장음표시 사용
11쪽
animadvertitur, quod, si una series abrumpatur, rebus recte dispositis abrumpetur altera; etiamque docetur methodus inveniendi fluentes fluxionum hujusce formulae sa -- bx' -- &c. -- se Uin &c.ὶ ) κ
cipus, iis a Cragio traditis haud multum dissimilibus; & observatur, si fluxio quantitatis a -- &C. per se --ix' -- &C. ' divisa aequalis sit fluxioni quantitatis se -- &c.)' per a -- θ x' -- &c. divisse, pro fluente assumendam esse sa-bx' - -&c. -- se . &c.) y κ &c. &c., & non sa -- bx' -- &c. in se in jx' - - &c.)η)r' κ&c., asieritur etiam in fluentibus detegendis easdem radices omnis irrationalis quantitatis usurpandas esse; & e substitutione datur meta thodus investigandi plures fluentes ejusdem fluxionisi iniec diversos variabilis valores contentas, quae inter se sunt aequales. Cretius primum fluentes quarundam fluxionum fluentes involveniatium methodum inveniendi docuit; nempe fluentem fluxionis fiux esie Psππ- Petr X; eandem Perfecit Iannes Bernotis per se-
- &c. Postea vero Neu onus tradidit
12쪽
quantitates l) nominum, fluentem cujuscunque fluxionis praedictae formulae ; sed hic observatur quosdam casus, in quibus λ vel θ sit integer
numerus, excipiendos esse; etiamque si modo sit exponentialis quantitas es Φ' 'ες εος )' sa -- bx' Φ ex ' -- ubi ν & πsint integri numeri & a b x ex ' - &c. sit quantitas I nominum, tum e fluentibus I - 1 fluxionum independentium praedictae formulae, quae habent l-I diversos valores quantitatis , erui posse fluentes omnium fluxionum ejusdem formulae: & consimiles propositiones defluentibus hujusce generis, qua: in diversas irrationales quantitate ducuntur; de fluentialibus fluxionibus;.de fluentibus fluxionum hujusce formulae ta bH -- cx''. -- dcc.)- N x vel sa -- θα
In data algebraica aequatione relationem inter abscissam & ejus correspondentes ordinatas designante pro I substitutit τ' Mutontis; &ex hac substitutione in quibusdam casibus resultant aequationes ad areas, quarum fluxiones arearum per functionem algebraicam v in υdenotantur; quod quidem evenit, cum sequatio inter abscisiam x &ejus correspondentes ordinatas 3 sit γ' - a WΥ - Λ xti In Actis Philosoph. Lond. I 76 . a me primum docetur W- a b x-e x )υ'
b κ . . x ) υ' ' -- &c. - o esse aequationem ad aream fm curvae, cujus sequatio relationem inter abscissam & ejus correspondentes ordinatas sit τ' -- α -- βα)s ' - &c. o, si modo ea infinitis terminis exprimi possit. Debbus Bernoulli invenit fluentem fluxionalis aequationis 3 'ω- Xx, ubi P & X sunt fuctiones quantitatis x. Euterus idem principium ad fluxionales aequationes superiorum ordinum applicavit, nempe invenit fluentem & ejus n) multiplica-
D' Alemberi detexit fluentem fluxionalis sequationis F aj x in ta αἶ. . . AIA' - Α κ' 1 in hoc libro traditur methodus inveniendi, annonfluxionalis aequatio reddi potest integrabilis ex ejus multiplicatione in functionem quantitatam x Sc x. Iannes Bernoulli primum invenit fluxionem exponentialis quantitatis
13쪽
talis x ; dedit regulam pro inveniendo fractionis valore, cum ejus numerator & denominator simul evanescant, erit enim L vel
&ς-; quae regula in quibusdam casibus fallit; in hoc libro traditur regula pro inveniendo Priedicto Valore, quae vix aut ne vix unquam fallit; nempe evanescant & numerator & denominator cum x a, pro x scribatur a - - λ & reducantur & numerator dc denominator ad seriem secundum dimensiones quantitatis v progredientem, Sc facile constabit valor fractionis: eadem principia etiam ad inveniendas disserentias, &c. inter quantitates, quae eVadunt infinitae magnae, hic applicantur: invenit etiam curvam, quaen I habet quadrabiles areas; e. g. sit I et ax bes ex ' - &c.)' relationem inter abscisiam x & ejus correspondentes
ordinatas 3 exprimens, ubi I sit fractio ad minimos terminos reducta,& Ex fluxio, cuius fluens inveniri potest; & radices vero α, β, γ, A &c. aequationis a b x' ' -- &c. - o sint possibiles, tum inveniri possunt n-I quadrabiles areae curvae praedictae inter valores α & β, β & γ, ω & λ &c. contentae: investigavit etiam suentem fluxionis x x intervatores o & I quantitatis x contentam in I -
docuit methodum detegendi areas curvarum, quarum relationes inter abscissas & earum correspondentes ordinatas per homogeneam vel algebraicam vel fluxionalem aequationem primi ordinis exprimuntur: reduxit fluxionalem aequationem I x j xt ad fluxionalem aequationem primi ordinis: invenit etiam curvam omnia puncta contrariae flexurae ad fluxionalem sequationem designantem in quibusdam casi bus esse algebraicam. Olesus invenit radices aequationis x' ara I o, ex quibus detexit
