장음표시 사용
31쪽
αι I. Deserit Permutando ut A ad B cita E ad D.Ita ut similes sint,sive aequales Rationes A B, ED. Ergo Ratio AB in aliam Eo mutata esst cuius Consequens est D , idem cum Consequente alterius Rationis D. Pari modo Ratio CD in aliam mutari posset cuius
Consequens foret B; idem cum Consequente Rationis AB. Si nimirum tribus terminis in B, quartus proportionalis reperiretur; qui esset Antecedens ad Cousequentem', communem factum utrique datae Rationi. Obseruandum si in quantitate discreta cuius in his maxima Ratio habetur apud me problema soluendum sit; fieri non Ratio, ut Antecedens inuentus simplex non sit numerus, sed integer cum fracto, vel fractus tantum tunc porro si ei minos simplices statuere lubeat ducendus erit fractionis Denominator in terminos omnes datarum Ration si qui quidem termini mutabuntur; immutatis tamen eorum Rationibus, quia
numerus quilibet alios quos ibet multiplicans, numero gignit easdem Rationes inter se habentes; quas ii ter se habent numeri multiplicati per is lib. . Appo no exemplum paulo ante propositum in quo reducenda sit Ratio CD, ad aliam aequalem ita ut eius De-
nominator sit B 6,idem qui est Menominato Rationis A B. Id absoluetur iuxta traditam methodum si tribus
32쪽
tormmis D , B .. , quartus proportionalis inue matur qui est D ita ostent in secundo schemate ea
dem Rationes quae in primo propositae sunt sed quarum idem sit denominator communis 6 qui prioris
Rationis iam erat denominator Verum quia Antecedens non est terminus simplex, quippe constat numero integro cum fracto quod alias operationes ex iis absoluendas molestiores Eceret Rationes eaedem ad terminos simplices adducentur , terminis omnibus multiplicatis per Α, fractionis huius denominatorem dc primo quidem ducetur in iumerum integrum, cui adhaeri et fractio, ut satrici cui addetur 3, numerator fractionis, ut fiat 1 Antecedens secundae rationis Deinde in Consequentem inuentum' utrique Rationi communem ut fiat 2 . Denique in Antecedentem Aj prioris Rationis, ut fiat 1, elus nouus Antecedens: ita habebuntur termini simplices propositarum Rationum, ut refert schema tertium qui tamen termini ad minores reduci poterunt, si eos omnes communis aliqua mensura metiatur, per
quam singuli diuidi possint,ac noui termini earundem Rationum per diuisionem procreari. Aliter. Summi est momenti in Rationum negotio haec Propositio dignaque propterea quae alia hac methodo soluatur cum praesertim eam, omissa priore adhibiturus sim imposterum sic autem habet.
33쪽
GIS Repetito praecedenti schemate ducit tu Rationis prioris A B Antecedensi, in Rationis posterioris Conse- quentem in v fiat E. Et victuina, Rationis posterioris Antecedens C, in Rationis prioris Consequentem B visat F. Denique duo Consequentes Uucantur in se inuicem , ut fiat G. Dico Rationes 'B
C in reductas esse ad alias aequales E quarum idem est Consequens G. Demonstratio. Termini Alcm prioris Rationis multiplicant Consequentem D secundae Rationis;& producunt E s. Ergo per Prop. i8. lib. . eadem est Ratio ad , quae A ad B. Similiter eadem erit Ratio F ad in qua est ad D eo quod termini axumultiplicenti Consequentem prioris Rationis,& producati de G. Quare duae datae Rationes, quarum diuersus sit Consequens ad alias duas aequales reuocatae sunt , quarum siti Consequens communis. Quod praestandum erat. PROP. X. PROBL. Duas quascum ciue Rationes, nam per additioncm colligere.
