장음표시 사용
41쪽
vimus, quae nostri problematis solvendi rationes studiis et industria Plutonicorum essent inventae. Ex solutionibus Platonicorum, quae adhuc exstani, sola Archylae in Ioeis linearibus posita est; dubitari autem nequit, quin plures illius inatis philosophi, velut Eudoxus et Aristaeus, curvas, ex aliis solidis quam cono secto ortas, ad problema solvendum adhibuerint. Archytae quidem solvendi ratio facilius cogitari quam re vera perfici potest. Itaque non mirandum est, quod Alexandrini, qui in nostro problemate tractando usum tantummodo respicerent, nullam in locis linearibus positam solutionem exposuerunt. Sino dubio autem iisdem sero temporibus, quibus florebant Alexandrini, Eratosthenes, Apollonius, Hero, Philo, duo alii mathematici, Nicomedes et Diocles, qui, ubi nati sint aut ubi vixerint, prorsus ignoratur, problemalis nostri solvenda rationes, in curvis quibusdam a se ipsis inventis positas. proposuerunt. Jam quae sint merita illorum Virorum de nostro problemate, et quae sit natura illarum curvarum ab illis constitutarum copiosius explicaro
leomedes. 0uod ad tempus allinet, quo vixerit auctor notissimae illius curvae, quae eonrhois appellatur, hoc unum natui potest, eum post Eratosthenem, sed ante Geminum a. 70 a. Chr. floruisse mei merus, De cub. duplic. pag. 161J, et, si ex nomine ejus conjicere licet, patriam habuit Mysiam aut Bithyniam. Rationem ejus problematis solvendi et Pappus et Euloeius commemorant reappi coli. mathem. lib. IV, prop. 22 in vers. Command. pag86 . Eulocii comment. ad Archim. de sphaer. et cylindr. lib. II prop. 2 in edit. Toret. pag. 147JJ, ut dubitari non possit, quin solutio problematis, ope conchoidis eonsecta, Ni medi sit altribuenda. Prius autem quam ad ipsam ejus solvendi rationem accedimus, instrumentum, quod Nicomedes constituit, et curvam ope illius descriptam accuratius illu
42쪽
Tradit Eulocius instrumentum ita constitutum fuisse. Duae regulae AB et CD ad angulos reclos inter se compactae conjunguntur. In Regulal a Α B inciditur rima, qualis c d, ct in puncto p, in linea media is p regulae C D sito, infigitur
clavus cylindricus. Tum regula I u, cui clavius cylindricus in puncto E infixus ut rima g hinsecta est, ita collocatur, ut clavus E in rimued promoveri et circumagi possit, dum simul, Ob rimam g h, movetur regula III circa clavum cylindricum p. Sin autem eo modo movebitur regula tu. deseribet selus, in puncto I infixus, cumam. qualis est IKL, quiB est conchois volerum. Punctum p voeulur polus, ct recta I Ε, quae, dum movetur rogula, eandem Sumper Servallongitudinem, intercallum curva . Non constat, quot et quales proprietates hujus curvae ab ipso Nicomede sint inventae; quae autem ad nostrum problema solvendum pertinent, Eulocio auctore, haec sunt:
1 Conchois IKL ad rectam o magis magisque accedit, id quod inde sequitur, quod perpendiculares, quales L D et L D, vid. si g. pag. 34 eo magis decrescunt, quo magis distant a recta Κc; sunt enim in B EP , --eBE P, unde BEL MBE II, unde rurins
Si igitur describetur in D L F - Q D L Ε , incidet recla L F intra rectam L E. Tum erit, ob triangulos similes FLD et E L D ,
43쪽
P23 seu ibet recta, inter lineam A B et eonchoidem IK L posita, ab ipsa curra secatur, id quod valebit de quavis recta, inter curvam et rectam A B posita, si modo demonstrari poterit, reclam, ipsi A B parallelam, qualem N O) satis productam a conchoide Im secari. Est igitur quaerendum, num punctum quoddam rectae No ita situm sit, ut per illud transeat curva producia IX L, et in hunc sinem constructione geometrica quarta quaeritur proportionalis in proportione:
44쪽
id quod signi simi, punctum 0, in reeta N o positum, Simul esse punctum conchoidis pro
Duobus illis theoremalis demonstralis, ope conchoidis perfacile solvitur hoc problema, ut Dato angulo A, puncto- que P eaetra ipsum, duc tur recta P q, ita, uι sit a b aequalis datae l. Solutio.
