장음표시 사용
31쪽
aequatione ( ) evadit m atque adeo indeterminatus, ad proxime subsequentem sequationem (dj progrediendum est, ut inde valor determinatus eruatur. Et cum haec aequatio, quae, ob
obtinebit ibi tres valores. IIi vero valores rex vel omnes reales et inaequales, vel unus realis et duo imaginarii, vel omnes reales et duo aequales, vel omnes reales et aequales esse
(i'. Si tres Dolores Primi coe cientis disserentialis reales et
h et o sunt valores triplices ipsarum F etae in sequatione Fbr,Fl mo, quamobrem st et fi ternos valores obtinere debent. Quod si tres valores inaequales ipsius
Stituantur, In qua ternum, qui continent et i m l , d*Fob coefficientes nihilo aequales evanescunt, tres valores reales et inaequales obtinebit, quorum nullus, si valores ipsius A siniti sint, infinite magnus fieri potest, cum denominator eXPressionis, tactore numerico neglecto, sit prima iunctio derivata sequationis (dd), quae nihilo aequalis esse nequit, nisi ipsa aequatio habeat radices aequales. Et cum eadem Sit ratio omnium sequentium coefficientium, qui, valoribus jam inventis pro antecedentibus Disiti sed by Cooste
32쪽
substitutis, ex sequentibus aequationibus determinantur, prodibit
luoniam in qualibet eaedem aberrationes a formula generali, quae in serie, simplicem ramum determinante, occurrere possunt, ii livis ramorum in puncto triplici qualibet singulari late, quam talibus abPrrationibus respondere supra (2O, 2l , 22 demonstravimus, associus CSSe Potest. Sic si A mr o, tangens unius rami est parallelaavi abscissarum; si B m o, hic ramus subit inflexionem ; Si A m oe, tangens est normalis ad axem abScisSarum; et sic Porro .el
Posito valore reali loco ipsius se in aequatione (φ, quoque
unum valor m realem obtinebit, et his valoribus reali hiis Pro - et
, in aequatione tr) substitutis, sim pariter obtinebit unum valorem realem, et sic porro. Ex valoribus vero imaginariis ipsius
prodeunt meri valores imaginarii Etiam Pro ceteris coefficien- latibus, et cum sortem nihilominus, nullis coefficientihus valores insinite magnos induentibus, secundum Potestat(s integras incrementi h progredi oporteat, Sequitur, ut tres valores ipsius h in
33쪽
lioc caSu Per tres series, secundum integras potestates ipsius hprogredientes, exprimantur, quarum una, valoris reali S compos, ramtim rontem curvae designat, ceterae vero, valores imaginarios sortientes, indicant, nillil de ceteris ramis reliqui osse Praeter Solum Punctum , quod igitur est punctum conjugatum, in ipso ramo reali situm. Ceterum, si in serie reali quaedam aberratio a formulagi'nerali occurrat, ramus ea singularitate gaudet, quae huic abe
Cum radix sim lilex aequationis (55 primam ejus derivatam sinitam, sed radix duplex eandem nihilo aequalem reddere debeat, Prit iunctio
vol finita vel nihilo aequalis, prout in ea valor vel simplex vel duplex pro 2 substitutus fuerit. Valorum vero aut uterque finitus, aut alteruter vel nihilo aequalis vel infinite magnus esse Polost.(s . Si titerque υGlar, tum simPlax, tum dulcae, FNittis sit,
Et quoniam tum nec roessiciens primi termini Unec ultimus terminus-- in aequatione (55 nihilo aequalis est, b et o non sunt nisi valores triplices ipsarum F et x, quare t et fi ternos tantum valores obtinere oportet. Iam vero, si valor simplex ipsius Ur rin aequatione (Gj substituatur, ---c volo rem unicum obtinebit,
qui, quia iunctio (get est sinita, insinite magnus fieri nequit. Pari modo Poleri quoque coefficientes disserentiales unicum valor ninnitum adit,iscuntur. Ex valore igitur simplici oritur haec series Disitiam by Cooste
34쪽
