De punctis singularibus curvarum algebraicarum simplicis curvaturae disquisitio auctore P. N. Ekman

11쪽

Restat, ut ex doctrina de linearum contactu nonnulla proposita repetamus, cluae nobis in sequente disquisitione usui Crunt. Ηaec igitur pro demonstratis hahQmus . Ordo contactus definitur numero coefficientium disserentialium communium ab initio serierum, quae cursum linearum in regionibus, Puncto contactus sinitimis, designant; Si contactus sit imparis ordinis, altera linea ab eadem parte alterius ante et post contactum sita est; ad oppositas vero PartES, Si sit contactus paris ordinis, ita ut cum hoc contactu intersectio Conjuncta sit; Nulla linea cum altera contactum sυperioris ordinis habere potest, quam qui desinitur numero quantitatum constantium, ad ambitrium determinandarum, quas continet ejus aequatio, una demta, nisi tarte per peculiarem qualitatem quantitatum proxime Suh- sequens coefficiens unius seriei proxime subsequenti alterius aequalis fiat. Quae jam applicemus ad eam classem linearum, quaePOrahollam vocantur et hac aequatione generali designantur :

Ilaec aequatio pertinet ad lineam rectam, si omnes termini post rioris membri post secundum nulli sint; ad parabolam proprie sic dictam sive sollonianram, si omnes PoSt turtium; ad Parabolam cubicam, si omnes PoSt quartum ; et Sic Porro . Itaque in genere linea recta habcre non Potest cum Curva Contactum superioris ordinis quam primi; Parabola Apolloniana non superioris quam secundi ordinis; tiarabola cubica non superioris quam tertii ordinis; et sic porro, ordine lineae ordi nona contactus determinante. Sed quoniam aequatio Pro linea recta omnes coefficientes differentiales post primum nihilo aequales habet; pro Parabola Apolloniana omnes post secundum ; Pro Parabola Cubica omnes Post tertium ; et sic porro, se luitur, ut, quoties in Serie, qua cursus curvae in regionibus, puncto contactus sinitimis, den latur, vel Secundus, vel tertius, vel quartus coefficiens dis rentialis nihilo aequalis sit, contactus, quem vel recta, vel liarabola

12쪽

siat quam pro ordine lineae tangentis; et quidem eo superioris ordinis, quo Plures coefficientes continui evanescant. Ηis ergo praemissis ad ipsam disquisitionem punctorum singularium progrediamur. Omne Punctum curvae aut tale est, Per quod solus ramus transeat, aut tale, in quo Plures rami conveniant. Numerus vero horum ramorum, in uno puncto Conveniemtium , determinatur numero valorum, quos primus coefficiens disserentialis seriei (2) - obtinet, hujus puncti coordinatis substitutis Pro x et F in aequationibus (S) . (T) et sequentibus. Nam cum Sit - tangens trigonometrica anguli, quem tangens Curvae tacit Cum axe abscissarum, sequitur, ut, quot habeat et valores, tot

sint tangentes curvae in dato puncto; et cum unicus arcus in eodem Puncto plures tangentes habere nequeat, totidem etiam diversi rami curvae in hoc puncto conveniant necesse est. Fieri tamen P test , ut non omnes rami re vera exstent, quod Semper usu venit, si quidam valores imaginarii sint, et interdum, si quidam sint aequales. Quoniam vero hoc punctum, etiam si unicus tantum minus exstet, nihilominus a puncto simplici disserat, dividimus Puncta curvarum in simPlicis, duplicta, revilicis, etc., non PronUmero ramorum, re vera eXStantium, sed Pro numero valorum,

quos 2 obtinet, ita ut punctum sit simplex, si 2 unicum tantum

valorem obtineat; duplex, si duos; triplex, si tres; etc., sive hi valores inaequales sint, sive aequales; sive reales, sive imaginarii. Et

cum- , nisi fiat in aequatione (33 indeterminatus, plures valores obtinere nequeat, Sequitur ex nostra definitione, ut omnia puncta multiplicia sint singularia. Singuli vero rami praeterea aliis singularitatibus in eodem puncto affecti esse possunt. Ad plenam igitur et persectam cognitionem cujusdam puncti curvae requiritur, ii terminasse, non minuS quot uplex sit ipSum punctum, quam quaenam sit singularitas uniuscujusque ramorum, qui ibi conve-Disitipod b, Cooste

