장음표시 사용
41쪽
34 TARS II. tionem aequalitatis operatio illa, qua Ratio AB inuestigatur, dicitur diuisio.
RROP. XV. THEOR. Si sit Ratio quaedam, cuius Antecedens est Avi Consequens B. Tertius verb quilibet, merus C, Antecedentem A diuidat, pro ducat D qui fiat Antecedens ad Consequentem B Idem verbC, Consequentemi multiplicet,&producat E: qui fiat Consequens ad Antecedentem A. Dico Rationes duas Di cA E es e aequaleS. Demonstratio.
Quia C diuidens A produxit in si idem C multiplicet D producet A. Quare cum idem numerus , multiplicet D&B. producat A ea: erit Antecedens A ad Consequentemi,ut Antecedens ad Consequentem B. Per i s. lihi. 3. Euclidis Partes enim ,&B cum pariter multiplicibus A i in eadem sunt Ratione Constat ergo propositum.
ROP. XVI. PROBL. Oporteat Rationem per Rationem multiplicare. Constructio.
42쪽
Antecedentis ad Bue Consequentem,
multiplicanda per Rationem ac ad D . Quia Ratio C ad D continet Rationem aequalitatis semel eius semissem si enim Antecedens c diuidatur per Consequentem , patebit hunc in illo semel contineri qua est unica Ratio aequalitatis: praeterea dimidiam huius partem sumatur semel Ratio A ad BG. Cui addatur dimidia eius pars inuenta per Prop. Ii multiplicetur scilicet Antecedens quas foret numerus absolutus, nec ulli Rationi alligatus per numerum item absolutum signetur per hanc multiplicationem tu cui velut Antecedenti apponatur idem Consequens B 1. Erit ergo Ratio Antecedentisci ad Consequentem 1 dimidia pars Rationis A , ad s. Iuxta operationem citatae. Propositionis , quam de industria hic prosecutus sum. Iam haec Ratio Lad 1; ad Rationem ad ue addatur per Prop. io addatur scilicet
et Antecedens, ad Antecedentem , ut fiat unicus Antecedens cui apponatur idem Consequens F s.
Dico Rationem T ad F s. Produci per multiplicationem Rationis Assi in Rationem CD. Demonstratio. Toties Ratio producta Ei continet Rationem multiplicatam A B. Quoties Ratio CD multiplicans continet
43쪽
Sit eadem Ratio, qua prius At multiplicanda per Rationem CD. Ducantur in se duo Antecedentes Ac duo item Consequentes B, DL producant illi quidem E; isti verba. Dico Rationem EF eam esse qua producitur ex multiplicatione mutua duarum Rationum A B, C D. Demonstratio. A4 C
D, Rationis CD multiplicantis. Quia igitur ex Prop. 3 ita se debet habere Ratio aequalitatis GH ad Rationem multiplicantem CD quemadmodum Ratio AB multiplicata se habet ad Rationem TF. Productam ex multiplicatione Rationis Am , per M. Vt autem Ratio G H, se habet ad Rationem CD, cuius Consequens D aequalis est Consequenti H ita se habet Antecedens G ad Antecedentem C per . Huius.
