장음표시 사용
21쪽
convergant, interpolavit alios terminos ad perparvas distantias a se
invicem positOS. Eulertis advertebat, quod, cum ordinatae fiant infinitae, tum haud convergent approximationes sic inventae, & ad investigandam areamicuru e inter duas ordinatas positam interpolavit Plures ordinatas, Sc deinde ex serie I H - δ c. n a n* 2.3 n investigat ordinatam, & ex ordinata per seriem s Vn -- Z - -
. -- dcc. investigat aream, dcc. Arabes, Lucas de Burgo, Harriottus, Oeth resis, Girard, De La F, aliique tractarunt de approximationibus ad radices aequationum, docuere methodos aPPro Ximationum easdem, quibus nunc utimur, cUm inveniatur quantitas a radice quaesita haud longe distans: Neu fontis, Vietae aliorumque vestigiis insistens, eadem magis elucide perfecit, & animadvertebat, quod si e sit perparva quantitas quaesita,& data sequatio sit A -- Be Cey -- dcc. - o, tum ex tribus terminis A in B e -- Ce* - ο nihilo aequalibus esse suppositis sequitur approximatio ad valorem quantitatis e, quae duplum praebet numerum figurarum approximationis ex sequatione A in B e o inventae; ultimo a me primum Ostenditur veram esse hanc Propositionem, &radices sequationis Α--Be--Cey-- De o triplum numerum illarum figurarum praebere; dc sic deinceps.
strationem primum dedit Courtivron.
Simpson invenit continuas approximationes ad radices duarum aequationum duas incognitas quantitates habentium. Hic animadvertendum est omnes has methodos solummodo particulares praebere casus regulae vulgariter dictio falsi, quae in hoc libro magis generaliter redditur. In hoc libro I. primum ostenditur approximationem ex hac methodo inventam semper eo magis accuratam fore, quo propior fuit quantitas pro radice substituta radici quaesitae quam reliquis E. g. si quantitas
22쪽
titas data sit sere intermedia inter duas proxime successivas radice3,
i. e. sit radix sequationis ad limites, tum nova approximatio inVenta erit infinita quantitas; minime refert, utrum permagnam habeat ratio nem ad radicem quaesitam, necne. a. Traditur methodus ex datis ap-Proximationibus ad m radices sequationis 1i dimensionum inveniendi approximationes ad singulas praedictas radices magis convergentes. 3. Sit aequatio α' - ρκ' ' in qx' - - &c. - o, bc si una radix multo
major sit quam m, multo vero minor quam n - m - Ι, traditUr noVamethodus inveniendi seriem radicem praedictam exprimentem. q. Datur etiam theorema quod dico incrementiale theorema, ex quo si modo
dentur incrementa e singulis variabilibus in data quantitate contentis, facile erui possunt ejus diversa incrementa; & ex hoc theoremate quam plurimae aequationes in algebraicas transformari possint, ex quibus approximationes ad radices deduci possint; etiamque adjicitur nova methodus ex assumptis m diversis valoribus pro radice x, dc ab ea haud longe distantibus, inveniendi sequationem m dimensionum, cujus radix erit approximatio ad radicem x: omnia praecedentia Principia etiam applicari possunt ad Plures sequationes plures incognitas quantitates habentes, etiamque ex iis deduci potest una in terminis
reliquarum. Neti onus dedit α - β'' --- γμ' &c. - , ubi α, β, γ, &c. sunt radices datae aequationis, Pro maxima radice. Daniel Bernoulli invenit . maximam radicem datae aequationis x
p ρκ' --rx Τ &c. o, si modo ea sit possibilis; in hoe libro observatur idem perfici posse pro omnibus aequationibus irratio nates vel plures variabiles quantitates involventibus; docetur etiam Consimilis methodus ulterius promota inveniendi radicem, quae minor sit quam maxima, major vero quam omnes reliquae; dd eadem PriΠςipia ad detegendas omnes reliquas radices Promovere liceat.