i in Ah -- Bh -- Ch 3 - , qua ramus integer curvae determinatur, qui inflexionesni subit, si sit B m O. Ur . Sin valor duplex ipsius -- in aequatione (6 substituatur, deno- . E ' rminator expressionis pro , ob functionem (detj nihilo ast in lem, nullus sit. Numerator vero vel finitus vel nullus esse potest. Si
finitus sit. -- evadit m m . et series inde a Secundo termino secundum fractas potestates ipsius A progrediatur necesse est, et quidem ita, ut communis denominator sit et, et exponens secundi termini inter i et a comprehendatur. Itaque fith in A A -- MA* -- NA' -- CtC. Si cimoque numerator nihilo aequalis fiat, coeniciens indeterminatus manet, qui adeo ope aequationis sequentis (T), ubi ad secundam Potestatem evectus occvrit, determinandus est. Quainobrem duos valores obtinebit, qui vel reales et inaequales , vel reales et aequales, vel imaginarii esse possunt. Quoniam autem coefficiens
summae potestatis IPSIus , qui Idem, saetore num Erico neglecto, est secunda derivata sequationis (AS , nihilo aequalis esse nequit, nisi tres aequationis radices aequales sint, nullus valor infinito magnus esse ibotest. Si ambo valores reales Et inaequales Evadant, st
Sin aequales, et in aequatione sequente infinite magnus fiat, riti in A Beti' H- Mit' es etc., et sic PDri O. Disiti od V, Cooste
35쪽
Incidimus ergo in easdem series, per quas valores incrementi hexprimuntur, quoties in puncto duplici ambo valores primi coefficientis disserentialis aequales et siniti sunt (28), quamobrem duo rami, quibus tangens Communis est, vel ab utraqite parte puncti Se extendunt, vel praecisi sunt et cuspidem singunt, prout series vel se in duas partes findit, vel indivisa manet.(b). Si ialteruter Dolorem, siue simPlex, siue culcae, nihilo GEqΗα-tis sit, longens, ctes quiam hic Dior Pertinci, est Piamllela rami
Et quoniam tum coefficiens primi terminita; in aequatione SAJ finitus, terminus vero ultimus nihilo aequalis est, hest valor triplex ipsius F, sed et ad minimum valor quadruplex ipsius x, quare h hic Plures valores, quam in priori casu (dm,
- , etc., nihilo aequales sunt, eam formam
induet, qua in puncto Simplici duo, vel irra, vel quatuor, etc., valores ipsius h designantur (2 ); et si valor duplex sit m o, series duplex, prout unus, vel duo, vel tres, etc., deinceps horum coem cientium nihilo aequales sunt, eam formam induet, qua in puncto duplici tres, vel quatuor, vel quinque, Etc., valores
Et quoniam tum coefficiens primi termini sire in aequatione d 3 redd) nihilo aequalis , sed ultimus terminus -- finitus est, h est
ad minimum valor quadruplex ipsius M, o vero valor triplex ipsius x, piare i hic plures valores, quam in primo casu (dd),
36쪽
obtinebit. Numerum vero excedentem valorum in eadem serie, cujus primus coefficiens disserentialis est m oo , expressum esse oportet, ita ut, prout unus, vel duo, vel tres, etc., deinceps dare ae u es tieoeli cientium disserentialium PartialiUm, - , - - , rara, etc., ' nihilo aequales sunt, aut series simplex, si valor simplex Sit m od ,
induat eam sormam, qua in puncto simplici duo, vel tres, vel quatuor, etc., valores ipsius h designantur (22J, aut series duplex , si valor duplex sit m co , capiat eam formam , qua in puncto duplici tres, vel quatuor, vel quinque , etc., valores ipsius h denotantur (do . Si alter valor nihilo sequalis, alter in sinite magnus sit, series altera illo (ds , altera hoc ( ol modo transformabitur. Ita Dre, quoties et tres lictiores, gliorum Uuo metrectio stirit,
Cum tres radices aequationis (dd) aequales Sint, non modo prima, sed etiam secunda derivata nihilo aequalis erit. IIabemus ergo in
Radix vero triplex vel finita, magna 'Se PotESt.
