장음표시 사용
21쪽
lii os diversos valores, prout uni vel alteri valorum, sibi invicem
respondentium , pro g et substituuntur; et sic deinceps. ullus vero coemeiens nec plures quam duo valores obtinebit, cum omnes ex aequationibus primi gradus determinentur, nec infinite
Per factorem numeri cum multiplicata, quae quidem functio, utpote prima derivata aequationis (2d), nihilo aequalis esse nequit, ExSistentibus radicibus aequationis inaequalibus. Itaque invenimus valores ipsius h per has series expressos; Ah -- BA' -- Ch3 - - tC. i A A BUU-- CUι --etC., quarum utraque suum ii eculiarem ramum designat; et quoniam in utralibet eaedem aberrationes a formula generali, quae in Serie, ramum Simplicem determinante, inesse possunt, utervis ramorum in
puncto duplici iluavis singularitate, quam talibus aberrationibus respondere supra (2ο, 2 , 22J demonstravimus, assectuS Se P test. Sic , si A m o, quod evenit, si terminus ultimus aequatio- dnis(2 )m nihilo aequalis sit, adeoque o valor triplex, tangenSalterius rami est parallela axi abscissarum; si B m o, hic ramus habet inflexionem ; et si Am m , quod evenit, si mei ficiens primi te
mini aequationis(2η)am nihilo aequalis sit, adeoque 5 valor triplex, fit 1 m
22쪽
Si iambo volares Primi eoemeientis disserentialis - recties
Et quoniam tum nec coelii ciens primi termini - - , nec ultimus Uret
terminus in aequatione (2a nihilo aequalis est, b et ra non sunt nisi valores duplices ipsarum F et x, quare fi et is hinos tantum valores obtinere oportet. Iam vero, si valorem secundi coefficientis disserentialis ex aequatione (d) quaeramus, invenimUS Pro eo Ex- Pressionem, cujus denominator ob conditionem (2T nullus est, numerator autem vel sinitus, vel nullus esse Iiotest. Dis tigre by Cooste
23쪽
quo Sequitur, ut Series inde a secundo termino secundum fractas potestates incrementi hprogrediatur, et quidem ita, ut communis denominator sit I, Ex-Ponens vero Secundi termini inter i et di comprehendatur (ll). Itaque erit
i m Ah -- Mli Nh' -- etc. IIaec series duos valores reales induit, Sumto h positive, si Metomnes Sequentes coefficientes reales sint, sumto vero A negative, si Met omnes sequentes coefficientes terminorum, exponentibus hactis assectorum , imaginarii sint. Itaque ambo rami in hoc puncto pro eisi sunt, ita ut ab altera parte puncti exstent, ab altera nulli sint. In qua vero parte exstant, ibi habent contactum primi ordinis cum inter se, tum eum tangente, quae eos media interjacet. Tale Pun tum vocatur cα is et quidem Primm S cciei. . Sin quoque numerator nihilo sequalis sit, evadit in sequatione (φ m , et valor ejus determinatus quaerendus est ex aequatione (6 , ubi termini, qui--- et continent, dosunt,
vero ad secundam potestatem evectus adest. Iste igitur coemesens ibi duos viatores obtinebit, qui vel reales et inaequales, vel reales et aequales, vel imaginarii esse possunt. Nullus vero valor insinite data magnus fieri potest, cum adSumtum sit, lita', qui, triPlieatus, coefficiens est summae potestatis ipsius
in hac aequatione, si nitum valorem retinere. davSi ambo valores reales et inaequales sint, etiam duo valores di
reales et inaequales obtinebit, substitutis his valoribus ipsius altero post alterum, in aequatione (et). Sed nec plures quam duo valores obtinebit, cum haec aequatio non nisi primam ejus Pote ratem contineat, nec ullus valor infinite magnus sieri potest, Disti iaces by Cooste
24쪽
eum denominator sit prima derivata ejus se litationis, ex qua determinatur, factore numeri eo neglecto, quae quidem derivata nihilo aequalis esse nequit ,-duos valores inaequales obtinente. Et cum eadem sit ratio omnium sequentium coefficientium, qui, substitutis loco antecedentium valoribus jam inventis, ex sequentibus sequationibus determinantur, erith in Ah
Quibus seriebus duo integri rami curvae designantur, qui habent contactum primi ordinis cum inter se, tum cum tangente, cuius ad diversas partes jacent, quoties B et B opposita signa habent, ab eadem vero parte, quoties B et B idem signum sortiuntur. De cetero, si nonnulli termini utriusvis seriei nulli sint, ramus, qui Per eam determinatur, ea singularitate, quae ex supra (m expositis huic casui r pondet, assectus est.
