장음표시 사용
21쪽
illae quanti ales A ad B, G ad D proportionales, sed
PROP. IV DEFIN. Proportio est duarum quarumlibet Rationum habitudo.
Definitio haec proportionis, quae apud Geometram habetur sub initium libri , longe est praecedente uniuersalior. Haec siquidem duas quaslibet Rationes siue simile siue dissimiles, inter se comparat; S habitudinem illam, quam inter se obseruant; proportionem vocat. Visi Ratio A ad B fuerit dupla,&Ratio C Dexistat tripla: habitudo illa harum duarum Rationum, proportio eodem iure dicetur; ac sil inter eas similitudo intercederet, Vt vult communis definitio, hactenus admissa quam Prop. . exposui. Et vero Ratio AB dupla ad Rationem CD triplam collata , relationem quandam habet, siue habitudinem secundum quantitatem;quae habitudo,proportionis nomine seque donari debeta, ac si binae Rationes similes forent dicetur tamen proportio inaequalitatis, vel maioris vel minoris, ut in Rationibus simplicibus, quaedam est Ratio aequalitatis, cum termini sunt aequales squaedam inaequalitatis,ctim Antecedens Consequente maior aut minor est. Est enim proportio duarum quarum ui Rationum Ratio quae Rationum Ratio siue
habitudo,Proportio siue Analogia dicitur,vidistingua
22쪽
LIB. I. De Rationiblu. I tu ab aliis Rationibus,qua inter quantitates absolutas
Obseruandum porro est quod Euclides lib.1 Des-nit. 9.as rit, nimirum proportionem tribus terminis paucissimis constare, quod contingit cum Vnus teta minus duorum vices sustinet, dum prioris Rationis est Consequens, at idem Antecedens est posterioris. Sed tunc quatuor etiam sunt termini formales dicet mate
riales tres tantum numerentur.
Denique eiusdem speciei semper erit proportio; quamuis una Rationum ad unam speciem quantitatis pertineat verbi gratia, ad solida, altera vero ad lineas
vel numeros aut tempora,&c. Quantitas enim materiale tantum est Rationum.
Proportionis, quaranter duas Rationes tam continuae quam discretae quantitatis,intercedit, denominator, sunt duae quantitates quae habitudine sua clare demonstrant qualis sit inter ipsas Rationes habitudo, siue qualis sit earum
Rationum Ratio, quam Vocauimus Proportionem Prop. praecedente.
Nullam de Denominatore Proportionum inter duas Rationes, mentionem fecere hactenus Geometrata Nec immerito Cum enim illam tantum Proportionem agnoscerent quae inter duas Rationes similes siue aequales reperituri nullo opus erat Denominatore:
hoc enim ipso quod duae Rationes aequales suppones a bantur;
23쪽
13 PARS II. bantur; earum habitudo inter se, siue aequalitas exhibebatur. At postquam eximius Geometra Rationes
etiam dissimiles inter se coparare docuit quia dissimi litudo illa habitudines infinitas inter Rationes inuehit,
non minus quam inaequalitas inter quantitates ina quales, infinitas Rationes ut harum Rationum De- nominator ad eas explicandas necessarius fuit, ita etiam Denominator assignadus fuit;qui habitudinem, quam binae quaelibet Rationes habet inter se,clare exhiberet. Longe autem alius est hic Rationum duarum inter se
collatarum Denominator,a Denominatore Rationum
singularum,qui habitudinem tantum inter duas quantitates earum designat;cum prioris ossicium sit habitudinem ipsarum Rationum representare: in quo,quantum siquomodo a Geometra nostro dissentiam perpende ex dictis Prop.2.