34쪽
Confructio. Sint duae propositae Rationes Antecedentis A ad
onsequentem B; Antecedentis C ad Consequenem D. In primis, si Consequentes non sunt aequa- es, ad aequalitatem reducantur per ' Prop. Deinde addantur Antecedentes A, C, ut fiat E Antecedens Rationis , cui suus Consequens adiungatur Z idem qui fuerat Consequens Rationibus datis communis. Dico fac tum esse quod proponebatur. Demonstratio. Nam cum Rario CD Ratio EF eosdem Consequentes habeant erit ham ad illam, Antecedens ad Antecedentem, per7. huius. Propter quam eandem causam Ratio EF erit ad Rationem A B. Vt Antecedens E ad Antecedentem A. Tres ergo Antecedentes illi eandem habent inter se Rationem: quam habent inter se trium illarum Rationum de nominatores siue quantitates Imo possunt ipsi denominatorum ossicio fungi Vt supra monui Propi e Sed quantitas E coaluit ex additione quantitatum A C, tanquam partium. Ergo Ratio E F coalescit ex additione Rationum AS, D,tanquam partium: denominatores si quidem siue quantitates Rationum, earum ubique munere fungi nati sunt. Duas ergo D i. Ratio
35쪽
18 PARS II. Rationes in unum per additionem collegimus .Quod erat probandum.
Quod si plures Rationes quam duae simul forent addendae duas primum deinde ex illis duabus factam, testertiam colligere necesse erit,& ita deinceps. PROP. XI. PROBL Rationem inuenire quae ad datam Rationem datam habeat proportionem.
quam Ratio inuenienda, debeat habere proportionem cuius denominator est C, nempe quadruplam. Ducatur C in Rationis Antecedentem A, ut fiat D, dico Rationem D ad B, eam esse , quae quaerituri quae scilicet habeat ad Raationem A B, proportionem cuius denominator est QDemonstratio. Ratio Di ad Rationem Alcita est ut Antecedens D ad Antecedentem A per . Huius, est enim utriusque idem Consequens B. Sed Ratio D ad A, ea est quam denominat ex Annotatis . num. ad Propos. Ergo Proportio Rationis DB ad Rationem cum habeat De nominatorem C datum , ea est
36쪽
De industria hic Corollarium subiungo, quod
mini necessarium olim futurum scio ideoque attente notatum velim. Est autem huiusmodi. Deducitur ex solutione praecedentis propositionis; quomodo inueniatur Ratio quae toties aliam Rationem contineat: quoties hac aliam continet. Sit enim Ratio AB cuius Antecedens A aliquoties sumatur, i toties , verbi
bo in multiplicetur per Cui fiat D cui ut Antecedenti apponatur Consequens Rationis AB. Deinde Rationis DB Antecedensi, iterum per C multiplicetur ut fiat si nouus Antecedens, cuius Consequens sit etiam B. Patet Rationem Et toties conti nere Rationem D B quoties Di continet AB. Cum enim harum Rationum idem sit Consequens ita se
habent Rationes inter se s Vt earum Antecedentes inter se. Sed Antecedens D. Toties continet Antecedentem R. quoties Antecedens E continet Ante
cedentem D sum uterque ductus fuerit in C. Elgo etiam Ratio Di toties continet Rationem AB;quoties ipsam Rationem Di Ratio El eontinet. Licet vero in proposito exemplo terminos Antecedentes contini te proportionales statuerim ad planiorem demonstrationem aptiores, eo quod sibi
37쪽
3 TARS II. aclaiscant communem Consequentem a tamen id minime necessarium est. Quod ut clarissime pateat; loco terminorum D, B, vel otiam E AE alios quoslibet eandem inter se Rationem seruantes; quam habent inter se termini mi , E dc substitue.
Nihil in Rationibus mutationis continget, naque alteram continebit, ut prius licet in terminis con tingat discrimen maximum. Nec oberit obseruasse Rationem Ei, hoc modo inuentam, esse tertiam proportionalem duabus Rationibus AB, DB: licet termini Antecedentes inter se, ac proinde de Consequentes inter se, nullam ccr- tam Rationem observent ut ex dictis proxime col,ligere licet.
R O P. XII. PROBURationem minorem ex maiore detrahere.