A puncto P constituitur, ipsi AD ad angulos re tos, recta B P; abscinditur C Κ aequalis datae l. Tum,
polo puncto P intervallo autem recta CK, describitur conchola, quae in puncto secabit rectam AD. Si deniquo per punctum ha ducitur recta P q, erit, ob naturam conchoidis, ab m KC in LQuibus praemissis, ipsam rationem Nicomedis duas medias continue proportionales inveniendi jam explicare conabimur. Dalae rectae a et b cvid. fg. pag. 36), inter quas duae mediae continue proportionales sunt inveniendae, angulum rectum inter se comprehendentes describuntur; sit igitur BC - aet M in b. Consecto reclangulo ABCD, bissecantur AD N DC, ut sit AE ED, et DF - Fc, et ducitur recta BEG quo laclo erit GD-AB - Dc . Tum demissa a puncto F pe pendiculari FII, describitur recta cum ΑΕ - 'ria, et, lineae Gu parallela, ducitur recta CV. Producta deinde recta D c, ope conchoidis per punctum H ita constituitur recta, cruras V et C T secans, ut sit IΚ - l. a. Denique, si ducitur recta Κ B M, quae ipsam D Aproductam in puncto M secat, erit
45쪽
similiter demonstrari puleStME' - DM. MA l AE'; atqui est ΗΚ Δ ME, id quod ita demonstratur ergo etiam
q. e. d. Quo magis elueeat, veram Esso comparationem unalyseos veterum Di r centioruit .
quam ad finem luxus libelli instituere molamus, et ut hoc tanqualia exemplum habeamus ad quaestiones, quas alio tempore do institutione sacere nobis in animo est, in curva illa celeberrima Nicomedis, ope anat Iseos recentioris, accuratius investiganda aliquantum morari, haud inutile esse nobis videtur.
46쪽
Ex constructione conchoidis, quae jam commemorataeSt, perfacile eruitur aequatio hujus curvae. Sit enim recta AB axis, et punctum C initium coordinatarum; sint porro coordinatae inter se ad angulos reclus; nolui du-nique a rectam CK, et brectam CP. 0uibus pOSilis. si ducuntur rectar L D et
1 Primum intelligitur, aequalionem sci), valoribus permagnis ipsius X; magis magisque congruere cum aequatione x y - ab, ut rami conchoidis, quo magis rectae A Bappropinquant, eo magis cum hΥperbola, cujus afrmptulae sunt AB et DII, in unam ol
2) indicat aequalio si ): a) Partes aequales curva silas esse utrinque rectae UR. b) Ramum curvae cliam infra reclam ΑΒ esso extensum; Significant enim signa terminor in . aequationem υρ unam habere radicem posilivam, et unam Sallem negativum. Constituitur hic ramus inferior, qui appellatur, I K L , si abscinditur XC - ΚC , L E - LE, et cel. De ceteris duabus radicibus aequalionis utrum sint negalivae an imaginariae, positum rat in natura quantorum a, b, X. Si autem generatim est investigandum. quibus valoribus illorum quantorum radices commemoralis sint negativae, et quibus sint imaginariae, solvenda est aequillio λ ratione habita ipsius T. Quod, quum sine ditscultato calculi fieri non possit, commutantur in aequatione ca) cordinatae, quo facto abibit aequalio sci in hanc:
Indicat haec aequatio, si altribuuntur ipsi x valores positivi, a) Partes aequales curam non sitas esse utrinque rectae AB; b) Continuum esse curvae ramum' lΚL; c Rectam AB esse asymptotam conchoidis, id quod etiam indicat aequatio sci).