13쪽

niunt. Illud desinitur, ut nuper dictum est, numero valoruin

ipsius - , hoc Pendet a forma seriei, per quam valor incrementis Oh exprimitur, et cognoscitur, si mraus rami, qui hac serie designatur, in regionibus, quae Puncto finitimae Sunt, investigetur. Quamobrem haec disquisitio ita erit instituta, ut primum valorescis

ipsius 2 determinentur, deinde forma seriei exhiheatur, denique

singularitas, quae huic formae respondeat, ostendatur. Incrementum vero A semper tam Parvum concipimus, ut quivis terminus seriei, per quam valor incrementi is exprimitur, summam omnium sequentium Su ret.(lm Si, Pudiceti curusDAM C ADINATIS G m h Pno x ET F SUBSTITU-TIs, TERMINI AEQUATIONIS ( 5 PRO SE QUISQUE NIRILO Eou LM NON

REDDANTUR, PRIMUS COEFFICIENS DIFFERENTIALIS Q- UNICUM TANTUM

vALOREM OBTINET, ET PUNCTUM EST SIMPLEX.

niam determinatur ex aequatione sa), quae non nisi primam ejus ibotestatem continet. Ilic vero valor vel finitus, vel nihilo aequalis, vel infinite magnus esse Potrat.

sit, tangens ciarem inclinctio rat in Oxem obuiuiarum.

Duoniam tum nec denominatore, nec numerator et nihilo

aequalis est, b et Q sunt valores simplices ipsarum F et x in aequationes (x, F) m o ( M, quamobrem l et A singulos valores obtinere debent (B). Et si, substituto Pro G- valore invento, requentes

coemeientes disserentiales ex sua quisque aequatione quaerantur, invenimus re vera, eoS nec Plures valores obtinere, primo coe Ciente unum tantum sortiente, nec infinite magnos fieri, communi Disit illoc by Go le

14쪽

ilia eorum denominatore valorem finitum habente: atmie adeo seriem nec in plures dilabi, nec secundum fractas Potestates ipsius h progredi posse. Itaque erit :h m Ah - - Bh Ch DA' - - EA' - etc.,

litteris A, B, C, etc., denotantibus valores coefficientium ,

etc., suo quemque ordine Per I, i . R, I. 2.3, etc., di- 2 ilaea

visos; et punctum nihil habet singulare, nisi sit aliquis ex tormi nis , qui primum insequuntur, nihilo aequalis. Qualis vero singularitas inde oriatur, jam videbimus.(M. Si B m o, tangens habet in hoc puncto contactum secundi ordinis cum curva ( d), quae adeo ibi propius quam in aliis suis partibus ad cursum rectae lineae accedit, id quod vel ex eo apparet, quod radius Curvaturae, cujus in expressione-est denomi-

davnator, posito B m o, infinite magnus evadit. Et quoniam -- , et

qui, ob relationem inter x et F in functione primitiva IM, F) m odatam, tamquam iunctio solius x considerari potest, habet radicem ipsi a aequalem, obtinebit valores, oppositis signis assectos, Prox mo hetae ct - h, intra quos limites una radix continctur. dirSignum autem coefficientis determinat signum radii curva-

turae, et hujus diversa signa indicant diversas regiones, in quas curvatura vergit. Inflectitur itaque curva in puncto, ita ut convexitatem ab altera parte regioni ordinatarum negativarum, ab altera regioni positivarum advertat. De cetero, quoniam contactus est paris ordinis, tangentem ab altera Parte supra curvam, ali altera infra sitam esse oportet ( s). Ηoc punctum vocatur Plira tum i--MNO.(b). Si C m o, parabola Apolloniana, osculans curvam in Puncto, habet cum ea contactum tertii ordinis (IB). Itaque curva ibi propius quam in aliis suis partibus accedit ad cursum hujus Disiti od V, Cooste

15쪽

Parabolae . Sed quoniam contactus est imparis ordinis, linea osculans in eadem Parte alterius ante Ut Post Contactum sita PSt.

habet cum ea contactum quarti ordinis et intersecat eam simul, quoniam ordo contactus par est; et ita porro.