14쪽
Uredi dedit fluentem fluxionalis aequationis primi ordinis, primi
vero gradus. Riccati dedit casus, in quibus fluens fluxionis γ in aγη x - Ax innotescit. Braol T lor transformavit datam fluxionalem sequationem, inqua x fluit uniformitur, in alteram, in qua γ fluit uniformiter. Mac Laurinus invenit quasdam fluxiones, quarum fluentes inveniri possunt ope ellipticorum & hyperbolicorum arcuum, de qua re Postea scripsere Euterus, Te Grave, & alii; at minus utiles sunt hae investigationes, quoniam nullae dantur tabellae, quae exhibeant praedictos
Comes Fagnanus tradidit fluentes quarundam fluxionalium aequationum primi ordinis, in quibus similiter involvuntur variabiles x bc I,& exinde detexit ellipticos arcus, quorum differentia est finita quantitas, hujus generis plures adjecit Eulerus. Clatraut invenit fluxionem p x in ργ fluentem recipere, si modo
Fontaine idem persecit pro fluxionibus p x in pr Φ
tio fluxionalis x - - BQ o sit integrabilis; eadem principia diversis modis ad fluxionales sequationes primi ordinis applicavere 19 Alemberi & Eulerus; consimilia principia a Marchione Condorcet &in hoc libro extenduntur ad fluxionales quantitates & sequationes plures variabiles quantitates involventes & majores ordines habentes. Euterus invenit fluentes fluxionum a - - b in x intervatores o vel infinitum & - ἱ quantitatis x', ubi r & v sunt integri numeri, ex fluente fluxionis sa -- bH αρ' 'x inter eosdem valores variabilis x contenta, quod quidem e praedicta Neutoni regula erui potest, nam pro x in fluente per praedictam Neutoni regulam deducta scribantur praedicti valores, & quantitatum resultantium differentia erit fluens quaesita: hinc, cum generalis fluens acquiri possit, non
15쪽
dissicile erit fluentem praedictam detegere; ex substitutione enim se quitur: investigatio fluentis inter o vel infin. & ἱ non magis utilis
est quam inter quoscunque duos alios variabilis x valores; in non nullis casibus constat ejus magis facilis resolutio; e. g. Euterus inve-
nit fluentem fluxionis inter valores O & infinitum quantitatis
ubi re denotat peripheriam circuli, cujus radius est
x x e --yx yi' inter valores o dc - d quantitatis contentas, ef d' 2D- G κ P. Sini on dedit legem seriei, quae deducit f. x' r xx se H mi ex data s. α' ' se εχ 'Px; ubDr & s sunt integri numeri. Le Grange invenit variationem incrementi aequalem esse incremento variationis, si modo infinitesima sint; & deduxit Lexeli, Eu Drus, Le Grange fluxionales aequationes, quarum fluentes inveniri possunt: in hoc opere animadvertitur, si incrementum fluxionis xaequalis sit fluxioni incrementi, fluxionem incrementi functionis quantitatis x aequalem esse incremento fluxionis. D'Alembere primus dedit exempla de aequationibus relationes ex
primentibus inter quantitates hujusce formulae &c., ubi hae quantitates respective denotant fluxiones quantitatis P, cum xo, &c. solummodo habeantur variabiles: de hac re plurima scripsere Euterus, Le Grange, Condor cet, Le Place, aliique; at de his perpauca in hoc libro traduntur: ex data resolutione aequationis praedicti
16쪽
Lator cujuscunque fluxionalis sequationis primi ordinis p A H ΤJ V, & consimilia principia etiam applicari possunt ad fluxionales εἰ lxia tiones superiorum ordinum. Ex quibusdam datis formulis multi Plicatorum dedit Eulerus exempla fluxionalium aequationum, qu Iedduntur integrabiles per praedictos multiplicatores: ex data sub situtione, quae ita transformat datam fluxionalem aequationem, ut evadat integrabilis, invenit multiplicatorem, qui datam sequationem reddet integrabilem: docuit methodum investigandi in quibusdam
Casibias, an non data aequatio sit fluens datae fluxionalis aequationis ex datis particularibus fluxionalis aequationis 3 -- PF xy -- αγ' xy
o: dedit etiam plura exempla fluxionalium aequationum, quarum fluentes deteguntur: dc subsequentem propositionem; si modo P a, ubi a sit quaecunque invariabilis quantitas, sit generalis fluens datae fluxionalis aequationis, tum erit quaecunque functio quantitatis P - a generalis fluens: nonnulla adjecit de subtangente curvae, cujus sequatio I. 2.3 .. X et I ab H alii io primum tradita fuit. Plura exempla fluentium inter valores o & I variabilis x contentarum dedit.