vel nihilo aequalis, vel infinite
37쪽
Et quoniam tum nec coofficiens primi termini nec ultimus
terminusnet in aequatione (5M nihilo aequalis est, betra non sunt nisi valores triplices ipsarum F et x, quare fi et h ternos valores
obtinere debent. Substituto vero valore triplici pro - in aequa-
tione (Gi, valor secundi coemcientis disserentialisit erit ob conditionem (A2j vel in m , vel m , prout numerator vel finitus,
iubtestates incrementi h progredietur, et quidem ita, ut communis denominator sit 3, et exponens secundi termini inter x et a comprehendatur (l l . Quibus conditionibus etsi duo numeri fracti, rum et , , Satisfaciant, tamen ambiguum non est, uter futurus sit exponens secundi termini; nam cum Poefficiens quartae Pote talis ipsius A, qui idem numeratorem expressioniS Pro Constituit , finitus sit, hujus potestatis praesentia in serie ita se indieabit , ut sit numerator primi exponentis fracti. Itaque fit Si et m m , series inde a secundo termino secundum fractast in Ah H- MA' - - Ctc., tua Serie, unici tantum valoris realis compote, sive h affirmative, sive negative Sumatur, Solus ramus curvae detorminatur, cui punditum conjugatum, in quod folium evanuit, adjunctum est, id quod etiam ex eo apparet, quod, secundo coefficiente dissei sentiali infinite magno exsistente, radius curvaturae nullus est. - ae, . Sin, numeratore quoquo evaneSCente, in aequatione f) stat Disitires by Cooste
38쪽
m , valor ejus ope aequationis (T) cleterini nandus est, in qua, nisi indeterminatus relinquatur, quoniam ad secundam potestatem evectus occurrit, obtinCbit duos valores, quorum tamen alter, quia coeliiciens summae Potestatis ob conditionem (AS evanescit, infinite magnus est. Alter autem vel finitus, vel nihilo sequalis, vel infinite magnus fieri potest. Ex illo oritur series, rectindum si aetas potestates ipsius h inde a secundo terni ino Procedons , ex hoc, si finitus sit, series regularis , quare fit 12
quarum serierum prior duos ramos detruncatos, qui cuspidem primae speciei fingunt (M , posterior vero integrum ramum determinat , qui omnes rami habent contactum primi ordinis cum inter se , tum cum tangente. At si alter valor nullus sit, integer ramus habet contactum secundi ordinis cum tangente et subit inflexionem. In utroque easti ramus integer in regionibus, puncto triplici finitimis, inter ambo detruncatos iacet; nam, qualescum-iIue sint coefficientes, increm Critiam h Sempor tam parvum sumi Potest, ut terminus, inferiorem ejus Potestatem continens, major sit, adeoque cum Bhra tum multo potius Ch valorent inter
-- Mh3 et - Mh' medium obtineant. Si alter quoque valor infinite magnus sit, atque ita ambo valores aequales evadant, tres valores ipsius h exprimentur per hanc Seriem , Secundum fractas potestates ipsius h progredientem indoa Secundo termino, in quo, quia coemciens quartae Potestatis nullus, quintae vero finitus est, numerator exponentis erit S,
quae series solum ramum designat, cui punctum conjugatum adjunctum est, et qui, quoniam Secundus terminus seriei opposita signa sortitur, prout h affirmative vel negative sumitur, inflexionem Suhit. Ilaec vero inflexio ab ea, quae in puncto simplici oe-Disii iam by Coos e
39쪽
currere potest, in eo discrepat, quod tangens hic contactum non nisi primi ordinis cum curva habet.
ctiam in aequatione (et) evadat m et, valor ejus per aequam tionem sequentem determinandus est, ubi ad tertiam potestatem evectus occurrit. Accipiet ergo tres valores, qui vel omnes reales et inaequales, vel unus realis et duo imaginarii, vel omnes reales et duo aequales, vel omnes reales et aequales esse possunt. Nullus vero infinite magnus seri potest, quoniam coefficiens summae Po-
Si tres valores reales et inaequales sint, sit
AD )- CDιβ- etc., et omnes tres rami curvae exstant integri, habentes contactum primi ordinis inter se et eum tangente. Si unus valor sit m o, unus ramus habet contactum secundi ordinis cum tangente et subit
inflexionem. Si unus tantum valor realis sit, unicus tantum ramus curvae exstat. Si omnes valores reales et duo aequales sint, erith m Ah - - Bh - Ch U- etc.
40쪽
tur; et duo rami, priori Casu detruncati cuspidemque secundae speciei formantes , posteriori integri, habent eοntactum secundi ordinis inter se, atque primi ordinis cum tertio integro et cum tangente. Si omnes valores reales et aequales sint, et valor ipsius inaequatione sequente fiat m oo , erit
Et quoniam tum coefficiens primi termini in aequatione (dd)da usinitus, sed ultimus terminus nullus est, h est valor triplex ipsius F, sed ra ad minimum valor quadruplex ipsius x.
Si . sinitus sit, atque adeo in aequatione(6 evadat m m ,
ct est valor quadruplex ipsius ae, Et series erit
st in Mii 3 -- Nh- - - CtC., qua unicus ramus realis designatur.
Si quoque sit se o , ct est valor quintupl(X IPSIUS x, Et expressio valorum ipsius h erit aut