B4 Constructio. Sit Ratio AB minor substrahenda a maiori B:
nisi datae Rationes eosdem sortitae essent conlequentes ad eos in primis reuocentur per Prop. 9. Antecedens ergo C, Rationis CB; maior est Antecedente A. Sunt enim Rationes illae inter se, ut Antecedentes ipsarum propter aequalitatem Consequentium B. Sed Ratio Ci maiori itur Ratione Al Ergo Antece
38쪽
atur Eidem consequens B tracta Ratione Aintecedente A. dematur cra A ex tri Velut Antecedentilibuatur
inico Rationem Et relinqui de Ratione Cl. Demonstratio. Rationes A B, C B, ET, eundem Consequentem habentes, ita se habent inter se, ut earum Antecedente A, C, E. Ita ut huiusmodi Antecedentes, eandem inter se Rationem observent. Quam Rationum illarum denominatores , eorumque vices suppleant. Quia igitur duo Antecedentes . E simul aequales sunt Antecedenti C: etiam Rationes A B, EB, a quales erunt Rationi CB. Et quia Antecedens E, est differentia riua Antecedens C superat Antecedentem A: etiam Ratio Et erit dissererit a qua Ratio OB superat Rationem AB. Detracta igitur est Ratio minor AB ex maiore C B. Et inuentus est excessus, quo a superata di nempe Ratio EB. Qiuod erat faciendum.
R O P. XIII. DEFINIT. Ratio Rationem multiplicare dicitur cum toties composita fuerit ea quae multiplicatur, quot sunt in multiplicante Rationes aequalitatis,ac procreata fuerit aliqua Ratio. Ratio Rationem multiplicare dicitur, cum procreata Ratio, eam have poportionem ad Ratio
39쪽
3 II. Rationem nultiplicatam, quam Ratio multiplicans habet ad Rationem aequalitatis. Rationum Multiplicatio siue Compositio per se satis obscura i iniri non potuit nisi prius perspecta foret eius notio quam propterea duplici hac definitione in
idem recidente exponi ei persimili, quae tradi solet multiplicationis numeri simplicis per numerum simplicem. Si ergo Ratio A B ducenda in Rationem C, D, toties sis matur Ratio Aici quoties Ratio a qtialitatis reperitur in Ratione C, D , ut procreetur Ratio Ei Ratio EF, dicetur multiplicatione Rationis A, B per Rationem CD produci.
BC DEFSed ut haec clarius aperiantur Exemplum singula re expono Ratio A , ad s. ducenda est in Rationem C6 ad D . Toties sumenda est Ratio . ad siquoties Ratio aequalitatis est in Ratione ad . Quoties velo est Ratio aea ualitatis in Ratione 6 ad Respondeo, toties; quoties Consequens Des continetur in Antecedente C 6. Vt hic semel. Et praeterea. - vel illius. Nam quoties Antecedensis Consequens sunt aequales Rationem aequalitatis conitituunt: Si ergo Ratio A ad B ue sumatur semes, praeterea dimidia eius pars, it indicat hac ius ille nu
40쪽
merus, Vel Ps qui superest, diuiso Antecedente CPer Consequentem D . Vt producatur Ratio σa P s. in haec multiplicatio Rationis A B per Ratirinem Ratio in dicetur producta per huius modi multiplicationem No Quod eandem proportio nem habeat ad Rationem multiplicatam A B: Quam habet Ratio . multiplicans ad Rationem a
PROP. IV DEFINIT. Ratio per Rationem diuidi dicitur , cum Ra
tio sumpta fuerit : quae habeat ad Rationem aequalitatis eandem proportionem Muam Ratio diuisa habet ad Rationem diuidentem.
Ratio Rationem diuidere dicitur: cum sumpta fuerit Ratio quae toties contineat Rationem arq Ualitatis quoties Ratio diuidenda continet Rationem diuidentem. Hax definitio praecedentis inuersa est quam e dem Repetito exemplo, sed inuerso expono. Ratio Ei sit diuidenda per
--tionem in ad D Toties Ratio A ad B ue contineat Rationem aequalitatis Velsii Ratio Ei eandem habet proportionem ad Rationem diuidentem CD quam habet Ratio Ai ad Ra- tionem