In hoc opere I. observatur, quod si plures dimensiones fluxionum j,&c. in data fluxionali aequatione contineantur, tum investigatio fluentis exigit resolutionem sequationis algebraicae, cujus dimensiones haud sunt minores quam praedictae n). 2. Adjicitur etiam methodus in-Vuniendi fluxionalem sequationem n ordinis, ex qua methodo constat stuηionalem aequationem n ordinis n recipere diversas generales fluentes primi ordinis, etiamque n diversos generales multiplicatores; n.
generales fluentes secundi ordinis ; c sic deinceps: exhinc ue-- b duci
17쪽
duci post uni plurimae fluxionales sequationes, quae fluentes recipiunt. . Animadvertitur, , si generales fluentes fluxionalis sequationis n o dinis sint P a, P - , P &c., ubi a, P, P sunt in variabiles quantitates, generalem fluentem datae fluxionalis sequationis esse quemcunque functionem quantitatum P, P P &c. q. Ostenditur quantitatem P o non necessario esse fluentem fluxionalis sequationis αP-- βPρ o, cum sit fluens prioris partis sequationis α P o, at non fluens Posterioris β Py o ; quae est quantitas si P - o ducta in q: hic animadvertendum est fluxionalem aequationem primi ordinis p x q=-o semper reduci posse ad fluxionalem sequationem a P -- ΛPc αα o: ubi p, q, a, b & c sunt functiones quantitatum x & F, & P est quaecunque assumpta functio quantitatum κ&3: etiamque, si modo sit F A BAC Dκ &c. - - a, ubiis est invariabilis quantitas ad libitum assumenda, generalis fluens datae fluxionalis aequationis; I A, B, F C, &c. esse particulares fluentes fluxionalis sequationis: vel magis generaliter, si modo
-o esse particulares fluentes datae fluxionalis aequationis; hinc pro particulari fuente quaerendae sunt praedictae quantitates, x & νὶ
ubi a, b, c, &c. sint functiones ipsiuS x, & curva per praedictam aedua 'tionem designata haud sit composita e duabus vel pluribus curvis, &suens fluxionis - haud inveniri possit finitis terminis, tum curva haud quadrati potest: consimilis propositio etiam de fluente cujus
18쪽
cunque algebraicae functionis quantitatum 3 in x ductae astirmari potest; cujus solutio petenda est e meis Miscet. Analyt. anno 176 aeditis, in quibus primum docetur methodus inveniendi summam e singulis valoribus cujuscunque algebraicae functionis quantitatum π& earum fluxionum; deinde Actis Philosoph. Londin. 176 , ex data algebraica sequatione relationem inter x & 3 exprimente a me datur methodus, e qua investigari possit, utrum fluens cujuscunque fluxionis, quae sit algebraica fundito literarum in data algebraica
aequatione Contentarum & earum fluxionum, inveniri potest, necne.
