Historia problematis cubi duplicandi specimen historicomathematicum, quod cum tesibus adjectis scripsit Christianus Henricus Biering

31쪽

tradidimus, conjicere licet, eum, quanquam cum Aristaeo, Euclide, Archimede ceterisquo, qui de doctrina sectionum conicarum paulo post optime meriti sunt, comparari non potest, doctrinam harum sectionum non leviter perstrinxisse. Non fieri potuit, quin philosophi, qui in sectionibus solidorum quaerendis versabantur, alias quoque curvas quam Sectiones conicas invenirent; et mox intellexerunt, non pa-auni disserre naturam problematum, quorum Solutiones positae essent in cur is Varii gene- .ris; unde laclum est, ut inveniretur doctrina de locis geometricis. Desinitur autem locus geometricus ita, ut Sil linea, per quam construatur problema indeterminatum o: quod innumerabiles Solutiones ad miliat. Pappus. in praes. libr. VII in vers. Command . pag. 247J. Distinguebant veleres locos geometricos ita, ut loci plani dicerentur linea recla et circulus, quum in plano orirentur, solidi autem sectiones conicae, parabola, ellipsis et hyperbola, quum ex Solidorum sectionibus oriri reperirentur. Lineares deniquo appelluliantur quaelibet lineae neque rectae, nequo circuli, neque SectioneS conicae. Inter locos lineares igitur adnumerabatur helix, quadratrix, conchois, cimois, curvaque illa cylindrica Archytae, quae jam supra commemorata est.J IIaec locorum geometricorum divisio etiam translata est ad problemata ipsa, quorum alia plana, alia solida, alia denique lineria appellata sunt. Ex operibus Platonicorum et praecipuo Alexandrinorum, qui per Spatium temporis annorum sero C L post Platonem noruerunt, satis intelligitur, analySin geometricam et do trinam de locis geometricis magnam habuisso vim ad scientiam amplificandam. Sed ne latius, quam propositum nostrum sinit, proferamur, in capito Sequenti breviter modo commemorabimus, quae omitti non poterunt, ut satis intelligatur, unde factum sit, ut nostri pro blematis solverisimiliones, ab Alexandrinis inventae, longe aliam naturam et indolsem habe rent, quam Platonicorum.

32쪽

c.. VII. De ceteris illorum temporem seometrim incrementis.

Progressus geometriae, quos in capito superiore commemoravimus, omnes facti sunt illis temporibus, de quibus hic mentionem facimus, seculis quarto et tertio a. Chr. , ut ea tantummodo ejus selatis geometriae incrementa, quae ex nostro problemale non proximam Originem duxerunt, quae omnia, quatenus memoria eorum ad nos pervenit, clarissimis

illis viris, Euclidi c. 300 a. Chr. , Archimedi c. 2b03, Apollonioque c. 20M debentur. in hoc capite leviter perstringemuS. Euclides, qui teste Proclo scomment. in lib. t Euclidis cap. N; in vers. Barocii pag. 39J a Platonicis didicerat, Alexandriae postea vixit et, ut constat, libros XIII flibrionim XIV st XV auciorem habent Hypsiklem, A. 150 p. c.J elementa geometriae conlinentes conscripsit, ad quos componendos non modo opera et inventa majorum adhibuit verum etiam, ut geometriam in justam disciplinae formam redigeret, multa ab ipso inventa interposuit. In operibus ejus geometriam et analysin spectantibus, quae adhuc exstant agitur tantummodo de geometria plana, quae vocatur, et flereometria, ita tamen, ut nulla de nostro problemate mentio fiat. Num in libris perditis de sectionibus conicis in probi mulo illo versalus sit, id non constat. In analysi geometrica excolenda diligentissime versatus, librum .data inscriptum edidit, quemadmodum alium quoque librum de analysi. qui .porismataμ inscriptus est, conscripsit, quem quanquam perditum. ex fragmentis apud Pappum commemoratis, restituit Robertus Simpson Roberti Simpson opera quaedam reliqua.

Praeterquam quod Euclides primus analrsin excoluit. etiam usus est primus ea demonstrandi ratione, quae is reductio in absurdumμ appellatur, ut in geometriam introduxit . methodum eaehausturionisμ quae vocatur, quam postea Archimedes uberius excoluit schasles ap. histor. et cet. pag. 9J.