Si ambo valores ipsius reales et aequales sint, denominator ex PreSsionis liro tertio coeli ciente disserentiali, ex sequatione (et deductae, nihilo sequalis sit, ideoque evadit valor hujus coefficientiS aut m oo , aut prout numerator aut sinitus, aut nihilo aequalis est.
Ah -- BA' -- MA' - - etc. Quae quidem forma seriei indicat, ramos ab altera tantum parte Puncti exstare, ibique contactum secundi ordinis inter se, primi vero ordinis cum tangente habere, quae ab eadem Parte utriusque sita sit. Tale punctum voCatur cv is secian et vectet. Sin m o, rami habent contactum secundi ordinis cum inter re, tum cum tangente, Ut Punctum est cuspis primae Speciei, quoniam tangens tum inter ambo ramos iacci. Dcitiam by Cooste
25쪽
Si m et in aequatione ir), obtinebit in aequatione Sequente duos valores, Cosque vel reales et inae luales, vel reales et aequales vel imaginarios. Nullus vero infinite magnus seri Potest. Ex valoribus inaequalibus hae serim Proveniunth - Ah - Bh - - Clip -- DA -- etC. C A D A - et . , quae designant duos integros ramos, habentes contactum secundi ordinis inter se, primi vero ordinis cum tangente. Si B m o, contactus cum tangente est quoque secundi ordinis, et uterque ramus subit inflexionem. et 'vTertio vero coefficiente valores aequales obtinente, sit, Si m eo ,
et ambo rami sunt integri habentque contactum tertii ordinis inter se; atque ita Porro.
Et quoniam tum coefficiens primi termini in aequatione (2
diti finitus, terminus vero ultimus-- nihilo aequalis est, h est valor
duplex ipsius , a vero ad minimum valor triplex ipSius x.
U3α . . . . . ae r P, qui terminUS Solus numeratorem expressionis es'
26쪽
Qvadit m m , citiare series siet (l l
aequatione (5). Quod si in aequatione (ol duos valores reales et in
si in sequatione ir) reddatur m oo , vel
l me Bhii Chi DA' - - etc. t CU13 - DUι -- CtC., si in hac aequatione fiat in et in sequente duos valores inae luales obtineat. Illa series designat cuspidem secundae speciei, haec duos integros ramos, habentes contactum secundi ordinis inter se, et primi ordinis cum tangcnte; et Sic porro.. es uSI quoque m o, ct est valor quintuplex, et duo valores ipsius
27쪽
et alter ramus habet contactum primi ordinis , alter Secundi cum tangente; posteriori vero
h in Illi etc., et punctum est cuspis Primae speciei; et sic deinceps, si plurescoessicientes disserentiales partiales continui nihilo aequales sint.(do) (H. Si valor culeae issius -- in ite mctgnaes sit, mNgcras comm
Et quoniam tum coefficiens primi termini in aequatione (2M nihilo aequalis, terminus vero ultimus finitus est, o est ad minimum valor triplex ipsius F, sed ci non nisi valor duplex ipsius m. Si valorem finitum obtineat, o est valor triplex, et series repra
a in MA - - mi' - - etc., ubi h unicum valorem realem, eodem signo, quo coefficiens M, assectum, accipit, sive A positive, sive negative sumatur. Quare duo rami, in puncto praeci Si Ct ab sua quisque parte tangentis siti, extendunt se sursum, si M positivus sit, deorsum vero, si negativus. Punctum igitur est cuspis Primae speciei.
