장음표시 사용
21쪽
Tres regulae PQ, 0 R el RS inter se arcte conjunguntur, ita ut ad 0 ct B anguli efficiantur recti; alia deinde regula mobilis T V sie transversim coli catur, ut, dum movetur, anguli ad T ct V conserventur recti.
Hujus instrumenti ope inter datas a et , duae mediae continue proportionales ita inveniuntur: In puncto B, lineae AB M a, erigitur perpendicularis B c b; lum instrumentum ita collocatur, ut transeat recta im per punctum C, et eo Mque cim cumagitur, dum et simul movetur remi a TU, donec positum est punctum m in recla A B productu, o punctum k in B C producta, denique transit recta n k per punctum A. Quo facto, si sila est recta i in in C Ε, punctum m in Ε, punctum k in D et recta kn in D A, ob triangula reclangula AD E et D Εc, essicietur:
Ne sorte mireris, quod ipse Plato, quum reprehenderet discipulos, qui in solutionibus mechanicis inveniendis verSarentur, rationem prorsus mechanicam ad duas medias continue proportionales inveniendas adhibuerit, Rei merum sequentes addimus, Platonem in solutione
Vide Rei meri hist. probi. de cub. dupl. pag. 45, ubi etiam, sed ut nobis videtur nullo jure, in dubium voratur, num aolutio Illa mechanica sit Platoni attribuenda; hanc rem autem eopiosius disputare non alnit Propositum nolirum.
22쪽
sua mechanica tradenda illud sorsitan spectasse, ut, quum hae Archris et Menaechmi cubi duplicandi rationes, do quibus infra mentionem faciemus, in usu essent dissiciliores, rationem quandatii problematis solvendi ad vinos vitae communis usus aptam vulgaret. Arehytas. Qui omnium primus ex justis geometriae legibus rationem nostri problematis solvendi invenit traditur suisse Archytas, clarissimus ille Pythagoreorum philosophus, summus imperator Tarentinorum ei amicus Platonis. Batio ejus cubi duplicandi ab Eutocio scomment. in Archim. lib. II do sphaer. et 'lindr. prop. 2; in ed. Torct. pag. 143l tradita, haec est.
Sint duis rectae m et n, inter quas duae mediae continue proportionales inveniantur. Diametro ab m describitur semicirculus a c b, et abscinditur chorda a o n, quae producta ad d tangentem in puncto b creetam secabit; tum semicirculo ae bsuperstruitur semierlindrus rectus, cujus sectionem perpendicularem ostendit geometrica, quae appellatur, delin uo Fig. M. Diametro vero a b, et basi semi lindri ad angulos rectos, ponitur Se circulus a ob Fig. a . Hic igitur semicirculus, si manente diametri termino haφ a puncto b versus o circumagitur, Superficiem cylindricam secabit,
et lineam quandam curvaturae duplicis in ipsa describet quae sit forma ejusmodi curvae ostendit linea ale b Fig. a). Rursus vero, si manenio diametro ab circumagitur is a b d, motu, qui sit
illi semieirculi ca Ob) circumacti conuarius, 1 efficiet conicam supersciem recla a d, 2 describet semicirculum coo Fig. b) punctum O, 3 et nascitur denique intersectione
23쪽
semicylindri et coni linea duplicis curvaturae koi Fig. a , quae in puncto ali νο eum curva, in Supersicie Ἱlindrica motu illius semicirculi deseripta, concurret. Habeat aulem, ubi hae curiae coneurrunt, promolus Semicirculus eundem silum, qualem Reb . triangulus vero eX adverso circumactus eundem qualem ab d ; puneium denique in quo concurrunt Sito Fig. a et Fig. b). Α puncto e in superfieio semieylindri filo, demittitur denique Pe pendicularis o s, cujus terminus s, quia rectus est cylindrus, occurret peripheriam Semicirculi a c b. Si demum ducitur recta e s erit Fig. b)ab : ae ae r at as : ac Fig. b. Do monstralio Fig. b). Ducuntur rectae a b , s c et c' g, quae oti nes
sitae sunt in plano aeb . Quoniam porro uterque semicirculus aeb et cc es plano ac b Gl perpendicularis, communis quoque ipsorum intersectio eidem plano est ad angulos rectos; cril igitur e grectis a s ct c c' ad angulos rectos. His prae' missis primum est demonstrandum
24쪽
m et ne au: si as: n. q. e. d.
