Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

21쪽

dicantur circa numeros rationale tantum, ac aepe numero integro tantum Versari. Ita si quaeri debeant duobi quadrata, quorum summa faciat quadratum , quaestio omnino est huius generis, cum radix quadrata ex summa biquadratorum debeat esse numerus rationalis, etiamsi solutio ipsi sit impossibilis Saepe numero plures conditiones simul proponi lent, veluti si quaerantur tres eiusmodi numeri, ut binorum productum, si tertio addatur, faciat quadratum, ubi utique tribus conditionibus est satisfaciendum hocque adeo infinitis modis praestari potest. Sin autem instuper noua conditio adiiciatur, sine dubio numerus solutionum restringetur, atque adeo

interdum fit impossibilis. Veluti si quaerantur duo quadrata , quorum summa sit quadratum , id utique infinitis modis fieri potest at adiecta insuper hac conditione , ut etiam eorundem quadratorum differentia sit

quadratum , quaestio ubito sit impossibilis. Ita pleraque problemata , quae Diophantus tractauit, ita sunt comparata, ut noua adiecta conditione fiant impossi bilia , hocque casse plus quam determinata scari solent. Nunc igitur Cel. Auctor ostendit, infinita dari huius modi problemata, quibus et si adiiciantur non una,

sed plures nouae conditiones, solutionum tamen numerus re vera maneat infinitus Neque vero putandum

est, tales conditiones pro lubitu adiici posse , sed eas certo modo ad ipsam quaestionis indolem adstrictas esse

oportet, alioquin certo plus quam determinata essent evasiura. Ita in quaestione memorata de tribu numeris, ut binorum productum tertio additum faciat quadratum,

insuper hae conditiones adiici possunt, Vt binorum pro

a ductum

22쪽

ductum summae eorundem binorum additum faciat quadratum , quae tres nouae conditione, adiectae non impediunt, quo minus adhuc innumerabiles solutiones locum habeant. Si praeterea postuletur, Ut etiam summa productornm ex bino fiat quadratum , quaestio adhuc infinitas lutiones admittit, neque solutionum numerus minuitur, si insuper summa pisrum nurnerorum silmmae productoria me binis adiecta quadratum emcere debeat quin etiam Auctor ostendit , plures adhuc conditiones adiici posse, manente Olutionum numero infinito. Tales quaestiones, nisi conditiones certa lege inter se essent connexae, quae conneXio autem in ipsa propositione non perspicitur, merito tanquam plus quam determinatae reiiciendae identur, ac temere quisquam earum solutionem usiciperet, antequam probe perspeXe rit, simul atquc aliquibu certo modo satisfecerit, reliquis omnibus sponte satisfieri. In Diophanto adeo iam

eiusmodi quaestiones reperiuntur , quarum solutionem X certis porismatibus deriuauit, quorum im commentatore minus agnouerunt. Hoc ergo argumentum sollicite hic uoluitur , ac non solum Orismata , quibus Diophantus est sius, dilucide explicantur et ex simplicissi mi principiis deducuntur, sed etiam indidem multo abstrusiora eliciuntur, quorum beneficio innumerabiles quaestiones , quae alioquin omne analyseos vires superare videantur, facili negotio resolui queunt.

23쪽

De expressione integralium ter facto SAuctore Leon. utero p. Is

Quemadmodum omnis generis integralia, quarum

integrationem ab lute perficere non licet, perstries infinitas euolui solent, quae si fuerint convergen tes, ad Vsium aeque sunt accommodatae , ac si integra tio in potestate suisset, atque adeo saepe numero multo maiorem usium praestant: ita iam pridem Geometrae agnouerunt, haud minoris Vtilitati sore , si eadem integralia per producta ex infinitis iactoribus exprimi possent, siumque adeo praestantiorem esse futurum , si logarithmis fuerit utendum. Verum talis conuersio ad paucissimos casius est adstricta : neque enim in aliis formulis integraIibus Iocum habet , nisi quae in altera a x dae

contentae, meque etiam cin his formulis negotium in genere si cedit, ita Vt pro quovis valore ipsius x valor integraIis per eiusmodi productum exprimi queat. sed tantum ad eum casum limitatur quo in priori sermula statuitur x 1, in posteriori vero III mi autem casu etiam calculo prae reIiquis ita Mellunt, At eorum usus sit amplissimus et pulcherrimi subsidia pro tota analysi inde deducantur Hoc igitur argumentum tametsi Cel. Auctor iam Oliai pertractauerit, hic denuo

