Acta mathematica

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AR. TRES SE.

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La thhori dos quation diffsirenti elles a neor fourni 'in thressantes application des invariant disterentiol ii M. ΑΡΡΕL et IuguΕΑΠ guria transformation des quation de a forme

par a transformation

ou fur de cas particulier de ce problomo k M. OGER IOUVILLA'. suria transformation onctuselle de 'si quation:

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Sur es invarianis diffsirenti eis des groupos continus de transformations. 3

chaque eas, des prochdsis, puram ὐtres dis Vrentiel ou op ration invariantes, permetiant, tant Connus des invarianis, 'en sidui re de nouueau X et que, tant dolor miri uri noua bre fini 'invarianis, on e ut par es Prochdhs, obtent totas es utres It en rosulte que les conditions hcessat res et suffigantes pota que deii multiplicith de mome nature uissent seramener 'une ii 'autre par ne transformation dii roupe, soni hfinies par ulmi Ombre neore limit de me invarianis.

Ce ravat os divis en trois partitis. Dunscia premiore, 'otablis uiae proposition fondamentale our a sui te, savoir que 'situ de 'un systhmed siquatioris au dhri vhes partielle se siduit oujour ii cello,'un nombre sint 'siquatioris; puis, e ruppelle os propositions sinhrales de M. LIE, fur es rota pes si finis par de systhmesta'siquatioris au derivhes partielles, groti pes que 'appelle roupes de te.

Dans a seconde partio, e montre Comment les invarianis 'une

multiplicit se sidui sunt in insidiatomon do equations de desinition dugroupe, et e rappelle comment M. LIR, partant de transformutions in- sinit simules, obtient es invariant par 'inthgration de systhmes complets. Puis 'htablis lex propositions concernant lex systomes finis 'invarianis. Ensin, dans a troisio me partie, e montre Comment a notion 'invariant isthrentio ς' identis aveo celle de forme r duite celle-ci potivunt mome uider te calcul des invarianis de termine par a siterminationdes invarianis 'une sursaco, par apportisu transformations Conformes de 'espace, 'une pari, et u transformations projectives, 'autre pari; puis, par celle des invariant dri. obtenus par ne voto to ut diffsir0nte par M. OGER IOUV1LL duris se probio me illi a traith. J'at entropris e re herches fur es conseil de mon tros illustre mattre, M. SOPHUS LIR, qui 'a initi ii se thhortes si secondes et viij ourd 'hui si vastes des roripus de transformations. Qu'il me sol permis de lui uia exprime ici a plus vive reconnaisSaneel

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Si ne tello multiplieit sati fuit ii ne ii lusi eurs quation auXdsirivsies partielles, entro es X les a et eurs sirivsies, elle satisfait ussi aiax quations qui 'en siduisent par ditarentiation. En 'silevant auxor tres Suphrieurs, on obtient de a sorte uia nombre illimith 'siquations; si on ne considhre pus cellos-ci comine distinetes de premiores, lieud se demander 'il petit exister de systomes comprenant uti noui breillimit d si quations insi distinctos, et 'il petit se isto des multiplicit sis definies comine solutions de puretis systῆmes illimitῆs 'si quations. Xous verrons ii ii 'en est ien Par Xemple, on ait que lacondition sices atre et sum sante poli que tu solution hiisirale 'unsysthme loquation aiax hi iubes partielles ne si pende que 'un om bresini de constantes arbitrui res est que 'on uisse ii 'aide de es quations 0Xprimer outes es hi ivbes 'uti certa in ord re des , en senetion desdorix sies 'or ire inseriour, des m et des z. Un paret systo me est sicessui rument limith. a. Consi throns 'ubori tu eas impio 'uno seulo sonetion a d deuX variabies, ae et , dbfini par uti systo me donlisi 'bquutions aux siri vhes

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Sur clos invarianis diffsirenti eis des inroupes continus de transformations.

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L nombre des siri vhes qui ne figurent pus dans es premier membres, pota uia or ire siterni insi, est lor constant uel que Soli et Ordre, t

svivant et te iste, on petat metire es quations 'uti home ordire Ii que comprend e SySthme, Solis ne forme canonique, 'est-k-dire, era es hsol-

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Sur os invarianis ditiarenti eis des groupes continus do transformations. 7

une n lusi eur fonctions notavelles E, et insi de sui te. Finalement, naura dans es premier membres, outes e fonctions , apro quoi en o utant eneor ian nombre sint 'siquation nouvelles, ora arriveratio X-

Comme dans des eas prhesideriis, in ressera ne iste des bri vhes 'unmsime ordre, en rangeant les siri he de i , i, h. Sili Vant te indicescit heroissanis, celles ab ant monae indice oti, vivant les indices , 6-croissanis, et in si de sui te, et de monae poli te sonetions sui vantes z, . . . . , . 'n Pro Cette iste, it S en ore possibi de titire se si quations 'ord re i solis ne forme canonique se conservant par diffsirentiatiora: