Historia problematis cubi duplicandi specimen historicomathematicum, quod cum tesibus adjectis scripsit Christianus Henricus Biering

11쪽

Itaque quum maxime in prima historiae matheseos periodo oxploranda versaremur, animadvertimus, studia, quibus inventa et exculta ostdoctrina de sectionibus solidorum aliisque curvis, cum conatibus veterum. qui eeleberrima illa problemata cubi duplieandi anguli quo trispeandi spoetarent. sero eongruore. Ex historia autona problematis cubi duplieandi. quod ob magnum ejus et in mathesi pura et in vita communi liqum quia in aveteribus tum a recentioribus usque ad Νewtonum saepissim est tractatum. perspieue apparet, quomodo factum sit. ut homines ad quaestion s mathematicas Primo adducerentur, quomodo postea mathesis paulatim exeulta sit quomodo dρnique fines matheseos veterum analysi recentiorum latius produeti sint; ox hae etiam intelligitur, quantum mathpseos in vita communi usus valeat ad ipsam scientiam excolendam. Hape omnia quum ad praeceptorem maxime pertinere nobis viderentur, historiam Problematis euhi duplieandi, si a prima problematis origine usque ad tempora Νewtoni traderemus, non inutile fore putavimus.

12쪽

Quantam Mim probIemtiti cubi duplicandi Motores

fribuerint.

ut luin haud dubie theorema aut problema mathematicum apud veteres magis celebratum est. quam problema cubi duplicandi. Constat hoc problema id agere, ut, cubo quolibet dato, inveniatur talus cubi, cujus volumen sit duplo majus quam datum. Problema autem ita constitulum nihil aliud est nisi casus singularis ullus cujusdam problematis, ut inveniatur latus cubi, volumen datum comprehendentis, id quod veteres satis intellexerant. Intelligunt omnes, qui quidem aliquam scientiam rerum mathematicarum habeant, problema ope matheseos recentioris perfacile et arithmetice et geometrice solvi posse. Non ita veteres, et ea de causa videmus, optimum quemque illorum temporum philosophum in illo problemate Sulvendo elaborasse. Veleres autem non sine causa tantum studii et laboriseu bo duplicando impendisso, ut hoc magis intelligatur, ostendere conabimur, quanta ris problemati nostro a veteribus tributa sit. Temporibus jam antiquissimis vel potius sabulosis veteres in aris, templis, aliisque aedificiis exuruendis et dimetiendis, magno usui foro, si problema cubi duplicandi solvi posset, sentiebant. Probabile etiam est, usum problematis in mensuris, velut medimni et melrula . constituendis jam an liquissimorum temporum hominibus non ignotum fuisse duum autem Omnes artes magis magisque excultae atque persectar essent, fieri non potuit, quin nostri quoque problematis summa ad varios vitae communis usus necessitas animadverteretur; quod imprimis Ptolemaeorum aetato apud Alexandrinos factum esse accepimus. 1.

13쪽

Nam apud eos, quum bella civilia post mortem Alexandri Macedonis orta essent, artes beIlipae magnos progressus secerunt, et hic primum, praecepta mathematica in machinis bellicis, v. c. catapultis, ballislla, Scorpionibus, componendis et exstruendis adhibita sunt. Mox enim mathematici, vel potius mechanici, Alexandrini videbant, omnia, quae ad catapullas et ceteras id genus machinas construendas pertinerent, GSe reserenda ad dimensionem lanis illius torti, qui per rotundum in machinae capitulo foramen transiens lotam ejus capacitatem expleret; et quum dimensio illius lanis aut foraminis rotundi osset constituta omnes reliquas machinae partes ex ea esse dimetiendas. Quam rationem autem haberent magnitudo foraminis ci pondus lapidis, qui ejiceretur, vel longitudo Sagittae, quae emitteretur, huc Alexandrini aliquanto demum post invenerunt. Experimentis innumerabiliburs enim, munificentia et liberali lato Ptoleni orum lactis, taec ratio postremo a mechanicis Alexandrinis ita est constituta, ut in ballistis diametrus tot digitorum esset, quot efficerentur, si ex numero minarum lapidis centuplicato radix cubica extraheretur, addita insuper ipsius decima parte; in catapultis autem et scorpi0nibus ut, quantum sagilla, quae emitteretur, in longitudinem haberet, hujus nonae parti diametrus foraminis aequalis esset. ΓΠελonMτεικα Heronis Thevenoli veterum mathemati eorum opera. Parisiis 1693. pag. 122 et seqv. . Βελοπ Λικα Philonis Ilieven. vet. math. op. Par. 1693. pag. 49 ei Seqv.)J. In ballistis igitur construendis radix cubica crat extrahenda, quod veteres non aliter commode lacere poterant, nisi, ope constructionis geometricae, laturo cubi, cujus volumen erat aequule numero, ex quo radiis cubita erat extrahenda, constitulo. Ex his patet, quanti momenti apud veteres problema, quod jam saepius commemoravimus, suerit ad machinas bellicas exstruendas ). Quum ob insignem in vita communi utilitatem problema cubi duplicandi antiquissimis illis temporibus a multitudine magnopere celebraretur, et quum huic usui maxime sit tribuendum, quod problema apud Veleres in tanto honore suit, tamen alia et gravior causa fuit, cur mathematici veteres in hoc problemale solvendo tantum studii et Iaboris consume-

