장음표시 사용
11쪽
c PARS II. attentius perpensa, diceturque Ratio A B, quintupla, a De nominatore a quasi absolute sumpto. Nec ii spar eli ratio quando Ratio est minoris inaeo ualitatis, atque adeo Antecedens denominatoris, minor est Consequente , qui est unitas. Imo nec in irrationalibus vllum discrimen reperire est. Quare in uniuersum
vera est assertio. Altero tertis. Denominatorem Rations ahcuius non malesepuis dici Rations quantitatem Ostendit enim quanta sit Ratio Antecedentis ad Consequentem collati. Quae Ratio siue habitudo, en est relatiuum suscipietas maius & minus , prout eius fundamentum,quod est quantuna, maius vel minus suscipit & reuera,cum, ut di etiam est,denominator sit Ratio similis,sive aequalis Rationi, quam denominat,esto apertior sit,i euidentior , optime dici potest Rationis denominatae quantitas 3 cum eadem sit etiam quantitas Rationis,
pro quarto Ratio , quam continet denominator, alio ulteriori denominatore caret; sedpsibi ipsi denominator est messura. Ratio patet exsuperioribus,denominator enim debet esse Ratio omnium Rationum eiusdem specie notissima, paucissimis terminis constans,&c. yae in eadem Rationis specie nica est,ptaetereas denominatoris denominator daretur eodem iure tertius huius secundi dari deberet denominator. Aser quinto Si denominator Rationis ilicuius ducatur in im Consequentem , producitur Rationis Antecedens Hoc est principium quartum a Geometra statutum lib. 8.
12쪽
... B. I. D Rationibl. lib. 8 quod tamen medio non caret quo demonstre- tu atque adeo minime per se notum videatur. Ita
-- CUD,ut A ad B. Ergo C multipli cans eundem numerum producit, quem producit D multiplicans A. Sed D multiplicans A producit A est enim D unitas.)Ergo etiam Denominator etiam si ablolutus censeatur multiplicans Conisequentem
B, producit Antecedentem A. . ero sexto. Si Antecedens A diuidatur per consequentem', produci D nominatorem C. Patet ex assertione pra: cedente: quod enim componit multiplicatio, idem resoluit diuiso Atque hinc patet non a cibali qui bus Denominatorem definiri per hanc proprietatem ut Denominator sit productus,numerus ex diuiso Antecedente Rationis per eius Consequentem.
Denominatores continua quantitatis. pro primo Vt iu secreta quantitate, ita etiam in con tinua dari Denominatorem Rationis cuiuslibet solitarie 'absique omni relatione ad aliam Rationemsumptae. Non abs re hic primum quaero an detur in hoc genere quantitatis, Rationis unius singularis proprius Denominator. Cum id summus Geometra noster aperte neget lib. 8. Defin. Σ. Vbi semel atque iterum ait Silarito, quae in vi mero exprimi nequeat solitari sumatur enominatorem
13쪽
eius G ometrice exbiberi non posse aeuis enim non haereat, inquit, O merito percellatur, si ab eo OHul turmenominator Rationis Aud B. Et Rationem affert quia nulla linea,ve ibi gratia , Elabet quidquam peculiare plus quam alia quaelibet quo possit explicare habitudinem Antecedentis A ad Consequentem . Atque ita alia atque alia foret Ratio Ai,pro ut aliae atquealiae lineae in Denominatorem illius assumerentur.
ari nisi eius sunt verba binae datae fuerint Ratioia es, Ut ABO CD, assignari poterunt ingularum Denomina
tores Eoe' qui demon irent, qualis inter Rationes ipsas Proportio intercedat. Habes tanti Geometrae sentetiam, a qua me aegre quid avellunt, auellunt tamen momet maximi Rationes quibus Affertionis meae veritas stabilitur. Nam primo Cum in Ratione singulari duOrum terminorum discretae Quantitatis, nemine discrepante, exhiberi possit Denominator quid affertur discriminis, quod in continua aliter sentire compellat3 Deinde cum ipse Geometra citato loco, etiam in continua, cur termini Rationis singularis Arithmetice exprimi possunt, De nominatores agnoscat Cur in reliquis eiusdem naturae terminis, licet sint incommen- sui abiles , idem non admittatur. Quid si attendatur, quod superius ostendi Affert. I. Rationes irrationales
discretae quantitatis quibus quaelibet Rationes irrationales quantitatis contii mor exprimi possunt proprio Denominatore gauderes nunquid eodem iure Privari
14쪽
priuari possunt Denique hoc ipsum non obscure ex Euclide lib. s. Def. . eiusque Interpretibus omnibus colligitur. Vbi compositionem Rationis definiens ait
Rationem ex rationibus componi : cum Rationum anti