33쪽

Archimedes, qui apud Alexandrinos landamentis matheseos imbutus erat, primus rationem peripheriae ct diametri circuli approximatim constituit, et in sectionibus conicis verSalus, quum quadraturam parRbolae tum proprietates quasdam conoidum ex sectionibus conicis circumvolvendis ortarum invenit, quemadmodum etiam de spiralibus et helicibus bono disseruit Jossul p. 87 . Nullum autem solutionem problematis duas medias continuo proportionales inveniendi exposuit, sed ubi ad nostrum problema ducitur cv. c. de sphaera et cylindro lib. II probi. 2λ solutionem ejus tanquam jam cognitam non explicat.

Methodus exhaustalionis Archimedis supra commemorata in eo posita erat, ulpropOSilum, velut arca cum re, statuatur esse limes, ad quem areae polygoni inscripti es circumScripti, quorum numerus laterum aequalis est, eo magis accedant, quo major sit numerus luterum. Disserentia enim arcarum hoc modo magis magisque minuitur et quasi exhauritur, unde methodus ipsa nomen traxit. LDo methodo exhaustationis, quae erat veterum analysis

Optime igitur meritus est Archimedes, quod mathesin puram excoluit et auxit, et vel hanc ob causam dignissimus est, qui in gratam posterorum memoriam revocetur. Inprimis autem nomen Archim dis colobratum est, quod praecepta matheseos in usum Vitae communis convertere Studuit, quanquam ejusmodi conatus philosopho haud satis dignos ipse judicabat. Salis nolum est, quae sint diis hac in re merita, ut hoc loco lanlummodo comme-m0randum sit, Studio et exemplo Archimedis maxime attribuendum esse, quod mechanica in justum disciplinae formam redigi coepta est. Hoc quo minus fieret, antea philosophorum contemplus prohibuerat, qui Plutonem, quum mechanicas cubi duplicandi rationes reprehenis derct, non recte intellexerant. Apollonius Permus e schola Alexandrina, optime de doctrina sectionum conicarum meritus eSt, quam eo usque adduait, ut ne recentiores quidem novi quidquam, quod quidem alicujus momenti esset, prius adjicere poluerint, quam inventus est calculus disserentialis

34쪽

et integralis, qui appellatur. Praeter libros VIll de sectionibus eonicis multa alia opera, analysin geometricam maxime Spectantia, conscripsit, quorum tamen nullum, excepto illo quod est. de sectione rutionis, ad nos pervenit. De argumento libri de sectione rationis et perditorum Apollonii operum copiosius disputatur in: ,Bossut's Versuch einer ullgom. Geschichte der Mathematili, pag. 131.

CΑΡ. VIII. De mech unicis Aleaea drinorum rationibuA ilum medias continust proportior Iovi inteni ridi.

duum plerique eorum, qui rebus mathematicis operam dabant, exemplum Archimedis sequentes, praecepta Geometrica in Astronomiam, Opticam, Mechanicam ceterasque aries, ad usum vitae communis spectantes, conserre studeront, inter Alexandrinos Euclides et Apollonius, quos jam supra commemoravimus, sere soli cognitioni geometriae operam dabant. Accedebat, quod Ptolemaei, quorum do literarum studiis merita eximia memoria teneri oportet, propter bella, post mortem Alexandri orta, ad investigandas veras rationes machinas bellicus constituendi magnopere adhortabantur. Iam quum ad eas machinas constituendas problema das medias continuo proportionales inveniendi, maximi momenti esset, nemini mirum videbitur, quod plures mechanicae problematis inveniendi rationes exstant,aelate Ptolemaeorum apud Alexandrinos inventae. In his igitur solutionibus explicandis ali

quantum morabimur.

Do Eratosthene. Inter Alexandrinos, qui in nostro problemale solvendo versati sunt, primus nominandus est nobilissimus illo Eratosthenes Cyrenaicus cc. 220 a. Chr. n.J, qui ipse in epistola ad regem Ptolemaeum Euergelem, ab Eulocio integre, ut videtur, descripta, suam solvendi rationem exponit, ad quam conficiendam instrumentum constituit, quod postea intemplo donum cαναθε posuit. Hoc instrumentum, mesolabium appellatum, ita comparatum suisse traditur.