Quanquain hanc rationem problemalis Solvendi usui vitae communis, quem niaximo videtur spectassu Arcti Tlas, idoneam nequaquam judicare possumus, ex ea tamen elucet insignis sagacitas et sublimo ingenium auctoris, quem etiam veteres ob celera ejus inventa, ad usum vitae communis imprimis comparata, maxima laude et eximia admiratione celebrarunt.
t Huralii lib. I. Od. 28. Vitruvii lib. IX. cap. 3I.
Menaechmus. Quam viam nobilissimus ille Tarentinus in nostro problemale solvendo ingressus erat, eam ceteri quoque philosophi a Platone prosecti seculi sunt, qui omnes solutionem in curvis ex solidis sectis Ortis ponebant. Inter eos autem imprimis laudandus est Mena'Mimus, qui, postquam in disciplina Eudoxi in familiaritalem ipsius Platonis pervcnit, primus sectiones conicas ab ipso invenias ad duas medias continue proportionales inveniendas adhibuit. Quum autem de illis sectionibus postea copiosius dispularo nobis in animo sit, non est, cur hic plura dicantur. Itaque hoc loco tantummodo duo theoremata, in quibus Me- mechmi solutiones pusitae sunt, commemorabimus. Sunt aulum theoremata haec: Si a quolibet parabola puncto demittitur recla, ipsi axi ad angulos rectos, erit quadratum hujus aequale rectangulo, quod sit ex latere recto et ea recla, quam
25쪽
ex me verticem versus linea a puncto parabolae demissa abscindet. Vel, ut more recentiorum loquamur,
lib. II de sphaer. et cylindr. prop. 2; in ed. Torol. pag. 141J. Sini datae duae rectae a, b. Oportet autem duas inter a, b proportionales medias invenire. Inventae fuerint: eaeque sint y et x Εxhibeatur autem recta AL positione data, eademquo terminata ad punctum A: ponaturque ad id punctum ipsi x aequalis Α Κ: olducatur ad angulos rectos I K, eaque ipsi T aequalis fiat. Quoniam igitur tres proportionales rectae Sunt a , T, X, Spatium, quod sub B, X continetur, aequale est quadrato, quod a y describitur. 0uod igitur spatium continetur sub data a et x, hoe est Α Κ, id quadrato aequale est, quod describitur a F, hoc est a I K. Itaque punctum I in parabola est per punctum A descripta. Ducuntur parallela: IG ct G A. Et quoniam datum est spatium quod sub Τ, x continetur; quippe aequato ost illi, quod sub a, b; Spalium quoquo datum ost. quod continetur sub G IX. Itaque punctum I in hyperbola est descripta inter asymptotasA G et A K. Datum est igitur punctum I; atque adeo etiam X.
26쪽
Componitur autem problema hoc pacis. Sint datae quidem reciae a el b; qua vero positione data est A L, termictis ad punctum A; et describitur per pun tum A parabola, cujus quidem axis A M.
rectum vero figurae latus a. Quae autem
ad rectos angulos ad A L ducuntur, po sunt δυναρθωσαν) spatia, quae ipsi a a plicantur, latitudinemque habent rectas, quae ab ipsis ad punctum Α abscindu tur ). Describatur, eaque sit AI: et sit Α G ad recios angulos. Describatur porro
inter assymptotas G Α et Α L hyperbola, a qua, si rectae ducantur ipsis G Λ ei Α Κ parallelae, spatium conscient ei aequale, quod sub a ct b continetur: alque luec quidem hyperbola parabolam secuerit. Secet in puncto I; et ducantur normales GI ct I K. 0uoniam igitur quadratum, quod a IK describitur, aequale est spatio, quod sub a ct x continetur, ut a ad I Κ, ita se habet IK ad K A. Rursus quoniam spatium, quod sub a et b eontinetur, aequale est spatio. quod continetur sub IK A; ut a ad I Κ, ita se habet Α Κ ad b. Ut autem a ad I Κ, ita se habet IK ad Λ Κ. Igitur etiam ut a ad I Κ, ita se habet IK ad AK, et A K ad b. Ponatur ipsi I Κ a qualis y, et ipsi ΑΚ aequalis x. Ut igitur a ad y, ita se habet I ad x, et x ad b. Igitur a, F, x, b deinceps proportionales sunt. Quas invenire
Sententia hujus to ei haec exta Quae autem recta ad angulos rectos ad AL ducitur, v. e. Κ, Hua quadratum inquiae gal δ-ας θωσαν δ m tangulo, quod ipsi a applicatur, latitudinemque habet reosam, quae ab I K ad punctum A abscinditur.