Vt rem totam,quae quamuis plana,quia tamen noua
non potest non pati aliquam dissicultatem,oculis subiiciam apertissime, exemptu huiusmodi esto in continua
quantitate in qua Denominatore exhibeo Proportionis duarum Rationum Assi,d CD. Sic autem habetur quanquam hi ius loci non sit, eum inuestia gare, ubi tantum definio, sed maioris lucis gratia , id fieri nihil vetat reducatur Consequens D, Rationis CD, ad lineam Raequalem Consequentii Rationis A B. Fiat scilicet, ut D ad C ita B ad Eri ponaturi aequalis lineae . Erit ratio E Faequalis Rationi CD, ad eam Ratio AB eandem propor
24쪽
LIB. I. Te Rutioniblis. γ' proportionem habebit; quam prius habebat ad CD. Quia verὀ, ut demostrabo Prop. Ratio AB ad Rationem EF e quod aequalis sit utriusque Consequens ita se habet ut Antecedes A ad Antecedente E.Erunt duae lineae νω Denominator proportionis Rationii AB, F siue AB,CD. Sicuti aliae duae lineae quaecunque, qua habeant eandem Ratione quam habent A ME. Indiscreta vero quantitate Rationu AB,CD Denominatores sint EF, G H. Cum Rationes ET MAB;sicut, GH kCD,sint similes;eadem erit proportio Rationis EF ad Rationem G quae est Rationis AB ad Ratione CD. Sed Rationu
ER GH,Consequentes F, H sunt aequales. Ergo ita se habent ut Antecedente EMG Ratio ergo EG est Denominator proportionis Rationum EF, GH sue AB, CD.Atque ex his satis constat quis sit Denomin tor Proportionis inter duas Rationes iuxta definitione. PROP. I. DEFINIT. Proportionalitas It proportionum Ratio. Quemadmodum ea sola proportio est hactenus agnita;quam duarum Rationum similitudo,sive aequalitas generat, omissa omni alia Rationum dissimilium comparatione: Ita etiam nulla est agnita proportionalitas, nisi quae ex proportionum similium compara tione enascitur retem tanquam inutilibus Relationibus omnibus,quas dissimiles proportiones habere possunt adinvicem. Verum cum sine Geometriae damno,
in terminos tam angustos redigi nequeat proportionis in ci facultas
25쪽
facultas; ita nec proportionalitatis. Quare tam proportionalitatis hic,quam superius proportionis definitio absolutior constituenda fuit. Itavi proportio competat Rationibus omnibus absque omni similitudinis vel dissimilitudinis distinctione .proportionalitas
pariter omnes Propqrtiones, e quibus resultat, tam similes quam dissimiles complectatur ut ex terminis allata definitionis colligitur, quae proportionalitatem uniuersialiter vocat Rationem proportionum, hoc est, habitudinem, quam duae proportiones , e duabus iam Rationibus inter se comparatis enatae, habent ad inuicem Ex quibus sequitur ad proportionalitatem generandam octo concurrere simplices terminos , siue quantitates, Ratio siquidem cum respectiva sit, iam duos poscit terminos Proportio vero cum sit Rationum Ratio , duas Rationes, e quibus emanet, supponit. Atque adeo terminos quatuor. Denique prOportionalitas, quia est duarum proportionum Ratio, necessario octo terminos habere debet simplices ex quibus quatuor Rationes, deinceps duae proportiones , ac tandem unica proportionalitas constituatur.
Res clara clarior euadet allato exemplo in hoc schemate expressa Sit ergo Ratio qucedam Antecedentis A , ad Consequentem B . Terminos affero discretae quantitatis,ut apertiores; eosdem suppone quantitatis esse continuae altera vero Ratio quaecumque sita ad L, sit earum Rationum De nominator. I , 3.
Qui exprimat habitudineri Rationis prioris A ad ad posteriorem C ad serit Ratio I 2, ad in suopo tio duarum illarum Rationum, vescae dictis de proportione
26쪽
-tione constat, Rursus duae aliae Rationes quaruumque proponantur Anteccdentis Ela ad Consequentem 34 Gos,ad 4,Quarum Denominator sit L ,ad M L. erit Ratio terminorum L ad 1 proportio Rationum E ad P, G ad H. Iam si duat illae Rationes radΚ, L ad M,inter se comparentur, ope Denominatorum ad eas pertinentium , qui sunt Dicetur Ratio N ad O proportionalitas eo quod sit Ratio proportionum duarum adinvicem comparatarum: patet autem ad unicam illam proportionalitatem constituendam necessarios esse terminos octo simplices tanquam illius primas Radices imo patet,si ulterius huiusmodi Rationum Rationes multiplicare placeret,&duarum proportionalitatum Rationem expendere. Duplo plures futui os terminos simplices.Nam utraque proportionalitas octo terminis constat. Verum vix ulla unquam cogit necessitas ultra proportionalitatem iam expositam ulteriorem perscrutari.
Licet porro ad constituendam proportionalitatem necessarii
27쪽
LL II. necessarijsint octo termini formales quinque tamen minimum sussicere possunt. Sed tunc, exceptis primo cultimo, singuli duorum munere funguntur, Consequentis scilicet ad terminum praecedentem, Ante cedentis ad subsequentem. Quemadmodum ad proportionem non semper quatuor termini formales d. hibentur , quatuor licet virtuales concurrant. Neque tamen in hoc casu necessarium est,ut termini illi quinque stat in eadem Ratione continua, licet id fieri posse sit, ae vera ita supponebatur hactenus a Geometris, tum in Proportione tum Proportionalitate sed latis est ut idem terminus bis sumatur,4 duas Rationes quasi commune vinculum nectat, siue similes illae sint,siue dissimiles. Quod si termini continue eandem seruent deinceps Rationem, celebres illas in Geometria progressiones generant: de quibus multi multa ,
sed unus prae creteris plurima, maxime eximia libro toto secundo de progressionibus noster Geometra.