44쪽
VI B. I. De Rationibω. 7 Hoc est, Consequens Dad Antecedentem CRationis CD. Si ergo fiat ut D ad C Ita Ratio At multiplicata
ad aliam EF : erit EF: Ratio qua quaeritur, Ut exigit Prop. 3 huius. Disponantur ergo termini ad Regulam Proportionum absoluendam hoc modo. Ducatur secundus terminus in Amstelli, Consequens enim B immutatus producto , adiungitur Vt Antecedenti diuidatur hic productus Et per primum terminum Regula aureae. Producetur per hanc diuisionem Ratio B. Diuis enim Antecedente E per terminum D, fit Micuius Consequens est B ina- mutatus ut in fractis numeris fieri solet quos Rationum termini imitantur 9 erit ergo tunc Ratio Mi ea, quae quartitur id est, Mi toties continebit Rationem
At multiplicatam quoties Ratio CD multiplicans
continet Rationem aequalitatis. Sed Rationi Mi, aequalis est Ratio EF inuenta iuxta traditam methodum multiplicatis scilicet Antecedentibus νω , ut fiat Antecedens E; consequentibus vim, ut fiat Consequens F. Id patet ex Prop. 3 per quam constat aequales fore Rationes quando datis duobus numeris E, B. Idem numerus D diuidit eorum alteru, nempe E;& producit quendam vi M: cui adiungitur velut Conta sequens, alter numerorum B: ut fiat Ratio B,&quando idem D multiplicat alterum numerorum nem-
45쪽
thod, quae simplicissima est, rectesolui propositum
PROP. XVII. PROBL. Oporteat Rationem datam per datam Rationem diuidere. Constructio. 6
Vt inuersum est problema hoc praecedentis problematis ita inverse futura est ius soluti, quam tamen eadem methodo generali adhibita scilicet Regula illavere aurea proportionum auspicabor inita etenim si pius ea lana via, quo tritior, eo planior euadet. Sit igitur Ratio EJ diuidenda per Rationem AB. Quia ex Prop. i . Eadem est proportio Rationis diuidentis A B ad Rationem EF diuidendam de Rationis a qualitatis ad Rationem quae quaeritur, quaeque quasi quotientis locum occupat Perit etiam permutando eadem proportio Rationis Assi diuidentis ad Rationem aequalitatis;&Rationis EF diuidendae ad Rationem quae quaeritur, quotiens. Ita ergo disponendi forent tres noti termini apte ad absoluendam auream Regulam, ut habet hoe schema. In quo AB est Ratio diuidens:
46쪽
LIB. I. De Rutiombin. 3' diuidens secundus terminus est GH Ratio aequalitatis, cuius Antecedens de consequens iidem sint cum Consequentem , Rationis A B tertius denique sit Ratio diuidenda; F. Sed quia duae Rationes A B, G H eos . dem habent Consequentes B, H ideoque per Prop-7- ita se habent inter ses ut Antecedeutes A, G, inter se. Satis erit ad quotientem huius diuisionis obtinendum si Antecedens A solus primum locum Regulae BE I a o
aureae occupet. Secundum vero occuparet Antecedens
G sed cum aequalis sit Consequenti B; censeatur ipse B secundum illum locum sibi vendicares; tertius denique locus debetur Rationi diuidendendae E F. Iam terminus B ducatur in terminos EF , velut absolutosis in modum fracti numeri diei per hanc multiplicationem quantitas L . Haec iuxta tenorem Regulae diuidatur more fractorum terminorum per primum A. Fiet quotiens L N. Dico ergo Rationem Antecedentis Lad Consequentem , eam esse quae quaeiretur Mindicare proportionem Rationis diuidendae EF, ad Ratio nem Aldiuidentem. Quod exemplum in hod, casu in quo Consequentes Bri F, pontitur aequales: in aliis possent per Prop. 9. ad aequalitatem reduci euidenter ostendit.
47쪽
4o II. ostendit. Ita enun est Ratio Ei, ad Rationem A B ut Antecedens E ad Antecedentem A. Qua Ratio E, ad similis est Rationi inuenta L N. Verum illud a priori probari debet in hunc modum DemonHratio. E discursu in constructione allat, tota pene demonstratio constructionis ipsius habetur. Nam patetit se habere Rationem AB diuidentem, ad Rationem GH aequalitatis ut se habet Ratio EF diuisse ad Rationem LN inuentam. Ergo Permutando ita se habebit Ratio A B, ad Rationem EF, diuidens scilicet ad diuidendam: ut Ratio GH aequalitatis ad Rationem L N. Ergo ex Prop. 4. recte diuisa est Ratio EF, per Rationem A intolerat faciendum. Aliter. Constructio.
sic autem habet. Si data Ratio EF, diuidenda per Rationem AB, fati Consequens B Rationis diuidentis ad A I tecedentem: v F Consequens Rationis diuidendae ad C. Ratio EAntecedentis, datae Rationis diuidendae, ad Consequentem inuentum, ea est Ratio quae quaeritur.
