Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

13쪽

Methodus inueniendi infinitas curuasi operimetri S conamuni proprietata praeditaS.. Auctore Leon: Eulem pag. 3.

.uaestio hic non parum ardua euoluitur , qua intodatos terminos infinitae lineae curuae , Vel eiusdem longitudinis, vel alia quadam proprietate

Communi praeditae , requiruntur occasonem huius

inuestigationis suppeditauit famosissimum illud problema Isoperimetricum , quo in terr Omnes, sineas, quas, quidem intra datos terminos concipere licet, quae vel sint eiusdem longitudinis, Vel alia quadam communi proprietate gaudeant, eam determinari oportet, quae vel maximam aream includat , Vel alia quadam maximi minimiue proprietate reliquis antecellat. Hic igitur manisesto assumitur, dari utique intra propositos terminos infinitos ductus curvilineos, quo omnes, sint eiusdem longitudinis , vel aliam quandam proprietatem habeant communem , quod quidem minime est dubium , cum quaestio non solum circa lineas curuas continuas, sed etiam discontinuas, seu quocunque manus ductu describenda , versetur Veluti si intra datos duos ter. a minos

14쪽

minos arcus circularis proponatur, non solum innumerabiles aliarum curuarum C Utarmaraim alcile, mira COS

clem termino aeque longi astigΠ.im possunt, sed si etiam tractu, curviline irrc laeto a mittantur, Cium numerus multo magi in itfinitum augetur. In probemate quid na loperimetrico non 'pia, est hos tractus curvilineo omnes nosse, d euiodu, si gulari artificio ita est comparata ut uter O, Ombo ctiamsi sint ignoti, is cui maximia minimi ue quaevom proprietas

conueniat, inuestigari possit electionem scilicet nititueis re licet, etia si omne res , inter qua est Iagendum , neutiquam sint cognitae , quod certe insigni nostro commodo accidit; si enim ad hanc lecatonem requi Teretur . t omnes lineae illae eiusdem longitudinis essent perspectae, lurimum adhuc a lutionc istius Pulcherrimi problematis, quod nomine is,perimetrici innotuit, essemus remoti . Interim tamen haec specu lati , qua intra datus terminos infinitae quaeruntur lineae curuae, quae Vel omnes longitudine sint aequales, vel alia quadam conmuni indole praeditae, maxime est notatu digna, cum ob alios su in Geometria sublimiori haud contemnendos, tum Vero praecipue ,

quod haec pia inuestigatio maximis difficultatibus est obnoXia. Iam olim enim Geometrae ingent studio in Jhoc elaborauere , Ut proposita linea curua alias eiusdem longitudin js Xplorarent; neque tamen ipsis opum attingere licuit. In hac autem dissertatione Cel. Auctor Omnia huiusmodi problemata solicissimo successu resol xit, idque ope methodi Omnino ingularis, quam quasi methodo Diophanteae ranalosam iam pridem . in

Analysin

15쪽

Analysin sublimiorem introduxera eiusque iam pia rima insignia ediderat specimina.

De integratione aequationis disterentialis

In hac dissertatione AEt nonnullis sequentibus, qui

bus simile argumentum pertractatur quasi nouus plane campus in Anabsi aperitur, integralia diuersarum sermularum , quae per se omnem integrationis solertiana respuunt, inter se comparandi Cum enim spe notaucomparationis angulorum aetatis inter binas variabiles et huic aequationi differentiali, ΣΞὰλ iconueniens algebraice exhiberi queat , et si traque sormula per se algebraice integrari nequit, sed angulum, seu arcum circularem , exprunit . haec relati ex eo tantum fonte petita videtur, quod angulorum datam et quidem rationalem rationem tenentium sinus algebraice inter se comparari possunt Neque talis comparatio locum habere videtur, misi ambae Drmulae, siue set angulos, siue per togartihmos , integrari queant Quoties quidem lutio cuiusquam problematis ad huiusmodi aequationem differentialem X dae Yo , an qua msi sunctio ipsius et Y ipsus a tantum perducitur , ea, quia variabiles sunt a se inu cem separatae, tali. quam

16쪽

quam penitus absbluta pectari solet, cum ope quadrKturae duarum cumarum , quarum alterius area per j X ais,

alterius cryYo exprimitiae, construi possiet. Verum pro dato quovis valore ipsius X, Valor ipsius y conveniens assignari debeat , id tramque quadraturam im cluere videtur , sine qua relati inter x et mini exhiberi queat. Multo magis igitur mirum idebitur, cum talis Drmulae T. o integrala, neque per ang ros , aeque per dogarithmoS, exprimi possit , quam quantitate transcendentes ad comparationem solae idoneae putantur , mihilominu pro aequatione differentiassi proposita relationem 4nter X et 3 algebraice exhiberi posse: ita H linea Curva is aeuius arcus indefinites hacisormula integrali fkl: primitur, pari proprietve,

ac circulus, si praedita , ut scilicet omnes eius arcus iRter se comparari, seu , proposit in eo arcu quocimque, alius arcus , qui ad eam datam teneat rationem , geometris assignari queat. Ne quod eodem edit, aequatio integralis aequationis inerentiali pr0positae, quae xeram relationem inter x et 3 Xprimit , non lumnon tale integrale inuoluet, sed adeo erit algebraica. Atque hoc quidem non tantum pro casu quodam particulari, Nerum ade 4ntegrale compiletum , quod quantitatem conitantem arbitrariam complectitur, erit algebraicum. Neque vero talis cymiranda ipsi ratio in ipsa tantum aequatione iisseremiasi locum habet. sed

simili omnino modo Cel. Auctor ostendit lianc aequationem difirentialem multo latius patentem a ris2 cae , - of per aequationem algebraicam complete

