Nova Acta Regiae Societatis Scientiarum Upsaliensis

191쪽

tis Cel:i Dor ira nil , eandemque talem cujus demonstrandi negotium Si Scipere l. cit. supersederii Bertra nil verbis adiectis 'notis n 'en rapporterons pas in domon Stration, qui a dedit purii dans co doui Dalr . Cui quamquam demonstrationi sormam licent reddi aliquanto simpliciorem nDStamen, ne in re cognita ineptost verbosiiniis rei judicemur, Satius hoc tempore in verbis modo citatis Celii Bor ira nil ad

Si fuerit seriei terminus generalis positivus f nji in comparatu S, ut ii quodam ac quolibet majori per-

a m b ae Serie S, qua r u in ter in ini generale S sunt

si rent i haud negati viij,

192쪽

No hujus quidem I heoremalis demonstrandi negotium liuic nobis injungere par est, sit quidem duplici caussu. Etenim quod

hoc I heorema alii cuidam, subtili admodum aeque ac generali, intimo conjunctum est nexu; propterea conlinenti illi orationis tenori, quo in rebus Λnalyticis uti decet, male foret consultum, si alterum heic ab altero separatum ira etare Susciperem US. Λm-lo alia indulam) demonstratam ol quidem titulo . Noli velle rogi e fur la conver-genee des sortes. subscriptam exhibuili nescius ille quidem Dissori alionis cujusdam in dournal de Math: et de Phys. p. Eltingshnuson et D num garluer Vial. X. dudum perscriplost, in qua jam Cel. Raabe primus i l le quidem hoc ipsum Τheorema et quidem ea, qua nos usi sumus, mi ma) dem instraverat : cujus Praeterea Disser- lationis memoriam haud multo post Auctor ille in Cr o lle's dournat s. d. r. v. a. Math. I'. XI pag. o09 ot quidem in sua Noto su D theorie der converg. v. d i verg. d. n othen' Diranslata ea quidem postea per Col. Lebos gue atque tu T. V l. dournal de Li ou villo illa laJ revocaverat. Usus Theoremalis hujusce, ut con Slut, judicari nonnumquam possit cunVergens Sit

CuI tuu ra I sit. Ace minus constat

in eune nu, Pu

Prddcipue versatur, ut ope illius diseries termini generalis f. Π) talis, hoc Theorema assecerit dilatatione Bertra nil I. o. in T. VI l. dournal de L i ou ville. Praeterea abs re haud crit paueis hoc loco monore nuper admodum t 844) illusii' N. G. de Schullen in Societ. Sol

ent. Fennica rem quodammodo repellisse. Scilicet Dertra nil in praeclara sua regularum serie exhibenda non solum formam, qua primae earum usus erat Dialia mel, Prose-elo non aptiorem eam quidem conservaverat, Sed ipsum quoque demonstrationem levius aliquanto quom par est expeditam reliquerat. Schultun eidem huic seriei regulorum sorma, qua jam primae earum o lina usus erat auetur Raabe, indutarum completam l. o. reddidit demonstrationem. - Qua de re tota licet nonnulla, eademque haud utique levissimi momenii, verba adjicienda habeamus; salius tamen huc tempore in iis quae jam allata sunt subsistere putavimus, praesertim quum nubis huic sula ea regula, quam continet Theor. illud I. opus erit. -

193쪽

bo autem hoc loco unu pertractare ineptam redderet nimiumque prolixam hanc dissertationem, quippe cui non nisi unico hoc Τheor. II opus eri L Quibus nos rebus adducit nuper admodum ambo haec I heoremata peculiari cuidam dissertationi mandata Reg. Scient. Λcademiae Stochhol m. reserenda Obtuli-

His jam praemissis rem ipsam adgredimur. 2. Ex iis, quae jam in Parto I:ma harum VI xercitatio. num' allata sunt, habetur in denotante num . integrum

prout u aut ς m - l eSt. Et quidem Si u numerum quemdam integrum aut o conscit tu ,γι-I ; una Vel altera iustu QSt aequu-

intelligatur in aequat. Superiori ε - , Prout v positi a cSi aut negativa, atque in inferiori vice

crSa. Si fuerit ν - o una cum v m - l, omni RhSqUO PQSEP-vato ambae sequationeS in identicam o is o ab Eunt. Ex quo patet eSSe Semper, re denotante numerum integrum ,

194쪽

R. breviter .

Qua ex aequatione et quidem vi I be remulis illius I. su cito patebit seriem Modulorum ipsorum 7 l, Ii, I , Itb, is e. Con ergentem ESSE, dum po Siti a QSi quantitas, , realiqualibet. Etenim - ut O miliatur casus ille speciali S p o unu Um fi nutu. integro quo in cnSu reS per Se patet, quippe quod Sorios tunc finita osti habetur ex G , se reali qualibet, re quodam ac quolibet majori cui limos, crescente n indesinite, μ pOSiliva est; ideoque series

Itaque pro certo statui licet Seriem ipsam membri posterioris Ιj, dum Mod χ - 1 ponitur, Con ergentemPSSe, quoties μ Ρο Sitiva Sit quantilas. -