Si se o, h est valor quadruplex, eth obtinebit quatuor, A vero duo valores, id quod duobus modis fieri potest, vel per duas series, secundum fractas potestates ipsius h progredientes, in quibus ambad us communis denominator exponentium Sit 2, et exponens primi termini (l2J, vel per unam seriem, in qua communis denominator sit i, et numerator Primi exponen
28쪽
t M hi di etC., quarum serierum utraque integrum ramum designat (22). Ηi vero rami habent contactum primi ordinis inter se et cum tangente, cujus ad diversas partes jacent, quoties coefficientes unius seriei reales, alterius imaginarii SNnt, contra ea ab eadem parte, quoties coefficientes utriusque seriei vel reales, vel imaginarii simul sunt. Fieri etiam potest, ut series ad posteriorem demum terminum se in duas Partes findat, id quod evenit, quoties rami contactum Stilberioris ordinis habent inter se. Sic si
l N hi, etc. 3 Contactus ramorum inter se est secundi ordinis. Posteriori casu, quo quatuor valores ipsius fi ope unius seriei exprimuntur, fit exponens Primi termini et m l . Sed , quo lquatuor valores obtineat, intEr exponentes sequentium termino riim quidam inveniantur necesse est, qui, numeratore impari numero exsistente, denominatorem si retineant. Et cum nihil ad determinationem singularitatis laciat, cui termino primo id accidat , Ponamus, exponentem secundi termini ita se habere ejusque numeratorem esse S. Quo posito sit
t in Mh3 -- Nh' -- etc. Quamvis in hac serie, sumto h vel affirmative vel negative, prout coefficiens M realis vel imaginarius est, primus terminus geminos valores reales, alterum positivum, alterum negativum, obtineat, tamen ambo numquam simul adhiberi possunt, siquidem secundus quoque terminus realis futurus sit. Nam Cum quatuor
valores ipsius h h. e. Iti duobus valoribus ipsius Diuiti pod by Coos e
29쪽
tuor vero Natoribus ipsius h non nisi bini simul secundum terminum realem reddere possint et is solus valor in primo termino adhibendus est, qui binos aptos valores secundi termini producat. Sic si et M et di reales sint, primo incrementum Positive sumendum est, iam is, ut Primu S terminus realis fiat, tum radix ejus quadrata quoque PoSitive sumenda CSt, , ut factor secundi termini, A m k-- fiat realis adeoque cum N conficiat in oductum reale. Si M realis sit, Sed N imaginarius per tactorem - i, incrementum positive Sumendum Est ut primus te minus realis fiat, sed radix ejus quadrata negative sumenda est, - vli, ut factor secundi termini h m v - ρλὲβ mi ,' ' V- i, imaginarius per factorem - i redditus, conficiat cum N productum reale. Si M sit imaginarius Per factorem - i, et N per laetorem V - - i , incrementum negative Sumendum est, - A, ut primus terminus realis fiat, Sed radix ejus quadrata positive sumenda est, H- v - h, ut factor -h- - A -- i, imaginarius per factorem v - - I, conficiat cum N productum reale. Denique si M sit imaginarius per factorem -i, et N pertactorem v -- v - i , inerementum negative sumendum ESt, - A, ut primus terminus realis fiat, et radix ejus quadrata quoque negative SumendaeSt, - ρ-h, ut factor h -- -A ' m v v - i , imaginarius per laetorem v - - - i , consciat cum N productum reale. Ηinc colligitur, duos ramos curvae in puncto Praeci S, ab eademque parte tangentis sitos esse, atque ad Co cuSPidem secundae speciei formare. I ti
Si quoque m o , b est valor quintuplex , et erit vel ( 2
30쪽
quibus seriphiis designantur duo integri rami, habentes contactum primi ordinis inter se, alter vero primi, alter secundi ordinis cum
Quoniam hic omnes coefficientes i maginarii evadunt, et series nihilominus, nullo coessiciente infinite magno reddito, secundum integras potestates incrementi h progredi dcbet, manifestum est, se, sive A affirmative, sive negative Sumatur, meros valores imaginarios sortiri, quare nullus ramuS Curvae Per punctum transit. Punctum est etiam confugatum , etiamSI valorem realom sortiatur, quoties vel in serie, s(cundum integras potestates ipsius Aprogrediente, aliquis e x sequentibus coefficientibus imaginarius sit, vel in serie, fractas potestates continente, nec h, nec - h omnes terminos simul reales reddure possunt. SI , PUNCTI CUIUSDAM COORDINATIS O ET b PRo x ET T SUBSTITuris, sy)TERMINI AEQUATIONI IM (5 ET ( , NON vERO AEQUATIONIS (d , PRO SE
QUISQUE NI NILO AEQUALES REDDANTun , PRIMUS COEFFICIENS DIFFEREN
TIALIS - TRES OBTINET TALORES. ET PUNCTUM EST TRIPLEX.
Quoniam in hoc casu laenon modo in aequatione (5), sed etiam in Disitired by Cocrate