Omnia ζ', quae prius protuli de convergentiis siqnerum ex divisione Ecextractione radicum ortarii' aeque ad hasce approXimationes applicari possunt; sed omnes hae regulae vel supponunt omnes radices esse possibiles, vel possibiles esse maiores quam impossibiles; at in aequationibus
23쪽
tionibus superioriam dimensionum plerumque numerus impossibilium radicum multo major erit quam numerus possibilium, & consequenter probabile erit, ut maxima impossibilis radiX major sit quam ma-Σima pollibilis; ergo regulae non applicari possunt, ni inventum sit Possibilem radicem esse majorem quam lingulas impossibiles. Datur methodus facile deducendi infinitas sequationes, quarum radices sunt
omnes possibiles. In hoc libro docetur etiam methodus reducendi quantitates praedictas ad series secundum dimensiones quantitatis x progredientes,&c. ita ut earum integrales innotescant.
Barrovius in quibusdam casibus deduxit ex aequatione relationem
inter x lc γ exprimente a PProximationem ad quantitatem γ in terminis quantitatis x; hanc propositionem magis generalem reddidit Neutonus, cujus particularem casum dedit in reversione serierum; eadem principia ad fluxionales sequationes applicavit, sed in hisce sequationibus, si modo resolutio sit generalis, tot semper occurrent quantitates ad libitum assumendae, quot sit ordo fluxionalis sequationis, in quibus casibus Plerumque occurrent quaedam dissicultates, quarum nonnullae in hoc libro traduntur; e. g. in generali fluente detegenda per seriem fluxionalis aequationis sn) ordinis semper occurrent homogeneae fluxionales aequationes primi secundi, &c. usque ad n ordinem. Leib-
generales coessicientes habentem. Euterus recte instituit approximationes ad singulas quantitates & earum fluxiones, & ex iis Per methodos praedictas approximationes deduxit. In hoc libro I. docentur methodi adjudicandi, utrum hae series convergent necne, fere ex iisdem principiis ac prius tradita fuerunt pro algebraicis aequationibus,&c. 2. Prima approximatio ex quacunque data hypothesi ita de luet potest. Sit aequatio γ' - ' - bI' ' - &c. o, ubi a, b, c, &c.
sint functiones ipsius x; deinde rejectis omnibus terminis, qui haud maximi resultant ex data hypothesi in praedictis quantitatibus a, b, &c.
resultet sequatio, - βf -&c. o; quae erit sequatio, cujus radices erunt primae approximationes ad singulas datad aequationis radices; si modo quaedam ex iis longe distent a reliquis, tum ex observatione
24쪽
servatione adiuncta facile acquiri possunt: aliter exoritur resolutio quadraticae, &c. sequationis: idem etiam perfici possit per eundςmmodum, si modo quaecunque irrationales quantitates in data zequa tione contineantur: eadem principia applicari possunt ad Plui Q. . quationes plures incognitas quantitates habentes: Le Grange in e nil legem, quam observat reversio seriei ex mea serie pro su nam is PQ testatum; eadem series paulo aliter in hoc libro deducitur; etiam lucdeteguntur approximationes ad maximam vel minimam datae alge' braicae aequationis radicem ; & invenitur 3 in terminis secundum dimensiones quantitatis x progredientibus, si modo Pricis ita transformetur data sequatio, ut una radix evadat multo major vel minor quam quaecunque alia datae sequationis radi X.