47쪽
2) Si vero ipsi x valores altribuuntur negativi, tres occurrunt casus, prout eSlbma, aut b a, aut denique b -a, et aequatione is) tonsiderata intelligitur: a Positob ma, clausam curvae partem silain esse inter puncta P et X , ubi curva cum axe 0Rconcurrit, ramos vero PI et PL asymptolam habere rectam AB, id quod etiam apparet si ex lege, quae Supra commemorata est, posito b in a, constituitur ramus inferior conchoidis: b) Posito b a, partem clausam curvae, D ΗΚ G, contrahi in punctum P, quod aeque ad curvam pertinet cuid. si g. pag. 37). c) Posito denique a m b, puncta P et K in unum congruere; quae sit forma curvae, repraesentat haec figura:
48쪽
convexam esse axem AB Versus. b Radices aequationis,
ordinatas punctorum instexorum indicare posse. Haec aequalio soluta ostendit, tres omnes radices non esse reales, nisi est 2 by a', quod quum accidere possit, sive statuitur a b sive a b, ad rem accuratius investigandam ponemus in aequaliono η Υ - v , quo facto usque eo movobitur B is siSeiSSarum, ut, ipsi AD parallela, per punctum K transeat, et abibit aequalio OB in hanc: v - 3ca - b)v' ν 3a a -- 2b)v - a' a - b) 0 coi) Posito primum a Q b, erunt in aequatione cκJ signa terminorum Φ -h; id quod indicat, duas in ea inesSe radices positivus ut unam negativam. Duae radices positivae, quarum altera est a et Q 2 a, altera vero μ0 et Q a, sunt ordinatae punctorum innexorum conchoidis, alterius in ramo superioro et allerius in ramo inferiore positi. Radix negativa, quum non sit l, - a, ordinatam conchoidis indicare nequit. 2) Posito deindo a b, abibit aequalio is)in u' v - 0, cujus aequationis radices, v - 0 et v - - a1 3, non sunt ordinalae coi choidis; radix vero, v la d, indical ordinalam puncti insexi. in conchoide snperiore Sili.
49쪽
φJ Posito denique a b, duo occurrunt ensus. prout flatuitur a ' - 2 b' vel a Q 2b ;iu pri0re easu in aequalione cn) non nisi una inest radix rualis; in posteriore casu indicant Signa terminorum aequutionis κ), non nisi unain in Pa inesse radicem positivam, et duasnogalivas utit imaginarius. Radix positiva, quum sit Q 2 a et a, indicat Ordinatam puncti inflexi in conchoide superiore siti; duae reliquae radices, sive Sunt negativae Sive imaginariae, non Sunt Ordinatae conchoidis. Xos. Si ost a' - 2 b', erit radix realis aequalionis
Duarum expresionum prima. posito R -- b, et tertia, posito a Q b, indicunt ordinatas conchoidis; secunda autem, pusilo u b, et tertia, posito a, b, ordinatas conchoidis indicare non POSSunt. Ex formulis salis cognitis perfacile constituuntur langens, Sublangens, normulis ot subnormalis conchoidis; quum aut in illae lineae nullam praebeant proprietatem Singularum. non est, cur diutius in iis moremur. Du rectilicatione arcus conchoidis, ad quam investigandum, quum ex iunctionibus ellipticis, quae vocantur, pendeat, disquisitiones longiores opus crant, alio tempore dispulare nobis in animo QSt. Si notat es aream segmenti conchoidis E vid. si g. mp. pag. 38J, et si est L nuxis abscisSarum, erith l x ut in
50쪽
ta qua formula, cujus ope area segmenti conchodidei cujuslibet perfacile invenitur, apparet, posito x - ο, sore N - M. Aot. 1. De conchoide Nicomedea, quam Vignota et Blondet etiam in architectura adhibuerunt, plura dispulari, quum non sinat propositum, hoc unum addimus: Volumen conoidis conchoidalis ab archite to quodam militari, Mulier, Batavo 1784 , ad volumen orcarum inveniendum, nullo autem prospero successu, esse adhibitum luges. Mathem. Uorterb. 1ster Th. pag. b39. IMi. 2. Quemadmodum, ut facile intelligitur, describitur conchois Nicomedea, si, diametro quadam circuli per rectam AB Fig. v. pag. 37) progrediente, a puneto Prectae per centrum circuli ducuntur puncta enim conchoidis indicabuntur punctis. in quibus illae rectar cum peripheria circuli concurrunt); sic etiam, si axis, aut ellipseos aut parabolae aut hyperbolae, rectam AB sive curvam quamvis secutus promovetur, describi possunt curvae conchoidales. De his autem curvis compluribus, ne breviter qnidem hoc loco disputari, natura hujus libelli patitur.
Quibus noruerit temporibus ille auctor curvae celeberrimae cimoidis, cita appellata ex κισσος - hedera - , quia veteres sormam hujus curvae cum solio hederae eomparabant testimoniis veterum auctorum sere penitus desicientibus, certo non constat. Historiae Inalheseos scriptorum plerique, eum quinto demum post Christum natum seculo vixisse statuunt ; ostendit autem Rei merus LDe cubi dupli L pag. 174I hano sententiam non esse veram, et Dioclem ad primum vel potius ad secundum ante Christumnalum seculum esse reserendum. duae sit indoles singularis curvae ab eo inventae, et quae sit ratio ejus nostri problematis solvendi, Eutocium scommenL in Archim. de sphaer. et
cylindr. lib. A prop. 2 cin edit. Toret.) pag. 139I sequentes, paulo accuratius explicare