24쪽

denuo resumit, atque ex principiis multo clarioribus formationem illorum productorum in infinitum excur rentium docet. Primum quidem elegantem harum QNmularum transformationem exponit , indeque casius, quibus eae sunt algebraice, vel absolute, integrabiles, facili negotio expedit. Caeterum hic monendus est lector , ob calculos maxime intricatos nonnullos errores typ0graphicos irrepsisse . . p. 12 . et eqq. frequenter litteram i cum unitate . itemque litteram graecam cum latina x esse permutatam: cum autem hanc dissertationem nemo facile sit lecturus, nisi qui calculum ipse uoluere constituerit, isti errores eius sollertiam non remorabuntur, praecipue cum hinc inde istae litterae recte sint Xpressae. Ita p. et . in Coroll. notetur tantum poni ' si scia m. n, ct reliqua fient satis perspicua. Deinde et Auctor hoc argumentum inuertit ac proposito huiuSmodi producto:

ubi sngula membra ex na, Vel duabus, Vel tribus ractionibus constant, quorum singulorum tam numeratores, quam denominatores, in sequentibus membris continuo unitate augentur. Proposito scilicet huiusmodi pro. ducto in infinitum excurrente, inquirit in Ormulam integralem , cuius Valor casi X 1 ipsi huic producto sit aequalis, quod cum pluribus modis fieri queat, hinc egregias comparationes huiusmodi formularum integralium adipiscitur. Obseruat arilem in genere talis producti valorem infinitum esse non posse, nisi sita inc-0 b-Ρ - -g. Deinde cum sinus et

25쪽

.nus angulorum per eiusmodi producta Xprimi queant eos hinc per bratulas integrales Xponit, Inde insignia Theoremata per uiuersiam Analysim maximi momenti oriuntur. VI.

Soluti generaliS problematum quoinrundam Diophantaeorum, quae Ulgo

non misi, lutiones speciales inmittere identur.

Auctore Leon. uter pag. 5s,

Quanta utilitas a methodo , Diophantae dicta, si

uberius Xcolatur, in uniuersiam Analysin sit redundatura , a Cel. Auctore huius dissertationis iam ae- Pius est commemoratilm, unde ipsium in hac Analyseos parte tu muliumque desudasse minime poenitet. Hic autem inprimis Obseruat, Omnia huius generis problemata, prout adhuc sunt tractata , quasi sponte in duas classes distribui. Vel enim problemata ita sunt comparata , Ut Omnes Omnino lutiones in iisdem r-rnulis generalibus contineantur, sicque tota solutio una quasi operatione absoluatur, cuiusmodi problemata in Unam classem coniicienda videntur vel problemata eius sunt naturae , t omnes solutione non in una expressione generali comprehendi queant , sed tantum e so lutionibus iam inuentis continuo nouas alias elicere liceat, Nou. Corum. TOm VL s etiamsi

26쪽

etiamsi sorte eiusmodi formulae exhiberi queant, quae

infinitas quidem iliationes, attamen non omnes, in Gcomplectantur talia problemata alteram classem constituent. Ad classem priorem pertinet exempli caua Problema, quo duo quadrata quaeruntur, quorum summa itidem sit quadratum , ubi constat, omnium huiusmodi quadratorum radices Ormselis generalibus exprimi posse. Ad classem vero posteriorem ex omnium Auctorum sententia reserendum est problema de tribus cubi inueniendis, quorum summa sit quoque cubus , ubi quidem sermulae pro radicibus horum cuborum dari possunt innumerabiles solutiones suppeditantes, Verum tamen semper iis aliae innumerabiles solutiones excludunturaeqne satisfacientes: at ex inuentis atri tribus quibusque huiusmodi cubis, innumerabiles aliae nouae solutiones derivari possunt. Discrimen inter has duas classes etiam ita essentiale est visum , ut nullius quaestionis ad posteriorem pertinentis solutio generalis exhiberi posse putaretur. Hanc igitur Opinionem Auctor in ista dissertatione uertit, dum ostendit , idem problema de tribus cubis, quorum sitamma sit cubus, ita per itimulas generales resolui posse , in quibus omnes Omnino solutiones contineantur, methodus autem, qua ad has sormulas peruenit, prorsiis est singularis, ac plurima

alia insignia incrementa huius Analyseos partis polliceri

videtur.