Briggius vel Vieta & Pascat, primum quod scio invenit binomiale
theorema: id ad radices extrahendas primus applicavit Neutonus. Nostras Briggius reddidit calculum pro togarithmis faciliorem, ex eo quod interpolavit plures quantitates ea methodo quam invenit di ferentiarum ultimo inter se aequalium ; & prout primae, secundae, tertiae, &c. differentiae exoriantur aequales, diversas ex methodus habet leges: hanc rem ulterius prosecuti sunt Regnaldus 6c Moulonus, & hi omnes invenere n disserentias potestatis n quantitatum in arithmetica progressione esse aequales; deinde ex hujusmodi quantitatibus datis, quarum differentiae Isint ultimo aequales, investigavere legem, ex qua interpolari possunt praedietae quantitates, quae constant ex quantitatibus hujusce
gis generale reddidit, assumpsit enim quantitatem p taedictae formulae
Ax' ax ' - bx' --&c αα , bc pro xla I scripsit quascunque quantitates p, q, r, s, &c. bd A, B, C, &c. & ex aequationibus resulta litibus deduxit quantitatem praediciam; ex hac methodo duxit curvam alge braicam per quotcunque data puncta: ex assumptis quantitatibus
lutionem magis facilem reddidere Nichola, Sterling la malaius: in licelibro I. quaedam n OVa traduntur de hac methodo differentiarum; de ejus convergentia, cum termini haud Ultimo evadant inter se aequales,
25쪽
i. e. haud terminetur series. 2. Adjungitur etiam problema ex data lege, cui m assumptae quantitates conveniant, n vero haud conveniant, ita corrigere legem, Ut n posteriores etiam ei conveniant. 3. Datur methodus correspondentium valorum,
tiarum. S. Methodus correspondentium valorum applicatur ad plures casus in transformatione aequationum ex Medit. Algebr. desumptos. 6. Eadem etiam applicatur ad datos correspondentes valores trium vel plurium incognitarum quantitatum, &c. Brobi Tolor invenit incrementum cujuscunque algebraicae integratis idem perficitur pro incremento fluentialis integralis ab Le Grange, Eulero, lac. R in hoc libro; consimilia principia etiam applicari possunt ad incrementa integralium & fluentialium quantitatum detegenda: integi alem incrementi Q. zH-z.Q- az.. z- n-o etiamque
vero termini in genere sint in y si E T in &c. ubi a sit distantia a primo seriei termino, invenit summam
26쪽
De Moivre & Daniel Bernoulli investigavere summas recuirentium serierum, & e summa data deduxere relationem inter successivos terminos.
Nicholas Bernotitia invenit seriem aequalem summae n terminorum liu jusce seriei; hujusce problematis altera datur sol citio in hoc opere: Monmort etiam deduxit summam seriei, cujus numeratores Anstituant lineam quamlibet erectam in triangulo arithmetico, denominatores vero lineam quamlibet transversam. Bernoulli, Mac Laurin, Le Grange, Eulerus, lac. multa tradidere dei perimetricis problematibus, de quibus haud in hoc opere trwctatur. Wallisus dedit ex interpolatione arearum curvarum inter valores o& I abscissae x contentarum, quarum ordinatae sint respective si-xφ Q, I -- α')y, Ι - xy)y, &c. terminum intermedium inter primum Rsecundum, viZ. aream curvae, cujus ordinata sit I-x )ἴ, i. e. circuli
Le Grange, &c.; e. g. si continuae fractionis termini sem Per recurrant, tum ejus valor e quadratica sequatione facile erui potest, dc sic facile tran formari potest radix quadratica cujuscunque quantitatis in continuam si actionem: nonnulla de hac re elegantia dedit Lambert: in hoc libro in nova specie continuarum fractionum, in quibus includuntur radice8, e X primitur radix cujuscunque aequationis hujusce for
27쪽
Bern ulli dc Euterus invenere plura continua contenta inter se aequalia; & plura, & multo magis generalia ex novis principiis in hoc libro continentur. E. g. Datur methodus ex substituendo oex, si x,γx, &c. Pro x in data quantitate, ubi α, β, ct c. sunt radices sequationis - I meto inveniendi continuum contentum datae quantitati aequale; ex eo quod inveniuntur quantitates, quae in seriem datae quantitati
vel fluenti aequalem ductae, eam reddunt magi S convergentem. 2. Et ex assumptis sequationibus inter terminos facile constant continua contenta datis quantitatibus aequalia.