48쪽
LIB. I. De RationibM. Demonstratio. IE constructione ita est B ad A vj ad C. Eroo in uertendo. . ad B cita C ad F. Sed, ut in superiori solutione ostensum est, ut A ad B cita est Ratio Eldiuidenda ad Rationem quaesitam, qua velut quotiens est huius diuisionis. Ergo ut C ad F; ita est Ratio ET ad quotientem Ra 'nem. Sed ut Cadi; ita est Ratio Es ad Rationen, E C. Nam duarum Rationnm E ad F E ad in idem est Antecedens E.Ergo per Prop.8. huius. Ita se habet Ratio EF ad Rationem Ex ut se habet reciproce Consequens C Rationis DC, ad Conta sequentem; Rationis Ei Sedit Consequens C ad Consequentem F. Ita ostensum est se habere Rationem EF acleam quae inuestigatur. Ergo Ratio E Cilla ipsa est, quae diuisione Rationis EF, per Rationem AB, producitur. . iter.
Σ ΣDatae sint eaedem Rationes Diuidatur ' tam Antecedens Rationis diuidendae, per Antecedentem A Rationis
diuidentis,&fat Qquam Consequens illius F, per hii ius Consequentem Bi fato. Dico Rationem CDeam esse, quae quaeritur.
49쪽
Ex his constat nihil aliud inquiri per diuisionem
unius Rationis per alteram quam Rationem illam, quam habent inter se Rationes propositae, et, ut verbis utar magis propriis iuxta definitionem proportionis Prop. 4 expositam. Inquiritur Proportio inter Rationem diuidendam dc Rationem diuidentem:quae Proportio, cum nihil aliud sit quam Ratio quam habent inter se denominatores Rationum datarum: nihil aliud quaeritur per diuisionem unius Rationis per aliam; nisi cognitio denominatorum utriusque illius Rationis illis enim denominatoribus cognitis, eorum Ratio nota continuo euadit, per solam Relationem denominatoris ad Rationem diuidendam pe: tinentis , ad denominatorem Rationis diuidentis tanquam consequentem Vt in prioris solutionis exemplo, in quo Ratio Ela ad ue diuiditur per Rationem A ad B Dinuenta est Ratio tanquam quotiens L 3 ad io, Rationis huius L N termini sunt denominatores Rationum EF diuidendae , S A B diuidentis: I. quidem prioris EF . vero posterioris A B. Eaque Ratio
50쪽
Proportio Rationum EF ad AB dici debet ostendit quam habitudinem sue Rationem habeat Ratio EF ad AB. Quod in Proposito exemplo , in quo Consequentes α sunt aequales, Luce clarius patet. Ita enim se habet Ratio EF ad Rationem Assi per Prop. . t Antecedens E ad Antecedentem A: Sunt autem Antecedentes Rationum , quarum idem est Consequens,denominatores earum constat autem ita se habere L oad 4 ut se habet Uc ad A . Ex quibus facilis, clara oritur methodus Rationem per aliam diuidendi. Si enim ad aequales Consequentes reducantu ita se habet Antecedens Rationis diuidendae ad Antecedentem diuidentis; ut illa Ratio ad istam: ita ut Ratio duorum illorum Antecedentium si velut quotiens diuisionis Rationis unius per aliam. Ex proxime dictis colligitur demonstratio solutionis cuiusdam facillima, Problematis eiusdem quae sic habet. Sit Ratio EF diuidenda per Rationem AB. Ducatur Antecedens A Rationis diuidentis in Con-
, diuidendae , ut fiat DB Consequens Rationis
Consequens B in Antecedentem E;& fiat C.Dico Rationem GD, s. Rationem quae in uestigatur, Messe Proportionem Rationis T ad Rationem A B. Sis