27쪽
0pe duarum parabolarum se invicem secantium inter duas datas duas medias continue proportionales ita constituit MenaechmuS. Si notant 7 et x duas medias continuo proportionales inter datas a et b, erita. Υ T: X - x: b, undo γ' - ax, et x Fb. 0uarum aequationum altera indicat, y et X esse coo dinatas parabolae, cujus parameler PSt R; Bllera vero, x et 3 simul esse coordinatas parabola . cujus para- meter est b. Problema igitur ita componitur. Ducuntur rectae A L ct A L , se invicem ad angulos rectos secantes; tum, Vertice
puncto A et axe Λ L, constituitur parabola A D, cujus parameler est a; vertice deindo puncto A, axe vero A L , altera constituitur parabola, et iis parameter est b. Ex puncto I denique, ubi se secant purabolae, ducuntur, axibus ad angulos rectos, rectae I Κ et I K .
si nunc ponitur I K r et A Κ - x, erit
cujus rei demonstratio facile elucet. Inter discipulos Platonis, qui in nostro problemato solvendo versabantur, etiam nominandus est Eudoxus, Aeschinis filius, nobilissimus ille octacdridis auctor, qui clementa geometriae conscripsit, et doctrinam proportionalium insigni acumine tractavit, quemadmodum doctrinam quoquo solidorum multis theoremalis novis et gravibus auxit, velut hoc, quamlibet pyramidem partem esse tertiam prismalis, quod eandem alquo pyramis basin haberet eandonique altitudinem. De cono et cylindro, eandem altitudinem habentibus, simile theorema proposuit inrchim. in praes. lib. I de sphaer. et olindr.; in ed. Toret. pag. 64J. Ad nostrum autem problema solvendum proprias quasdam cumas Eudoxus, solida secando.
28쪽
excogitavit, quarum ortus et indoles plane ignoratur, et in quibus adhibendis auctorem valde errasse Eulocius tradit scomment. in Archim. lib. II de Sphaer. et ni indr. prop. 2; in ed. Torch pag. 13bI. Haec sere sunt, quae de conatibus Platonis ejusque discipulorum, in problemato duas medias continue proportionales inveniendi, tradita sunt; quanquam non dubium est, quin conicae illae sectiones, a Menaechmo consillulae, mullis et variis modis ad problema solvendum adhibitae sint. Aristaeus quidem, qui quinque de conicis libros edidit quos imprimis Euclides secutus esse dicitur), totidem de locis solidis, qui ad problema solvendum postea adhibiti sint, conscripsisse dicitur; num autem Aristaeus ipse in hac ro elaborarit, non constat LPappi collectiones mathematicae; in versione Commandini Bononiae 1660 pag. 7J Ex iis, quae jam tradita sunt, salis intelligitur ingenium insigne et sagacitas sublimis philosophorum Platonicorum, ut vel ea de causa illi conatus digni sint, qui in gratam posterorum memoriam revocentur ; quod magis etiam elucet, si respiciuntur permulta non modo theoremata Singula, sed etiam rationes geometricae prorsus noVae, quae a Mudiis ad probleina cubi duplicandi pertinentibus originem duxerunt.
Ut jam cap. IIIJ ostendimus, Hippocrates Chius, amplius L annos anto Platonem. primus docuit, quomodo transferri posset problema geometricum in aliud quoddam, quo soluto, propositum etiam solutum esset. Hoc inventum volut aditum in analysiii geometricam patefecit. Quod Hippocrates bene inceperat, id philosophi Platonici ad culmen perduxerunt, qui, quum in nostro problemate inprimis versarentur, veterum anesysin geometricam excolebant. Ralio illa quaestiones geometricas instituendi, cujus exemplum exstat solutio prima Menaechmi in capite priore tradita, quae, quum propositum quasi inverse Solvatur, ex ἄ-παλιν λίσις - solutio invorsa - nomen traxit, ex hoc igitur constat, ut propositum, si theo-3.
29쪽
rema est, verum eme, sui, Si problema est, Solulum esse statuatur, et deinde quaeratur, quae ex eo sequantur; ex inventis deinceps colligitur, donec statutum est aliquid, quod, si theorema est, utrum verum sit an salsum, Si problema est, uirum solvi possit necne, dubitari non possit; et ex natura ejus, quod erit postremum inventum, intelligetur, num propositum sit verum aut solvi possit. Ex sine anat Iseos, qui, Si de theoremalis quaeritur, est axioma aut theorema jam demonstratum, si de problematis, postulatum aut problema jam solutum, deducitur synthesis theorematum et constructio problematum, quae Semper cum analysi conjunctae fuerunt. Synthesis in eo posita est, ut, ex fine exiens, viam analyseos inversam Sequare, donec postremo ad propositum perVeniatur. Denique veteres analysin theoreticam, qua inquiritur, num verum sit propositum, et problematicam, qua inquiritur.
num fieri possit propositum, distinguebant: alleram igitur in theorematis, alteram in problematis investigandis adhibebant. ΓΡappi praes. in lib. VII. in edit. Command . pag. 24M.