27쪽

Specimen te si obseruationum in Mathesi pura. Auctore Leon. Eulero p. 8s.

Haud parum paradoxum videbitur etiam in Math

sto parte , quae pura vocari let, multum binseruationibus tribu , quae vulgo non nisi in obiectis externis sensius nostros assicientibus locum habere videntur. Cum igitur numeri per se unice ad intellectum purum referri debeant, quid obseruationes et quasi e perimenta in eorum natura Xploranda Valeant, ix perspicere licet. Interim tamen hic solidissimis rati

nibus ostensum est , plerasque numerorum proprietates, quas quidem adhuc agnouimus, primum peritas obseruationes nobis innotuisse, idque plerumque multo antequam Veritatem earum rigidis demonstrationibus confirmauerimus. Qirin etiam adhuc multae numerorum proprietate nobis sunt cognitae, quas tamen O dum demonstrare valemus, ad earum igitur cogniti nem solis obseruationibus sumus perducti. Ex quo perspicuum est, in scientia numerorum, quae etiam nunc maxime est imperfecta , plurimum ab obseruationibus esse expectandum , quippe quibus ad nouas proprietates numerorum continuo deducimur, in quarum demonstra

tione deinceps sit elaborandum. Talis cognitio solis obseruationibus innixa , quamdiu quidem demonstratione destituitur, a veritate sollicite est discernenda, atque ad 2 indu-

28쪽

inductionem referri solet. Non desunt autem Xempla, quibus inductio sola in errores praecipitauerit Quas

cunque erg6 Umerorum proprietate per obseruationes cognoueri sinus quae idcirco sola inductione innituntur probe quidem cauendum est ne ea pro veris habea-- , sed e hoc ipsis occassionem nanciscimur, ea accuratius Xpli tamdi , earumque , vel Veritatem, vel falsitatem Ostendendi quorum trumque Utilitate non caret Tali igitur instituto Cel Eularus omnes numeros AEn quadrato et duplo alius quadrati compositos contemplatur quibus ad O Vsque Xpositis plures insignes earum proprietate Obseruat, eluti quod hi numeri siquidem erint compositi, alios diuisores non admittant, nisi qui ipsi sint eiusdem indolis; tum vero, si fuerint primi, eos semper multiplum octonarii, vel'

'unitate , vel ternario superare Hinc autem vicissimeonesudere licet, Omnes Umero primm Vel nitate,

vel ternario, multiplum octonarii superantes, semper esse compositos e quadrato et duplo quadrato , seu in Br-ma a -- ab contineri, quae postrema obseruatio non solum in numeris minoribu ad se Vsque locum habet, sed inductionem longe ultra Oo continuando nulli exceptio se prodidit Etiamsi autem reliquas obseru riones omnes Auctori firmis demonstrationibus communire licuerit, in hac postrema tamen aquarti ipsi haesissa

confitetur, neque tamen minus eam pro Vera habet ex

quo harum speculationum studiosiis Iuleerrima occasis suppeditatur, vires suas rim ea demonstranda exercendi. Demonstrationes autem huiusmodi arithmeckae geom

tricis lonse praestant , multoque maius insensi acumen

29쪽

postulant , quare cum demonstrationes geometricae ad vim ingenii acuendam tantopere commendari solent . demonstrationes certe arithmeticae isto honore multo

magis dignae sint iudicandae ν eoque magi eos laudarι oportet , qui in hoc genere demonstrationum operam sitam collocant.

PHYSICO MATHEMATICA.

De ristione corporum rotantium Auctore Leon. Εulero P. 23

In corporum motu a frictione impedito nonnulla adhuc phaenomen is offerunt , quorum explicatis nondum perspicitur. Quando enim globus super tabula ita prouoluitur, ut in puncto contactus nullus plane attritus Xeratur, cuiusmodi motu prouolutio persecta vocari solet, ob deficientem attritum nulla etiam frictio aderra est censenda, interim tamen minit m pori mo penitus extinguitur , qui effectus etiam ne resistentiae quidem aeris tribui potest , quippe qua nullus motus unquam plane ad nihilum redigitur. Omni igitur attentione digna est quaesti quaenam sit causis.,

qua globi super plano origontali prouolutioue persecta ingredientis motus tandem penitus extinguatur Cel. Einisus igitur primum in hanc causam inquiren, , pla- a num