3 Ad radieem quadratam extrahendam veteres mei hodum quandam cum ea. qua utuntur recFntior ea, sere consentaneam adhibebant; et videtur similis ratio radicia cubicae extrahendae iis non

incognita suisse; sed eam ob difficultatem calculi in usu non fuisse videmus. Cons. Ηossul: Versu clieiner ali gemelaen Geschlchie der Mathemati , libera. von Reimer. l amburg IMI. I Th. png. b I.

14쪽

rent. 0uum enim omnia problemata et theoremala geometriae, alia aliis temporibus inventa atque demonstrata et singulatim quoque tradita, in justam disciplinae formam redigi coepta essent, non fieri potuit, quin mathematici, qui in arte componenda versabantur, mulla adhuc interponenda censerent, si mathesis artibus juro esset adnumeranda. Ita laclum est, ut clarissimus ille Plato, quum in doctrina de solidis pertractanda versaretur, se maximis difficultatibus obstrictum videret, nisi problema nostrum esset solutum. Has disiscaelates solutiones, quae mechanicae vocantur, nullo modo sustulerunt, quibus nonnulli jam Platonisae lale rem ad instrumenta et opera quaedam mechanica revocare Studebant. Solutio autem, quae subtilitati geometricae satisfaceret, non ex quibusdam experimentis mechanicis, sed ex justis geometriae legibus erat quaerenda. Plato, quum hoc intelligeret, discipulos et lamiliares saepius adhortatus est, ut problema cubi duplicandi secundum leges geometriae investigare omni opera conarentur, quem eundem accepimus discipulos reprehendisse, qui in solutionibus mechanicis inveniendis frustra laborarent. Itaque non mirum videbitur, quod problema cubi duplicandi, quum vitae communi tantam utilitatum afferret atque in geometria magno loco esset, et nomine inclyto Platonis esset celebratum, in Schola Platonicorum, quae vocatur, diligentissime tractatum est; unde is tum est, ut videamus, omnes sere veteres mathematicos, Platone inseri Oros, operam aliquam

De prima problemiasis origine.

Ut permulta exempla exstant, quomodo vires naturae multo prius fuerint cognitae et in usum Vita communis collatae, quam homines docti leges, quibus subjectae essent illae vires, investigassent, ita etiam in mathesi problemata, communem Mum Spectantia, Saepenumero proposita emo accepimus, et id lomporibus, quibus no vestigia quidem matheseos ad formam disciplinae redacis exstabant. In ejusmodi problematis nostrum adnumerandum est. Nam in epistola ad Ptolomaeum regem suid Eulocii Ascalonitae commentarii in Archim.

lib. II de sphaera et cylindro, prop. 2. in editione Torelli, Oxonii 1792, pag. 144 J, Bra-