Pacobus Grego ex datis aliquot ordinatis sequid istantibus invenit asymptoton hyperbolae generis logarithmici, cujus Problematis ope quasdam series summavit. Pacobus Eernoulli invenit maximum terminum binomii ad integram potestatem evecti, punctum vero ejus inflexus dedit De Moivre. Pacobus Bernoulli assumit quantitatem A, cujus termini ad infinitam distantiam sunt infinite parvi; ex quantitate A subtrahit eandem quantitatem per quosdam terminos diminutam; & resultat series, cujus summa est praedictorum terminorum summa; seriem resultantem semper convergere, primum quod scio in hoc libro demonstratur: hoc problema magis generaliter perfecere Goldba ob & De Moisre ex multiplicatione in factores nihilo aequales; & in hoc libro idem perficitur per additionem sine multiplicatione. 2. Etiamque hi duo casus redduntur magis generales per additionem e singulis duobus, tribus, &c. successivis terminis. a. Assumuntur duae vel plutares series, & ex iis deducuntur series, quarum summae innoteia
28쪽
numeri, ic et distantia a primo seriei termino. 4. Ex datis summis
acquiri possunt per simplices aequationes summae Omnitam serierum,
29쪽
resolvitur in plures simplices, quarum summae innotescunt. De Moitire& Bernoulli invenit summas serierum ex inveniendo fluentes utriusque aequationis partis: Euterus exinde deduxit summas serierum, quarum generales termini sunt Γῆ ex fluentibus fluxionum &c , cum Q arilitateS V, b, c, &c. sint inaequales, & exinde facile erui Possunt serierum summae, cum gene.
rates termini finiatis hὰ e': in hoc libro ex data summa IV seriei, cujus generalis terminus est C & cujus fluxio detegi potest, deducuntur summae serierum, quarum generales termini sunt V az Pa &c.); & ex summis serierum, quarum generales termini sunt y Vκ VX-- , 5cc. deducuntur summae serie-
& similiter de pluribus factoribus inter se inaequalibus in denominatoribus contentis. 2. Summae praedictarum serierum per fluentes fluxionum I , x VJ Scc. exprimuntur, &c; 3. Summae serierum,
circulares arcus & logarithmos, si modo α, β, γ, &c. vel sint integri numeri, vel habeant a pro suo denominatore. 4. Dantur summae se-
rierum, quarum gen ralea termini sunt r,
30쪽
x, χλx, o c. & sic de pluribus consimilibus. s. Ex dato generali termino invenitur seriei summa, si modo generaliter in finitis terminis exprimi possit, rejiciendo omnes ultimos factores la aflumendo Pro summa omnes reliquos in rationalem dc integralem functionem quantitatis et distantite a primo seriei termino cum coemientibus deducendis ductos, & exinde deducendo coeffcientes quae quidem semper priebent sommam, si modo in sinitis terminis exprimi possit; sin aliter seriem in infinitum progredientem. 6. Datur methodus inveniendi summas serierum, quae continent irrationales quantitates nostras Landen post primam editionem hujusce operis editam transformavit seriem x - x ' - --- Η &c. log. x, R quae selies, ut a me primum observatur, semper divergit, cum x sit possibilis quantitas, in seriem secundum sinus & cosinus progredientem; series enim est dif-
ferentia inter duas vulgares series x - - - - -&c. & x &C., qUariam una diVergit, cum altera convergat; haec series easdem propositiones praebet, utrum sit transformatio in sinus, necne; &c. Prior methodus calculum magis facilem Plerumque reddit.
NPationis x - &c. - o, E erus invenit summas plurium serierum consimilis formulae ex iisdem principiis la radicibus aequationi. i p) - ς- -- et st; a Gisio datis; ia exinde ex substitutione plures deduxit ,