17쪽

integrari posse, si modo numeri me sint rationales; quin etiam eandem integrandi methodum ad hanc aequationem multo generaliorem extendit:

ubi in denominatoribus radicalibus omne potestates ipsarum X et ad quartam Vsque Occurrunt. Hinc suspicari liceret, etiamsi hae potestates altius ascenderent, integrationem tamen algebraicam adhuc locum esse habituram sed praeterquam quod methodu Auctoris in ipsi potestate quarta terminatur, facile ostendi potest in potestate certe sexta algebraicam integrationem in genere excludi. Si enim coefficientes ita accipiantur, ut radix quadrata extrahi queat ex hoc solo casu HE euidens est , relationem inter X et a nequaquam algebraice XPrimi posse, cum utriusque brmulae integrale, tam angulum , quam Ogarithmum, inuoluat; anguli autem et logarithmi certe inter se algebraicecomparari non patiuntur. Interim tamen peculiari modo integratio huius quoque aequationi8 v K--B: D cfata v K IU , a,,ο algebraice Xhibetur, Inde patet, hanc dissertationem multo plures inuestigationes continere , quam titulus quidem prae se ferre videtur. Nov. Comm. Tom. VI. III.

18쪽

Obseruationes de Comparatione arcuum curuarum in ectificabilium. Auctore Leon. utero p. 8-

Haec Dissertatio ex eodem nte est petita atque

antecedens. Utraque enim innititur methodo formulas integrales , quae neque algebraice , neque per angulos, Vel logarithmos, expediri queant, algebraice inter se comparandi. Methodu autem ipsa , qua O- tum hoc negotium conficitur, ita est comparata , Ut non data opera sit inuenta, sed potius brtuito quasi de-κcta , ex quo cum ad inuentiones Ita abstractissimas perduXerit, maxime digna videtur, ut omni studio uberius excol itur. In superiori quidem dissertatione hoc iam est praestitum, ut omnium curUartim, quarum arcus indefinite huiusmodi brmula integrali f. 1 3Σ cΣ DΣ - ΕΣ e primuntur, arcus quicunque inter se comparari, ac dato arcu quouis alii arcus ad eum datam rationem tenentes geometrice assignari queant, simili omnino modo quo arcu circulares inter se comparari solent. Tali autem proprietate gaudet curua lemniscata Iocari latita , cuius arcus indefinite hac sermula δ; Π Xprimitur, huiusque arcuum comparatio in hac dissertatione prolixius explicatur. Praeterea vero Cel. Auctor inuestigationes suas ad arcus ellipticos et hyperbolicos extendit, in quo noua Omnino vis illius methodi cernitur, cum recti fi catio ellipsi, et hyperbolae nullo modo ad formulam integralem ante commemoratam reuocari possiti meque

19쪽

vero etiam in his curuis comparatio rarcuri uti in circulo , institui potest sed , quod iam si icor in arcubus parabolicis est factum , id nunc et iona istius mo- vae methodi benefici in ellipsi et hyperbola praestatur. Scilicet dato in altera curua arcu quocunqE PUncto etiam dato semper alius arcus in eadem curua abicindi potest , cuius ab illo differentiam geometrice rasi gnare liceat tum vero etiam negotium ita confici potcst , ut non ipsorum arcuum , sed quorum uis eorum multiplOrum differentia fiat geometrice assignabilis, idque ita, Vt arcus quaesitus a dato puncto incipiat omissa autem hac conditione, ut arcus quaestus in dato uncto terminetur, et Eci potest, ut differentia vel ipsorum alcuum, et quorumdam multiplorum eorundem evanestat, sicque arcus assignari queant , qui absolute datam inter se teneant rationem. Atque hinc cistud probΙema maxime notatu diguum resistui potest , quo datus quicunque

arcus, siue ellipticus, siue hyperbolicus, cita secari iubetur partium differentia aeometrice assignabilis euadat. Sub finem animaduertit Auctor , quam insignia incrementa in Analysi infinitorum hinc expectari queant, cum inde eiusmodi aequatjonum differentialium . quae nulli alii methodo cedant. intergratia indein algebraica assignari possint.

20쪽

De problematibus indeterminatis, quae videntur plus quam determinata. Auctore Leon. Eulero p. s.

Argumentum huius dissertationis omnino est nouum

atque insignem promotionem analyseos indeterminatae , quae Vulgo methodus Diophantea appellari solet, polliceri videtur, siquidem summi uteri vestigia premendo omni studio uberius excolatur. Primum autem accuratius hic definitam cernimus indolem problematum indeterminatorum , qualia quidem Diophantus pertracta- it, quae Vulgo perperam innumerabiles solutiones admittere videntur. Natura scilicet cuiusque quaestionis ex sua ipsius indole potius, quam e solutione , quae initio nondum constant, diiudicari debet. Ita dantur quaestiones nullam plane solutionem admittenteS, quae tamen nihilominus ad indeterminata sunt reserendae veluti si quaerantur duo ubi, quorum summa sit cubus, Vel quatuor quadrata , in arithmetica progressione. Postquam enim diu multumque in his soluendis fuerit elaboratum , tum demum agnoscimus, nullam solutionem dari, quod aurem non impedit, quo minus istiusmodi quaestiones pro indeterminatis habeantur. Simili modo dantur etiam eiusmodi quaestiones indeterminatae , quae plures na solutione non admittunt, veluti si quaeratur cubus, qui nitate auctus emciat quadratum. Melius ergo problemata indeterminata ita definiuntur ut