15쪽

losthenes tradit, in tragoedia quadam antiqua, Minoa, coluberrimum illum Cretensium regem. Glauco filio mortuo sepulcrum orat ruentem introductum esse. Qui, quum Sepulcrum, quod cubi formam habebat, pro regia munificentia ni inis exiguam putaret, duplo majus, servula lamen cubi forma, extrui jussit. Ad quod perficiendum, quum architecti unumquodque latus duplo longius secissent, sepulcrum opero peraclo Ocluplicatum geometras primum stimulavit ad investigandum, quomodo solidum datum, eadem sigura servata, poSSel duplicari. Jum quum geometrae potissimum cubum, tanquam simplicissimum solidorum regularium, sibi proponerent. hoc problema cubi duplicandi appellatum esse dicit Eratost hones. Tragoedia, in epistola Eratosthenis commemorata, est, ut ait Valchenarius, sabula Euripidis, quae nunc non exSlat, quae autem inscripta suerat Πολυειδος ), unde sequitur, ut temporibus Euripidis e. 450 a C.) problema cubi duplicandi multitudini non omnino incognitum fuerit. 0uod conjicere licet, sive statuas, Euripidem subulum de sepulcro ocluplicato a mojoribus traditam accepiSSe, sive potius credas, ipsum tragicum, problematis noviri jam vntea cogniti memorem. hoc fabulae ornandae causa moro poetarum ad regem clurimimum Cretensem retulisse. Nobis quidem verisimile videtur, problema cubi duplicandi temporibus Euripidis amigma geometricum fuisse habitum, cujus autem solvendi ratio illis temporibus nondum esset inventa.

Atque dum problema cubi duplicandi, quanquam nondum solutum, magis magisquo in Graecia celebratur, accepimus disciplinam quoquo geometriae. ex Aegypto oriundum. apud

16쪽

Graecos diligentissimo excultam et multis modis auctam suisse. Primus quidem inter philosophos Graecos Thales cc. 600 a. Chr. huic studio se dedisso sertur. Quae autem ejus de geometria merita fuerint, et quae theoremata aut problemata ab eo inventa et proposita sini. omnino ignoramus. Optime vero inter philosophos illorum temporum Pythagoras c. bb0 a. Chr. de geometria meritus est, qui primus ct do lineis quibusdam incomme surabilibus et de figuris isoperimetricis et de solidis regularibiis disputavit et, quod ad historiam problematis cubi duplicandi maxime pertinet, theorema illud notissimum de quadrato hypollienus os trianguli rectanguli invenit. Hoc theoremate usi, et ipse Pythagoras et qui post eum norebant phil0Sophi Veteres, quorum nemo a Studio geometriae abhorrebat, multa, quae adhuc incognita erant, de figuris planis augendis et minuendis in medium proserebant. Sic inlullectum est. unam mediam proportionalem osse inveniendam, si quadratum, si ra quadratica servata, eMet duplicandum. Hoc etiam theoremato philosophos ad veram problematis nostri solvendi rationem primum adductos esse, statuendum videtur, et confirmant hoc historiar matheseos scriptores, qui tradunt, Hippocratem Chium cc. 450 a. Chr.), qui lunulus ipsius nomino celebratas invenit et primus elementa geometriae ad formam disciplinae redegisse dicitur, quum cubum quadrati dimensione uno gradu altiorem esse censeret, ad cubum duplicandum duas inveniri medias continue proportionales necessarium esse, altius investigando intellexisse. Ita factum est, ut problema nostrum congrueret cum hoc, ut duae mediae continuo proportionales

inveniantur.

. t. Si enim notat ha ut morem recentiorum in rebus mathematicis explicandisseramur latus cubi dati, erit

- 2ax, unde

17쪽

0uanquam nullam solvendi rationem ab ipso propositam habemus, optime tamen, translatione, quae commemorata esl, de problemale eubi duplicandi meritus est Hippocrates. Tametsi enim alterum illud problema circulo et linea recis geometrice solvi n0n potest, vel, ut more veterum geometrarum loquamur, ad problemata plana referri non potest, id quod tum non satis intellectum esse videtur; lamen studio et acumini Hippocratis tribuendum est, quod problema magis patefactnm est . ut rationibus, quae mechanicae vocantur, Solvi posset, et via inveniretur, qua ad vere geometricam problematis solvendi rationem perveniri pOSSel. Celerum, teste Proclo, hanc translationem c problemalis aut theoremalis propositi ad aliud quoddam, quo cognito aut soluto, propositum quoque esset inventum, Hippocrates primus in dis uisitionibus geometricis adhibuit, unde, ut infra explicabimus, analysis mathematica veterum originem traxit.

Procli Diadochi commentarii in librum primum Euclidis flatine editi a Barocio Patavii 1560 lib. II Cap. 4. pag. 37.

Bossul. Gcchichte der Mathemati k. 1 Th. pag. 6b. Chasles. Aperuu historique fur l'orgine et te developpement des methodes en Geometri, Bruxelles 1837. pag. 5. Reimerus. Hist. probi. De cubi duplicatione, Gotlingar 1798. Cap. IV.

Problema, quum Hippocratis acuminu esset translatum et postea a philosophis diligentissimo tractaretur, nunc cliam multitudinis animos ad se convertisse videtur; id quod ex hoc colligere licet, quod Euripides nostrum problema in sabvia tragica adhibuit. 0uum enim solutio problematis duarum mediarum conlinue proportionalium inveniendarum a Platone te. 390 a. Chr. n. ejusque discipulis diligentissimo investigaretur, factum est, ut cliam in vita quotidiana hujus problematis mentio interdum fieret; quod indicat celeberrimum illud oraculum Deliacum, quod Plutarchus in dialogo . De genio Socratis' tradit. Quum autem

18쪽

arbitremur, in iis, quae de hoc oraculo tradita sunt, interpretandis, et mathematicos et philologos errasse, sere ipsis Plutarchi verbis, quae de hac re memoriae prodita sunt,

explicare conabimur.

Narrat enim scap. D Phidolaus quidam, Agesilaum, regem Lacedaemoniorum, retia quias sepulcri Alcmenae ab ipso diruti Spartam transferri jussisse, et tabulam aeneam insepulcro inveniam Memphin ad sacerdotes misisse, ut scripta interpretarentur. Postea ccap. VII)tin edit. D. Uytlenbachi Tom. III Oxon. 1797) pag. 334J. -Simias quidam, Tabulam, inquit, istam non novi: sed Ageloridas Spartanus multis cum literis Memphin venit ad Chonuphin prophetam, quum ibi tunc una philosopharemur ego, Plato et Eliopio Peparethius: miserat autem Ageloridam rex pelens a Chonophi, ut si quid seriptorum intelligeret, statim hoc interpretatum ad se remitteret. Ergo Chonuptiis, quum per triduum scorsim de antiquis libris omnis generis literarum formas collegisset, rescripsit ad regem, nobisque indicavit, his literis significari, Musis Graecos debere certamen edere: Eme autem literarum formas ejus grummaticae, quam Proteo regnante Hercules Amphitrionis F. didicerit: et moneri Griecos his literis a deo, ut armis positis pacatam qui iamque vitam ducant, et philosophico concertantes de jure, erudite et cum ratione inter se lites transigant. Nos et tum Chonuptiis sen- lentiam probavimus, et magis etiam, quum nobis ex Aegypto avectis et circa Cariam navigantibus occurrerunt Delii quidam, qui a Platone, utpote rerum geometricarum perito, stagilaroni oraculi explicationem, quod insolens ipsis deus edidisset. Erat autem oraculi haec sententia, Deliis et Grineis calamitatum tinem fore praesentium, si aram, quae in Delo erat cubica, duplicarent. Neque Vero illi sensum conjectare poterant, alque circa structuram arae ridicula passi erant. Nam unoquoque quatuor laterum dupli alo, inprudentes augmentatione locum solidum octuplum offecerant, per analogiae imperitiam, quae longitudine duplum praebet. Platonem igitur in hujus dubitalionis auxilium advocarunt ).

Pro verbis: Neque vero illi auxilium advorarunt , quae ex versione lienrici Alephani sumpsimus, habet Wyitenbaclitus, quem ceterum seculi sumus: ,Cujus quum fiententiam a sequi non pos ent. et in altaria Atructura reditule eis hoe evenisset, ut pro dupla ara, ignoratione proportioni quadruplam' excitarent; Platonis opem in hue difficulate explicunda Imploraverunt. Ouam ver. lonem pravam a plerisque interpretibus probatam videmus.