195쪽

. . Di Vergentem eam es Se, quoties μ negati Vanum erico bl suerit, saciliori admodum negotio ex ipSn mo

duli natura perspici licet. Etenim si merit

ex sui habetur

qui quoniam infra 1 numquam decrescit, res jam in aprico po

4. Sin Vero μ - o est aut negativa numeric e ς 1, quoniam tunc series illa 7j modulorum in genere divergens QSt, altamen terminus illius generalis R. crescente M indesinite ipse indefinito decrescens ' nihil ex ea concludi licet de natu-

quae quidem numquam inferior ipsa Vfi' in , ' evadit. Ex quo patet seriei 7) ms

dulorum , quoties is haud positiva sit - ο), summam n*I terminorum primorum haud minorem evadere ne

196쪽

ru seriei ipsius si in pro Mod . di m 1. In hoc autem caSu rem ea sero xia, quam Abel munivit ri expediri licebit. ΙΙoic onimi positiva est quantitas ideoque iis convenienter, quae modo in nrt. 2 probala sunt, pro certo statui licet Seriem 8 - . . . . l, syε l sex, νε l). xy, sy- I x'. Se con ergentem esse, etiamsi MOd. x sit. - Sit in hoc casu

eamque igitur ipsam divergentem esse, eerle quoties ti negativa fuerit. Ni hi l o mi ii iis terminus illius generalis, qnolies ρ ς l sit, crescento n indesinite ipso decrescit indefinite: id quod ex eo patet, quod loco α) suhstitui semper licet V ' εν .

culus Drior laetor - , dum o est, crescente n indefini-

2. I n xle ipse decrescit indefinite svid. ex. gr. Sc bl si mite bys II and huc h pag. M5J; posterior autem, quoniam l - α εμ est prout a positiva aut o), productum consistit inserius et quidem, si V m O, aequale) ac l

197쪽

Jam denotante S summam seriei convergentis 8j, ita ut

patet in tantum n perveniri licere, pro quo et quolibet majori difforentia

indesinite parum a sinitu quadam determinutaque quant.

discrepet.

Ιtaque pro certo statui licet seriem membri posterioris Ι j convergentem e SSe, quotieS μ o fuerit aut

u negativa indesinito parum ab O discrepet Iut ex ipsa demon Stratione perspicitur l. - Nec id solum. Inari. 2 praeced. probata est series nostra con VergenS QS-

se, u positiva scilicet data qualibet positiva

'ὶ Cons. notam infra contextum pag. G. Par l. l:ίe harum 'Exercitationum . - 1levera ut in adhibendo Theor. illo I. evitentur erroros, probe e St Observandum, ut Ver-

198쪽

Λt iisdem ipsis verbis, qui hiis in demonstratione novissima u Si Sumus, probari licet constare sibi hanc ipsam nSSerlionem novissimam, etiamsi tu positiva indesinite

ergentem OSSE

Sin vero x l ponitur, dum μ - o est si positiva aut negati viij aut negativa numerico oliamsi tunc , - ο fuerit , divergens erit series lj i. o. huic

id quod sucillimo negotio patet, dum es o cSt u negati Va o, numerice ): nam series tunc abit in istami, o 'positiva ' in ct ) intellightur pusiliva nec lainon indesiuilo exigua': id quod in nota cit. jumja in ebl munitum atque praeter a ex ipso modo hujusce theoremalis du- monstrandi plane opparet. ) Sola ea nocidit immutatio, ut, quo beio perspicia iur Fis crescente n indesinite ipsa indefinite in o convergere, muneatur secun d. u) huic haberi

eaque haud major esse producto ipsius v μι' -

n Per

199쪽

quae quidem di VergenS eSt si numero quolibet: id quod si placetj eodem modo ac in nota prima sub contextu hujusce art. 4perspici licet ex eo quod terminus illius generalis

Λtque si i positiva est uiat negativa si numerus Vi auto ;Seriem, de qua quaeritur, sic licet describi:

. . . . . . . . , in c.

Quae utrum con ergens Sit an divergens, dijudicari non licet uti jam supra est monitum j ex natura Seriei, quae eX modulis horum terminorum conficitur. Nec tamen, quo reS decernatur, necesse est Abel duce tam longe ab recta decedere,

in Oetavr. Compl. Τ. I. pag. 86. - De caetero heic nobis in eo solo subsistere non licet, ut moneamus Abel hoe loco rem minus eleganter gessisse; celari non Ρο- test. Λuciorem inclytissimum inpuria quadam brevitati heic melius quam rigori Malheseos ac subtilitati consuluisse. Qua de re sustus in nota infra contextum g:i 2:i insequentis erit dis,erendum.

200쪽

ut consideretur stinctio ipsa ΙΦ e , quae, dum MOd. x St, summam Seriei tune con Vergentis conficit. Diroeto enim et quidem ope Τheoremalis illius II. rom expediri licebit hoc modo. Divergentem esse seriem 9 j, ν positivii aeque ac negati Vu, dum ρ numerus est aut o , pro certo statui licebit, si modo probata suerit talis osse sortes termini generalis

quod idem valet,

va set quidem s reali qualibet haud negativu), id ex Τheoremate modo et t. II. recta consequitur positu in eod ii mltaque pro certo jam statui licet sterioris Ιj divergentem DS SP,

ν positiva aeque ac ne g.