadratum non minus esse dimidio quadrati , quod fit ex BI , quotiescumque BC . non minor est , quam BM esse vero minus, quum vicissim BC minor est , quam BM . Id vero nullo negotio ostendemus . Est
enim AM quadratum ad AN quadratum , ut B M ad BN . Unde, sicuti AM quadratum est ad AN quadratum, ut latus cujusque quadra