19쪽

Ille vero Aegyptii istius recordalus, Ludi a deo Graecos dixit, qui eruditionem negligerent, eorumque insultari ii Mitiae, lirandarique, ut serio Geometriae operam darent; non enim leviter aut segniter in tractandis lineis perspicacis ingenii opus esse, datis duabus lineis, alium, quae continento proportione inter has intercedat invenire: quae quidem unicasti cubi duplicandi ratio, ex aequo omnibus ejus auctis dimensionibus: rem iis ab Eudoxo Cnidio, aut IIelione Cygiceno conlectum iri. Neque vero deum hanc arae duplicationem requirero aut desiderare, sed universis praecipere Graecis, ut, bellis et miseriis ea comitantibus vitulis, Musis sese dedant, ac literarum et doctrinae usu, sedalis animi turbulentis molibus, innoxio ct utiliter inter se conversentur. Significant igitur ipsius Plutarchi verba, Platonem Aegyptii illius recordatum Deliis respondisse; neque ulla causa est cur credamus, quod SuSpicantur Rei merus et Kluget I Rei- morus, do cubi duplicat pag. 34. Hugel, Mathematisches Worlerbuch, 1ster Theti s Lei petig 803) in art. Deliches Ausgabo. pag. 722J, ipso Plutone auctore oraculum editum csse. Porro si in memoriam revocamus, problema cubi duplicandi illo tempore vulgo cognitum fuisse et rationem ejus solvendi a philosophis jam inventam, non mirum nobis videri potest, oditum esse oraculum, ad quod perficiendum non exiguum temporis sputium opus esset, adeo ut verisimile esset, finem calamitalis ante soro factum, quam aru jussu oraculi esset exstructa. Ex iis igitur quae jam dicta sunt, nobis perspicuum videtur, errasse Schwcigcrum, virum rerum phTSitarum longo periti Mimum, qui ex oraculo, quod Saepius commemoravimus, concludere vult sSchWcigeri, Denkschri si Eur Saeularseter der Universitat Erlangen cllatio 18433 pag. 13, ubi elim vitiose traditur, oraculum a Delphiis editum esseJ, studiu mathematica ad mysteria velerum pertinuiSSe. 0uanquam ad propositum nostrum non perlinet, tamen sacere non possumus, quin Plutarchi verba, quae a plerisque 3 non salis intellecta videntur, paucis illustremus. Verba

non vitiosa reperitur.

20쪽

Iam τέο σαρες πλειραῖ sunt quatuor illae reelae, quae sunt bases quatuor quadratorum perpendicularium, quibus ars concluditur; quae, Si, sorma solidi cubica servata, rectae duplicantur, Oclupta fiet. Verba ad Verba τεσσαρων πλευρων Sunt reserenda. Ex hoc autem, ut nobis videtur, sententia loei satis intelligitur. Sed ut tandem oraculum Deliacum et interpretes quum mathematicos tum philologicos relinquamus, quae Plato riusque discipuli de nostro problemate, quod poStea Deliacum appellatum est, meriti sunt, Sequenti capite demonstrare conabimur

De Platonis ejus se discipulorum cutis medias continuo proportioneses infeniendi rationibus.

0uomodo factum esset, ut Plato et qui ab eo profecti erant philosophi, in nostro problemate explorando tam diligenter versarentur, id jam supra cap. I) dispulavimus; quare nihil est, quod de ea re plura hoc loco dicantur.' ΗOc capite autem copiosius nobis commemorandum est, quae solvendi rationes vel ab ipso Platone vel a discipulis et familiaribus ejus Sint inventae. Plato. Quae antiquissima est cubi duplicandi ratio et quidem mechanica, eam Platoni ipsi altribuit Eulocius scomment. in Archim. lib. II de spliaer. et cilindr. prop. 2; in Od. Torelli Oxon. 17983 pag. 135J, qui problema, ut, datis duabus rectis, duae mediae continue pr portionales inveniantur, a clarissimo illo philosopho ita solutum esse tradit. Ad constructionem persciendam instrumento opus est, quod iis est con