35쪽

gulata, AC, DE et FG, et ducuntur diagonales BD, CF et ΕΗ: tabulae deinde ita

nectuntur, ut, manente immola inedia DE, extremarum altera AC supra inediam, itera F G infra mediam promoveri posSit. 0uod instrumentum ad nostrum problema solvendum ita adhibuit auctor:

longitudo ipsius x abscinditur in recla II G, ulSint data recis a el b, inter quas duae mediae continue proportionales inveniantur. Si datarum major non est recta A B aequalis, quarta proportionalis in proportione a : b A B : x ope constructionis geometricae constituitur; lumsit Η Ι - x. Si denique rectangulae A Cet F G usque eo promoventur, donec cadunt puncta L et Ii, ubi Secantur perpendiculares D c et D E a diagonalibus F c' ot Η Ε', in eadein recis, in qua etiam sunt puncta Bel X. erit

Demonstratio. Si usque eo producentur recta BI set ΑΗ, donec se secant in puncto K. erunt:

q. e. d.

36쪽

Sunt igitur L D et M F mediae continue proportionales propositae, si sint ΑΒ a. el ΙΗ - b; sin minus, deinceps geometrico constituuntur quartae proportionales in proportionibus

a: p p rq q: b. Facile denique intelligitur, non soIum duas, sed etiam quotlibet medias conlinuo proportionales, mesolabio Eratosthenis constitui posse, si modo augetur numerus tabularum. Hanc solvendi rationem, quae nihil cum celeris veterum constructionibus commune haberet, tanquam ad usum aptissimam auctor comparavit, et ea de causa summa gloria et eximia admiratione apud veteres floruit. Quod tamen non probibuit, quo minus jactantia ei ostentatio ejus et a Veleribus et a recentioribus, jure, ut nobis quidem videtur, acerbissime reprehenderetur. Dcons. Eutocii comment. in lib. II Archimed de sphaera et cylindro

prop. 2 in editione Torelli pag. 1443. Pappi, colleci. mathem. lib. III propos. b. in vers. Command . pag. 8. JDo Apollonio, Herone, Philone.

Horum primum jam Supra commemoravimus; omnes, eodem sere tempore vivenies, mechanicas nostri problematis Solvendi rationes docuerunt; ipsae autem solutiones in eo tantummodo disserunt, quod opera mechanica, quae ad duas medias continue proportionales inveniendas adhibita sunt, non eodem modo perficiebantur, quum tres illi auctores in eo consentirent, quod S0lutionem in proprietate punctorum, intersectione circuli et hyperbolae ortorum, ponebanti Traditum est Pappi coli. mathem. lib. III. prop. IV in vers. Command. pag. 7)J Apollonium etiam geometricam problematis solvendi rationem edidisse, quae tamen intercidit; solutio aulem scriptoris illius mechanica haec est. mutocii comment. ad Archim, lib. u de sphaer. et erliner. prop. 2 in edit. Toret. pag. 1373J. 4.

37쪽

Dalae a et b, inter quas duae mediae continuo proportionales sunt inveniendae, angulum rectum ad punctum A comprehendentes describuntur, est igitur AB in aetAD-b. Tum conficitur reci. ABCD, et describitur diagonalis D B, quae in puncto E his- secatur. Centro puncto E describitur circulus, productas rectas D A et DC ita secans, ut puncta Η, Bot F in directo jaceant, id quod fiet, si regula, rectas H D et D F secans, usque eo movebitur circa punctum B, donec aequales factae erunt, quae a puncto E ad Η et F ducuntur rectae. Si denique ducitur recta HBF, erita: ΑΗ - ΑΗ: CF - CF: b Demonstratio videatur infra . Mechanicam nostri problemalis solvendi rationem, sere eandem atque Apollonii, abuerono Alexandrino inventam, explicat ipse auctor in libro δελοπιγιητικῶν LTliev. vet. mathemat. opera Parisiis 1693) pag. 143J, quum etiam commemorant Pappus Icolleci. mathem. libr. III prop. b cin vers. Commandini pag. 93J ct Eutocius scomment. ad Archim. de sphaera et cylindro, lib. Il prop. 2 in editione Torelli pag. 136)J. Solutio autem Horonis haec est: Dalae a ct b, inter quas duae mediae continue proportionales sunt inveniendae, angulum reclum ad punctum A comprehendentes describuntur; est igitur ΑΒ m a et AD b. Tum conficitur reet. ABCD, ct describitur diagonalis DB, quae in puncto E bissecatur. Regula deinde ad punctum B applicata usque eo movetur, donec productae recis D A et

De vita et operibus Heronis, videatur ReImerus Cap. XIV.