tate in se ductae aliquam ficerint Rationem. Vbi per Rationum Quantitates, volunt omnes ab eo intelligi, Rationum Denominatores. Nec dubium , quin decantinua quantitate eam compositionem intelli rat, cum totus hic liber sextus, quem auspicatur, ad id genus quantitatis pertineat. Neque , opinor, cens bitquispiam, Rationum componentium, Verbi gratia, insuperiori schemate , Rationum A B, CD, quantitates siue Denominatores esse Eaci,ut exposuit Geometra qui ii se ducti Rationem generent compositam ex Rationibus AB dc D. Nam composita Ratio duobus terminis constare debet Antecedente Consequente: At quantitates E I in se ductae unicum absolutum terminum producunt rectangulum scilicet unicum absque omni alio termino ad quem referatur, cum quo Rationem aliquam constituat. Denique haec Assertio mea ex eo etiam confirmabitur cum ostendam quisnam sit Rationis cuiuslibet eno
matis , Denominatores dici nulli modo posse. Nam si Ratio ς exprima Proportionem, ut ait Author, Rationis AB ad Rationem CD , hoc est, si verus proprius De nominator proportionis Rationum Assi de CD quomodo quantitas Tu dicatur Denominator
15쪽
1 TARS II. Rationis A B, exprimit habitudinem termini Lad terminum B vel quantitas F, termini C ad terminum D. Longe enim alia est habitudo Rationum AB, CD inter se, quam exprimit Ratio Ei, ab habitudine terminii ad terminum B vel termini C ad terminum D. Quod unico Argumento euidenter expono Sint Rationes AB GO similes in quavis specie Rationis, ut duphae erunt tam aequales, ut scilicet Ratione EF ostendatur Proportio Rationum A similium siue aequalium a dicetur E ex mente Geometrae Denominator Rationis A B duplaeci sicut F duplae Rationis CD. At vero si supponantur tertim A ad B, δίC ad C Rationem habere quadruplan .erunt pel inde, ut ante in des aequales, eo quod ostendant Rationes AB, CD aequales, nempe quadruplaeta Ergo rursusta mi iam F quae erant Rationis AB, Rationis CD duplarum Denominatores. Sunt etiam sine ulla
mutatione De nominatores Rationum quadruplarum;
aliarum omnium similium inio longe abest ab ossicio De nominatoris qui singulis Rationibus, singularis S proprius ab omni alio diuersus ass1gnatur. Vnde patet Rationes AB, CD aut carere omni De nominatore, aut alium singulis assignandum esse , quam E aut certe hos improprie & contra De nominatoris notionem & ossicium Rationibus illis appli
A pro tertio. Cuiusu Rationis singularu, solitaries imp e verum di proprium dari Denominatorem 'umque in omnibus Vi avtitatuJeciebus corpore iversi eis inca,
16쪽
LIB. I De Rufionilim 1 esse Rationem denominara Rationis Lm duabus resta L ne is expressam Nam Denominator debet quoad se notissimus csse, atque adeo simplicissimus. Ergo in prinia specie Quantitatis, linea scilicet quae unica dimensone constat, constituendus est. Quis enim non videat speciem secundam Quantitatis, superficiem scilicet, minus esse per se notam. dissicilius obseruari Rationem inter duas superficies ob duplicem illam dimensionem longitudinem nimirum ac latitudinem , quibus omnis superficies constat, magis composita ac implicata essicitur. Multo minus ad hoc munus apta est tertia quantitatis specios,o triplicem quam inuoluit dimensionem Deinde cum ea sit Rationum proprietas, ut bina vel plures Rationes Rationis aliquam compositionem Ucere natae sint , quae compositio peragitur ductis inter se Rationum Denominatoribus, siue Quantitatibus, ut Definit.3. lib. 6 docet Euci quanam ratione, si Denominatores forent superficies, absolui posset illa multiplicatio quamam noua species quantitatis ex ea multiplicatione oriretur si enim superficies in lineam ducatur, corpus gignitur, hoc est, ultima maxime composita species quantitatis. At superficies in superficiem, . multo minus corpus in corpus duci nullatenus concipi possit, nec huiusmodi multiplicationis quisquam meminit aliquando Quare
certum esto,omnes omnium RationumDenominato
res ad primam speciem quantitatis pertinere in quiadem ita, ut non quaelibet lineae eo munere fungi aptae sint; sed,ut fert Assertio mea,linea tantum recta illud
17쪽
Dixi praeterea duas illas lineas rectas, quarum Ratio est De nominator Rationis alicuius debere Vtrasque exprimi. In hoc enim differt quantitas continua a discreta si quidem in discreta Consequens est semper unitas, id est , certa taeterminata pars
Antecedentis, ab ipso Antecedente Onnotata, Vt supra docui. At in continua quantitate, cum d misibilis sit in infinitum, nullaque parte prima mele
mentari constet,in quam ultimo resoluatu . non potest denominator constitui nisi Consequens, alioqui incertus futurus, exprimatur. Nec mirum si haec differentia inter continuam S discretam Quantitatem minus accurate obseruata, minusque caute perpensa connotatio illa De nominatoris cuiuslibet ad Vnitatem, quam in discreta quantitate quilibet De- nominator cludit peritissimo cuique Geometrae negotium creare,eumque percellere queat: dum De