Iam veteres videbant, qui in nostro problemale solvendo diligentissimo versaban-
tur, problemata, ad quae analysis duceret, ope rectae et circuli omnino non geometrice solvi posse ); quare nova adjumenta esSe invenienda. Ita Primum suctum est, ut animi philosophorum ad curvas ea solidis sectis ortas, converterentur, et, ut jam commemoravimus, omnibus hac in re Archytas praestitit, quem seculi sunt Menaechmus, Eudoxus, Dinostratus, reliquique ejus telatis philosophi, qui omnes, quum in nostro problemato lum in problemate anguli trisecandi ') solvendo versantes, solutiones vere geometricas in sectio-
Verisimile est, Platonem hoc primum Intellexisse. qui primi curvas ex solidis seriis orla conspira lux esse videtur; in Aectionibus autem investigandis non ipse operam dabat, sed studia discipulorum huc pertinentia regebat. sitetmerus, De cubi duplicatione. Cap. VlJ. 'a illud quoque problema prius propositum est, quam sectiones conteae sunt in Uentae, quemadmodum etiam a philosophia Platonicis una cum nostru problemate inquirebatur. Pappus sin mil. mathem. lib. IV prop. 31-M: In vers. Command. pag. M et sequ.J duas tradit solvendi rationes. quae positae sunt in interseelione hyperbolae et ei reuli.
30쪽
nibus solidorum p0nendas esse judicarunt; unde factum est, ut indoles illarum sectionum diligentissime inquireretur. Inter discipulos Plutonis, qui ex sectionibus solidorum optime meriti Sunt, praeeipue nominandi sunt Eudoxus Cnidius et Menaechmus, quos jam supra commemoravimuS. Alter curvas quasdam, ex cilindro Secto ortas, invenit, quarum indoles et natura ignoratur; alter, qui ad problema nostrum Solvendum Sectiones conicas adhibuit, primus in geometriam curias illus introduxit, quarum inveSligatione mathesis postea lania incrementa cepit. Menaechmus autem Sectiones conicas non eodem modo constituit, quo Apollonius et qui eum secuti sunt mathematici. Desiniebant enim philosophi illius temporis conum ita, ut dicerent, conum describi, Si circumvolveretur triangulus, quum alterum corum laterum, quae circa angulum reclum Sunt, immotum maneret. Hoc latus immotum trianguli, si est aequale alteri lateri ad triangulum rectum, conus rectangulus, sin autem minus ultero illo latere, obtusiangulus, si denique majus, acutiangulus conus oriri dicebatur. Menaechmus igitur conum hoc modo constitutum plano per axem transeunte secuit; quo laeto triangulum isoscelem effectum iri intellexit. Deinde alteri hujus trianguli cruri ad angulos rectos aliud posuit planum conum secans, et proprietates hujus sectionis in variis conis inquisivit Sectio ita in cono rectangulo constituta appellata est coni rectanguli sectio sparabola ; in obtusiangulo, coni oblusianguli sectio hyperbola); in acutiangulo doniquo, coni acutianguli sectio ellipsis D. Rationem Menaechmi sectiones conicas constituendi Seculi, ceteri post eum philosophi in singulis conis unam lantummodo inesse sectionem conitam judicabant, quum Apollonius c. 200 a. Chr. omnes illas sectiones in quolibet cono ines,e Statueret, prout planum secans varie esset positum inlinet. mathematisches Worterbuch, 3ter Th. pag. 22. Art.: Zur Ge- schichte der KegelschnitteJ. Quot et quales proprietates sectionum conicarum si ipso Menaechmo inventae et demonstratae sint, non constat: sed ex iis, quae supra de ejus cubi duplicandi rationibus
) Nomina parabola. superimia, ellipsis, quae apud Archimedem primum in v niuntur Pectant. ut constat, Bd eas Proprietale sectionum conicarum . quas exprimunt a quationes: v - ἔ y' παux lix'; ax - hx . Uireulus inter sectiones coni eas non adnumerabatur.