tactum tertii ordinis ( B) et in eadem ejus parte ante et post contactum sita est. Nec ulla apparet inflexio, sed curvatura in utraqued 'FParte eodem vergit, cum cujus o est radix duplex (ld), valores, eodem signo assectos; sortiatur, sive ct - - h, sive ct - APro et Substituatur. Hoc punctum vocatur Punctum dulicis inflexionis.(ε). Si et B m o et C m o et D m o, contactus tangentis cum curva est quarti ordinis, adeoque cum intersectione conjuncta. Et

quoniam habet tres radices aequales valori ct (la), obtinebit opposita signa Pro a m ct het x - Π - h, inter quos limites impar numerus radicum continetur. Curva ergo subit inflexionem in hoc puncto , quod vocatur Punctum triPlicis in xionis.(F . Si et B m o et C m o. et D m o et E m o, tangens habet cum curva contactum quinti ordinis. Ηoc punctum, ubi nec in te sectio, nec inflexio exstat, voca tur Ptinctum quo vlicis in misenis. Simili modo, quicunque et quotcunque coefficientium disse rentialium nulli sint, puncti proprietas, quae singulis casibus re pondeat, facile invenitur. Observandum tamen est, ea puncta, in quibus parabola quaedam arctiorem Contactum cum curva habeat, ob eam solam rem inter singularia vulgo non numerari. Itoque, his ominis, quoties ae tiniciam Balorem eumque Mittim obtinet, Paericlum oret nullam singularitatem hiabet, Si, laus

16쪽

α'). Si valor unielis Primi eo fientis differentialis nihilo

mqvialis sit, tangcras claram rat Parallata Oaei rabscissctrum. Quoniam tum numeratore, non vero denominatore, nihilo

aequalis est, ct est valor duplex ipsius x, b vero valor simplex ipsius y in aequatione Noe, F) m o (153, et series ita erit comparata, uti unum, A vero duo valores accipiat (s). Cui quoque conditioni satisfacit haec series, secundum integras potestates ipsius h Proc dens et primo termino carens, quam eodem modo, quo in casu Praecedente (2ol, pro expressione ipsius st invenimus :m Bh a Cl. DA EA - - etc. Quoniam in hac serie valor ipsius st sortitur idem signum, sive A positive, sive negative capiatur, punctum aut longius aut Pr Pius , quam ea puncta curvae, quae ei ab utraque Parte proxima sunt, ab axe abscissarum abest, quo Sequitur, ut ejus ordinata aut maximum, aut minimum sit, Prout coefficiens B aut negativus aut positivus est. Et cum x m G Sit radix simplex iunctionis , haec iunctio Pro x m G -het in m G - A valores, oppositis signis affectos, accipiat neeesse est. Itaque duae rectae, quae tangunt curvam , altera in Puncto, cujus abscissa est G - - h, altera in puncto, cujus abscissa est G - h, faciunt cum axe abscissarum angulos diversa natura; altera acutum , altera obtusum. Si insuper unus vel plures sequentium eoefficientium nihilo aequales sint, Punctum eam habet proprietatem, quam supra (2o singulis casibus respondere invenimus. Sic(al. Si B m o, o est valor triplex ipsius ae in aequatione

is in Cha -- Dh - - EA etc. Punctum est simplicis inflexionis, et ejus ordinata nec maximum est nec minimum, quoniam 1 obtinet contraria signa pro H-A et-h. Et quoniam cum A m o, tum B m o, ct est radix duplex iunctionis

17쪽

U - (id , quae quidem eam ob causam idem signum sortitur, sive in ea ponatur ae m ct A, Sive x N - h, unde Sequitur, ut tangentes curvae ab utraque Parte Puncti angulos ejusdem generis

cum axe abscissarum faciant; aut acutos, si valor ipsius 2 per hanc substitutionem positivus reddatur, aut obtusos, Si negativus.(h . Si et B m o et C m o, o est valor quadruplex ipsius x, Et Series fitis in DA' El. etc. Punctum est duplicis inflexionis , et ejus ordinata aut maximum aut minimum. Anguli vero tangentium ad diversas partus puncti

sunt diversa nat ira.se . Si et B m o et C m o et D m o, ct est valor quintuplexi PSius ae , et series sith in EAh -- etc. Punctum est triplicis inflexionis, et ordinata nec maximum nec minimum. Anguli vero tangentium sunt eadUm natura ab utraque parte puncti; et Sic Porro AOqtic, quori S αNictam volarem ciamque nihilo requialem obtinet, cttit solam modo Ptincti Oriliniam est nactae iam Bel minimum,ursi solus co Misens nihilo m*αGlis Sit, Giat est Punctum in xionis, si Plures coeg claritcs coratira rei crGAraciarit, ira q&O costa ordia nata simul Dictaeimi ministuc Pruri ciste gαα si quoties in extra est Pari mulam licitare, h. e. qnOllas Por Numcro coc cientium, qui Primum subScquuntur, nihilo inquialis est.