38쪽

Demonstratio ).

Eodem modo demonstratur

atqui sunt

q. e. d.

Etiam Philo Byzantinus ' , qui ob scientiam rerum mephanicarum apud veteres magno in honore erat, erius autem opera, libro quarto et quinto exceptis, interciderunt, in libro quarto, βηλοποιικα inscripto sThev. vet. mathemat. opera Parisiis 1693 pag. 52J, mechanicam quandam rationem duas medias continue proportionales inveniendi, a se inveniam. enarrat; demonstratio autem, quae in libro primo, qui non exstat, explicata suerat, illo loco non tradit, quare Eutocium scommenti ad Archim. lib. II de sphaer. et cylindr. prop. 2 in odit. Torret.) pag. 136J sequentes illam Philonis solutionem exponere conabimur. llaec demonstratio pertinet etiam iid solutionem Apollonii supra traditam. Non est, ut vult Reimerva pag. l07 , ille Philo Architectus, qui tempore Demetrii Phaleraei cire. 30o ante 4'hr. floruli.

39쪽

Datae a et b, inlor quas duae inediae continuo proponionales sunt inveniendae, angulum rectum ad punctum A comprehendentes describuntur; est igitur ΑΒ - a el AD - b. Tum conficitur reci. ABCD. et describitur diagonalis A C, quae in puncto Ε bis- secatur. centro puncto E, radio vero Ε A, describitur circulus, qui per puncta A, B, C et D transibit. Regula deinde ad punctum B applicata, et semicirculum ΑΒ C secans, usque eo movetur, doneo productae rectae D A et D O .ita secantur. ut fiat Η Κ B F. Si deniquo ducitur recta Η Κ B F, erit

Demonstratio.

Facile intelligitur, reclam ΗΕ, si constituitur ΗΚ BF, aequalem esse rectae EF ut ratio Philonis problematis nostri solvendi, ab illis Apollonii et Heronis prorsus non disserat. 0uum porro puncta Κ et B sita sint in hTperb0la aequilatera, cujus assymptotaemni It D ei DF id quod facile demonstrari potest' jure fortasse suspicari licet. tres

40쪽

illas mechanicas nostri problematis solvendi rationes, quas, ut mira sane earum stlsinitas eo magis appareret, verbis sere iisdem exponere conati sumus, ex illa vere geometrica, ab Apollonio inventa. ratione originem duxisse. llaee sere sunt, quae de Alexandrinorum mechanicis nostri problematis solvendi rationibus tradunt historiae matheseos scriptores, nec ullum matheseos purae incrementum ab illis studiis proseclum esse Recepimus.

De rationibus seometricis duas medias continue proportionales inleviendi, in aliis curvis atque sectionibus conicis positis.

Iam supra e. VI commemoravimus, problemata geometrica a veteribus in plana, solida lineariaque divisa esse, prout ad ea solvenda aut recta cum circulo, aut conicae sectiones, aut curvae quintam aliae adhiberentur. Unde factum est, ut etiam quaererelint, utrum nostrum problema ad plana, an ad solida, an ad linearia problemata esset reserendum. Rationes duas medias continue proportionales inveniendi, quae in locis planis essent positae, necessario mechanicas esse, jam Plato intellexit, quare etiam discipulos et familiares adhorlabatur , ut curvas, ex solidis sectis ortas, diligentissime exquirerent, et supra eommemora-A Η : M II in lF r c F; praeterea gunt K I t u C - ι F i C FA B i Η Κ - A Η i H Η, unde An i MK - Κ i r B C, sive D c t D l - Κ i r n C, unde