. Asset itur summam fluentium cujuscunque algebraicae functionis literae x&3 in x ductae ad quemcunque valorem abscissae x pertinentium exprimi posse per finitos terminos, circulares arcus & logarithmos radicum datae algebraicae sequationis. 8. Docetur etiam methodus, ex data algebraica, fluentiali, exponentiali, &c. quantitate, qUT eX- primit summam seriei secundum dimensiones literae x progredientis, inveniendi summam alternorum seriei terminorum vel denique seriei terminorum, quorum distantiae a semet ipsis sit n, ex iisdem Principiis ac iis, quae cum pluribus aliis ad Regiam Societatem anno 1757 communicata fuerunt. 9. Circa tres axes secum quoscunque angulos facientes gyretur quaecunque curva, cujus abscissae dc ordinatae sint respective x Sc 3; transformetur data curva in alteram substituendo Pro x, az hv--cti & Pro F, s Q. -- 7 V -Φ- r; gyretur haec curva circa axem suum; dc e datis contentis solidorum circa tres axes rotatione datae curvae generatorum sequitur solidum generatum a rotatione posterioris curvae circa axem suum. Vice-comes Brounter eruit summas serierum
Vincent primum dedit in I in x -- α' &c. Mercator operando in literis ad eundem modum, quo arithmetici in numeris de
19쪽
in extractione radicum perfecit Musonus: eorum antecessores in re algebraica divisiones de extractiones in infinitum haud promovebant, nullum perspicientes usum, cui per applicationem Wallisiani theorematis in quadraturis detegendis inservire potuerit: Neutonus ex binomiali theoremate reduxit binomiales algebraicas quantitates ad infinitas series, & exinde deduxit areas curvarum: quantitates multo magis complexae ad infinitas series adhuc solummodo per vulgares methodos divisionis & radicum extractionis olim traditas reduci possunt: in harum regularum exemplis docuit series vulgares, quibus ex arcu correspondens sinus vel cosinus detegitur, & e togarithmo
arcu detexit Pacobus Gregor); series - κ ' ' - 5te. phoni cu ellipseos, &c. ex novis principiis in hoc opere primum traditur, sed animadvertendum est in quacunque fluente detegenda, convergentes esse debere series Pro. duobus valoribus variabilis datae seriei
quantitatis. Leibnitatus χ Neutono quaesivit casus, in quibus series exortae vel ex Mercatoris methodo dividendi, vel ex Neutoniana radicum extractione
in infinitum convergent: quod Leibnitatus quaesivit, in hoc libro primum peragitur; nunquam convergent series e ptaedictis methodis dedurue secundum dimensiones quantitatis x ascendentes, si x major sit quam minima radix aequationum resultantium ex denominatore vel ex radicalibus in infimos terminos depressis nihilo aequalibus esse assumptis; nec deseendentes, si X minor sit quam mataim a radix praedicta. Convergentia pendet ex ratione quam habent radices prae dictae ad x; e. g. series m mῆ -- l my -- 6 C. - . semper converget, cum m minor sit quam I; serieῖ autem x - xy 3
20쪽
r x, utcunque magna sit quantitas x: series autem x - x &c. divergit cum x major sit quam I, ergo ex ea non deduci potest log. quantitatis, quae major est quam 2: quantitatum , , Sc.
dato togata numeri io) logarithmi facile detegi possunt ex togarithmo quantitatis a, & hinc ex serie x - xy -- &c. detegi potest
log. quantitatis, cum ea frustra sine tale transformatione quaereretur;& magis convergentes evadent utraeque series: eadem etiam applicari possunt; cum quantitas, cujus logar. innotescit, non sit Io, sed quicunque alius numerua: in omni casa series ni m* -- έm3&c. magis celeriter converget quam series x - ἱκη-lx3 - &c.: in.
hoc libro ex transformatione fluxionis scribendo in ea et in a & z prox & x ostenditur, quod fluens inter duas proximas radices praedictarum aequationum contenta semper acquiri potest; etiamque, si quaecunque radices Praedictae inter duos valores quantitatis x, inter quos requiritur fluens, consistant, & fluens haud sit infinita; tum necesse est plures interpolare diversos valores quantitatis a, assumendos ita quidem ut quantitas z incipiat ad singulas praedictas radices, vel in iisdem terminet; sin aliter vero omnes series resultantes haud
erunt convergentes: si vero plurimi interpolentur valores quantitatisa inter duas proxime successivas radices praedictas ita ut maxime celeriter convergant series, tum erunt differentiae inter valores praedictos in geometrica progressione; unde ex Mercatoris & Neutoni methodo fluens solummodo detegi potest cum utrique valores variabilis quantitatis sint minores quam minima radix Vel negativa Vel amrmativa; sed ex
hac simplici transformatione semper detegi possit, cum praedicti valores inter ouascunque duas proximas radices interponantur, vel magis generaliter cum ea finita sit: utrum quaecunque duae datae quantita-tς. inter easdem duas radices interponantur, necne; Plerumque ex
earum substitutione in datis sequationibus e mutatione signorum da . tarum re resultantium aequationum facile constabit. T lorus dedit seriem S - -- TU &c. Ealerus, Mae Lalirinus, dic. cum approximationes inventae lente