nominatorem Rationum discretae quantitatis, unicum numerum absolutum censebit; in eum modum cessebit etiam Denominatorem Rationum continuae quantitatis unica linea constare debere . quae
inepta plane est Denominatoris ossicio fungendi. adeo ut maluerit doctissimus Geometra, sta sentiens;
negare unius Rationis solitarie sumpta De nominatorem dari quam talem admittere, qui unica absoluta linea designaretur. Ager quarto ationem inter dua recta lineias, non alio
18쪽
De Rationibis. 3alio Denominatore explicari osse, sed ibi 'Tasionem Pam,
Denominatorem esse. Similis est huec Assertio Assertioni quartae superioris ad discretam quantitalcm pertinentis. In eo tamen haec ab illa differt quod in hac duae quaelibet lineae recti Rationem constituentes, alia Ratione simili non egeant . quae De nominatoris ossicio fungatur quaecunque tandem linea Rationem constituant:in illa vero Ratio quaelibet duorum
numeroru; cuius Conssequens non sit unitas,Denominatorem sortitur; similem scilicet aliam Rationem ad eos terminos deductam , ut Consequens sit unitas, ut superius priori parte explicatum est. Diuersitatis huius causa oritur ex diuersa quantitatis discretae, continuae natura.Numeri enim alij aliis explicatiores notiores dantur prout ali aliis maiori unitatum multitudine constant, omniumque notissimus, est Unitas quam , quae Ratio pro Consequente obtinuerit omnium Rationum similium notissima est, eoque nomine, omnium Denominator At vero Rationes omnes similes duarum linearum, aeque nota ex 'hibentur nec una ab alia disseres , nisi ratione maioris aut minoris quantitatis terminorum nec una si
qua Ratio exhiberi potest omnium ultima, quam sibi reliquae similes in De nominatorem assumant.Qt fit, ut singu Rationes alio Denominatore a se diuerso careant quemadmodum in discreta quantitate ultima illa Ratio,cuius Consequens est unitas,omni alio praeter se,Denominatore caret. selolium.
19쪽
quomodo cum ipso apprime concordet Interpretum sententia Asserit Euci des citata, Rationem dici ex Rationibus componi cum Ritionum quanti tales inter se multiplicatae aliquam effecerint Rationem. Vbi per Rationum Quantitates, intelligi volunt Interpretes Rationum De nominatores. At mi mens Euclidis attentius perpendatur nihil aliud ab eo intelligi colligetur, per Rationum Quantita L cs, quam ipsa sim et Quantitates Rationes illas constituentes. Attendatur enim Propositio 13. lib. c. ubi asseritur Equi angulorum Parallelogrammorum inter se Rationem habere eam, quae ex lateribus componitur. Cui per similis est Propositio . lib. 8 ad di- scietam Quantitatem pertinens. Sic enim habetur. Plani numeri Rationem inter se habent ex lateribus compositam. Ita ut Euclid c hoc in utroque loco ipsas me quantitates Rationem constituentes , non alias eorum loco substitutas, seu De nominatore S inter se multiplicari velit ad Rationem componendam Optime tamen Euclidis menti consentit Interpretuin expositio, si qua hic de De nominatoribus cxposui, attendantur ostendi enim proxima Astertione quarta in continua quantitate ipsas quantitates Rationum, earum De nominatores dici debere. Prior Ver partu expositionis, Assertione I docuid c no
20쪽
LIB. L De Tatiombi. De nominatorem Rationis inter terminos discreti quantitatis, esse aliam Rationem similem sed notiorem; cuius nimirum Consequens sit unitas, siue ex-phcetur, siue connotetur tantum. At similitudo illa Rationum sue aequalitas non mutatur licet mutetur terminorum quantitas, eadem inter eos seruata habitudine, libere latera ipsa, siue termini Rationum pertude adhiberi posuit ad Rationum Compositionem, ac ipsi Denominatores; qui hoc tantum nomine usurpari solent quod notiores sint quoad nos, quam alij maiores Rationum termini.
PROP. III. DEFINIT. Proportio est duarum Rationum similitudo.
Haec est Definitio . libri . Euclidis, omnium Geometrarum, uno excepto Geometra nostro: qui Proportionum terminos angustiores quam par sit, primus obseruauit, ut Prop. . sequente exponam. Haec vero ita intelligi debet, ut duae Rationei quarum ha
ad quam resertur AS alioquis forent dissimiles, ut sal ratio dupla foret foret vero Ratio CD mpla,
aut alterius cuiuscumque speciei, a Ratione Aidiueo se nulla inter eas duas Rationes proportio agnosceretur a veteribus Geometris: neque dicerentur quatuor