Duae Rationes habentes communem terminum Consequentem: eam habent inter se Rationem, quam Antecedentes ipsi inter se.
Monitum. Licet tum lim, tum in posterum at a propositiones aeque quantitati continuae ac discreta conueniant: huic tamen soli, ut euidentiori, ex cuius terminis
ipsis taritum propositis probatio deduci queat a posteriori Ratiocinationum omnium seriem accommO- dabo.
28쪽
LI P. I. De Rationibu- Σ3dabo. Quas longe facilius futurum est,cuilibet maioriQue cum luce ad quantitatem continuam transferreti lubet. mei quam quod, id mihi in hac uimi ratia, lulcepta exercitatiuncula propositum est ut cuncta quoad fieri poterit, numeris subiiciam, veritatis haud dubie vens euidenti si imis indicibus. Demoniatio.
Sint duae Rationes ad B C ad B quarum Consequens est idem communis terminus B. Probandum est
Rationem ad B,ita se habere ad Rationem C ad Butillius Antecedens se habet ad huius Antecedentem C. Si enim Rationis A ad B, Denominato D dc Rationis C ad B, sit Denominator Et qui quomodo habeatur dictum est in annotationibus Propα.n. 2. Cum ergo hi enominatores siue quantitate seipsis ostendant quamam Ratio inter ipsas Rationes A ad B, dccas intercedat.Hoc est,ita sit D ad E it Ratio A ad B, est ad Rationem C ad Rex Prop. 1.Sit autem D ad E,ut Antecedens prioris Rationis ad C Antecedentem posterioris,ut statim declarabo,patet veritas propositionis.Quod ver si ad E,ut Antecedens A ad Antecedentem C constat ex annot.a. 3.propositionis 1 nam Denominatori oritur ex diuisione Antecedentis Aper Consequentem, i Menominator Eoritur ex diuisione Antecedentis C per eundem Consequentem
B. Ergo reciprocem multiplicans, B restituet AG Imultiplicanso restituet adem ergo B multiplicans
29쪽
ω PAR SILDenominatores D ME,producit Antecedentes AN C. Qui per i . lib. .Eucl.eadem habent Rationem, quam D &E,unde sequitur Rationes Al , C B, habere inter se eandem Rat nem quam earum Antecedentes A C inter se. Quare, duae Rationes habentes,inc. Quod
PROP. VIII. T HAE O R. Si duarum Rationum idem sit Antecedens. Ita erit prima Ratio ad secundam ut Consequens secundus ad primum. Demonstratio.
Esto A. Antecedens communis duarum Rationum AB in C. duo apposui exempla, maioris unum inaequalitatis,minoris alterum Dico Rationem primam AB ad Rationem secundam AC ita se habere vile habet secundus Consequens C, ad primum Consequentem B. Sint earum Rationum Denominatores inuenti per annot.2.Prop.Σ prioris quidem, in pollerioris vero E. Erit ergo Ratio AB, ad Rationem A C; ut Denominator D ad Denominatorem C haec enim est De nominatorum natura cum ipsarum sint Rationum quantitates deinde quia Denominatori habetur diuiso Antecedente A per Consequentem di, ut Prop. 2 annotaui, si De nominator reducatur in Consequentem B, producetur A Antecedens qui idem propter
30쪽
propter eandem Rationem producetur ducto EDe- nominatore in Consequentem secundum C.Cum igitur idem terminus A producatur ex ductu terminis in B;& termini Sinc Eadem erit Ratio primi termini Dad secundum T quae est terti termini C ad quartum n, per is sexti, Vel perra'. sept. Sedit Denominator ad Denominatorem E; ita est Ratio AI, ad Rationem A C. Ergo quoque Ratio Assi, est ad Rationem AC; ut huius Consequens , ad illius Consequentem B. Quare Si duarum Rationum idem c. Quod erat probandum. PROP. IX. PROBL. Duarum Rationum Consequentes Diuersos ad unum utrique communem reuocare.
Sint duae Rationes AB, CD, tam maioris quarta minoris inaequalitatis, quarum Consequentes Bri D
diuersos, ad eundem reuocare Oporteat. Fiat ut Con
sequens B ad Consequentem Desita Antecedens A ad alium nempe E. Dico Rationem AB reuocatam esse ad aliam aequalem Eo, cuius Consequens est D,idem scilicet cum Consequente alterius Rationis C D. Demonstratio. Cum enim ex constructione ita sit A ada, ut ad De