s3'.) Si Dolor unicus primi me sentis disserentiolis in nite

Duoniam tum denominator et , non vero numerator nihilo

aequalis est, b est valor duplex ipsius F, ct vero valor simplex Disitipod by Coost c

18쪽

ipsius ae in aequatione F (x, di) m o (ldi, et series ita erit comparata, ut i cluos valores, A vero unum obtineat (s . Quare, cum Praeterea, ob primum coemcientem disserentialem infinite magnum, series inde a primo termino secundum fractas Potostates inor mentili progrediatur necesse sit, commianis denominator erit et, Primus vero exponens (ri , et siet

Quam seriem solus valor Positivus ipsius A realein reddit, si omnes coefficientes reales Sint, et Solus valor negativus, si omnes coefficientes I, otestatum fractarum ipsius h imaginarii sint, sed in utrovis casu sortes duos valores induit. Seriem vero semper ita QMe comparatam, Ut aut pro hoc aut pro illo valore realis fiat, vel inde colligimus, quod , si vicissim spectemus ae ut functionem ipsius F et evolvamus valorem incrementi A Per seriem secundum adscendentes potestates ipsius st, incidimus in eundem casum , quem supra (21) tractavimus, ubi nullo modo series imaginaria fieri potest. Itaque arcu S C imae S mPEr EXStat, et Punctum aut longius aut propius ab axe ordinatarum abest, quam ea puncta curvae, quae ei ab utraque parte proxima sunt, ita ut ejus abscissa aut maximum aut minimum Sit, Prout coefficientes aut imaginarii

aut reales Sunt.

Iam, quae sit proprietas puncti, si adhuc unus vel plures coefficientium disserentialium partialium ipsius F, qui primum proxime

venire , exhibendis exanii nandisque seriebus , atque comparandis singulis casibus eum pasibus analogis, supra (2l :α, b, c) tractatis. Sic(a). Si m o, b est valor triplex ipsius di in aequatione

19쪽

unicum etiam, opposito signo assectum, Si negative. Quare pun tum est simplicis inflexionis, et ejus abscissa nec maximum nec minimum. Tangens vero habet ibi cum curva contactum secundi ordinis.

et series fith est valor quadruplex ipsius F,

et ni n

i in mi - - dili Phi-- etc., ubi st duos valores reales obtinet, is affirmative sumto, si coefficientes reales sint, at A negative sumto, si coemi cientes imaginarii sint. Est punctum duplicis inflexionis, et ejus abscissa est vel maximum vel minimum, prout coefficientes vel imaginarii vel reales Sunt. Tangens vero habet Cum curva contactum tertii ordinis. iliti d/ α ὰ α . , m o Et m o et cm o, O est valor quintuplex ipsius F, et series fit

quae unicum valorem realem obtinet, sive A positive, sive negative sumatur, quo sit, ut abscissa nec maximum sit nec minimum. Punctum vero est triplicis inflexionis , et tangens habet contactum quarti ordinis cum curva; et sic Porro . et Imqtac, quotira tinicum YGlorem climqtie in Nite mctgniam Ob- latinet, cui solummo Istincti rabscissia est moximum v l ministim,

SI , PUNCTI CUIUSDAM COORDINATIS G ET h Pno x ET J SUBSTITUTis,

20쪽

NIRILO AEQUALES REDDANTUR , PRIMUS COEFFICIENS DIFFERENTIALIS

- DUOS OBTINET UALORE S , ET PUNCTUM EST DUPLEX.

Quoniam in hoc casu - in sequatione (M evadit m atque adeo indeterminatus, ad proxime subsequentem aequationem ( progrediendum est, ut inde valor determinatus eruatur. Et cum haec

aequatio, quae ob et o o abit in

sit secundi gradus , g obtinebit thi duo valores. IIi vero valores

Cum hie tum et m o, tum V m o, b et a sunt valores dupli-

lorus, ex duobus Natoribus ipsius 2 , altero post alterum substituto, Provenientes; itidemque ex se piatione (6j pro