장음표시 사용
41쪽
primis vel ultimis terminis deduci possunt approximationes ad illas
radices ; si autem una radix multo major sit quam m radices, multo autem minor quam reliquae, tum datur ejus approximatio: & sic de pluribus. II. Docetur methodus inveniendi maximam radicem datae aequationis, si modo omnes sint possibiles; dc eXinde reversionem seriei 3 - b x H- cxy -- &c. 12. Traditur methodus inveniendi approximationes ad radicem datae aequationis quae multo major sit quam m radices & multo minor quam reliquae. 13. Si una radix multo major vel minor sit quam quaecunque alia & vera ad r figuras; tum ex m -- I primis vel ultimis terminis erui potest approximatio vera ad mκr figuras prope. 14. Animadvertitur in aequationibus superiorum ordinum sui maxime Probabile est) numerum impossibilium radicum majorem esse quam numerum Possibilium, & consequenter maximum impossibilem radicem majorem esse quam maximum possibilem, & methodum inveniendi approximationes per extractionem radicum potestatum e singulis radicibus, &c. perraro inaequationibus superiorum dimensionum usui inservire. IS. Erit n.
16. Sit sequatio I ---- β -- γ - &c. - -- αγ -- β γ H- &ς, ὰ, φὰβ δ &c.)b -- &c. A o, datur lex seriei, quae sit AL 1 . Exterminis seriei resultantis per divisionem numeratoris I, &c. per datam aequationem deducuntur approximationes ad maximam radicem secundam, &c.; si modo radices sint omnes possibiles. 18. Approximatio ad radicem inventa pendet ex hoc, nempe quo propius quantitas assumpta Pro radice sit ad unam radicem quam ad reliquaS. 19. ApproXi-
42쪽
Approximationes sic inventae ultimo convergent in majori quam
quavis geometrica progressione. 2 o. Docentur casus, in quibus approXimationes inventae convergunt. 2I. Si terminorum datae sequationis signa semel solummodo vel progrediantur de in in , vel in -; Vel mutentur de in in -, vel - in ; tum assia matur quaecunque negativa quantitas in uno casu, assirmativa vero in altero, pro approximatione ad radicem praedictam, & semper convergent approximationes per Praedictam methodum inventae. 22. Datis approximationibias ad r radices datae aequationis, inveniuntur approximationes magis appropinquantes. 23. Detur aequatio A o, ubi
A sit functio quantitatis x; fingatur x variabilis, & sit a valor quantalitatis x prope; pro x scribatur a- e dc resultet aequatio P - ε Rey - ό Se &c. - ο; la ex terminis hujusce aequationis deduci possunt continuae approximationes ad radices datae aequationis. et . Ex data aequatione n invariabiles la incognitas quantitates involvente& datis ad eas approximationibus, per n substitutiones erui post uni quantitates ad earum valores magis approximantes. 25. Datis infinitis aequationibus duas vel plures incognitas quantitates habentibus, invenitur una in terminis reliquarum. 26. Sit v summa seriei secundum dimensiones quantitatis x, v vero summa seriei secundum dimensiones quantitatis z; dc detur series secundum dimensiones quantitatum m x progrediens; traditur methodus inveniendi is interminis quantitatum γ & v. 27. Invenitur formula seriei p-Fa x -&c. A, cujus potestates A' Vel radices A' semper eandem obser vant legem. 28. Docetur methodus inveniendi approximationes ad fluentes fluxionum reducendo datam fluxionem ad seriem secun dum dimensiones perparvarum quantitatum, vel variabilium, vel unius vel plurium progredientem. 29. Generalis fluens fluxionis γ -
43쪽
log. '- i)), & E & F sunt invariabiles quantitates ad libitum assumendae. Io. Datur series pro invenienda fubi e est perparva quantitas; i. e. peripheria ellipseos, quae haud multum
differt a circulo. II. Traduntur casus, in quibus series a't mr is - &c. a x ', &c. convergit. 32. Docetur methodus inveniendi, an non series exorta ex reducendo algebraicam sunctionem quantita tis x ad seriem P) secundum ejus dimensiones progredientem convergat; etiamque an non series, quae e XPrimit s. Px, convergat. 33. In fluentibus, lac. investigandis; docetur methodus interpolandi, ita ut series maxime celeriter convergant. 34. Si transset metur fluxio, cujus variabilis est x, in alteram cujus variabilis est G quae datam habeat relationem ad x; & reducantur duae fluxiones ad series secundum dimensiones quantitatum x & z respective progredientes; dantur convergentiar, quas habent inter se duae series. 33. Transformantur datae algebraicae quantitates in terminos secundum dimensiones quantitatis x progredientes, quarum formulae sunt integrabiles. 36.
&c. 37. Vera & apparens convergentia geometricete seriei est uniforiamis. 38. Contineantur tres incognitae quantitates s x, 3 & z) in data aequatione, datur methodus inveniendi unam in terminis duarum reliquarum. 39. Data aequatione involvente duas incognitas quantitates x F, datur subsequens methodus inveniendi I in termi
inde i*'. inveniatur approximatio ad coefficientem A; & exinde ap proximatio ad coessicientem Γ, & propior ad coem cientem Aj & se deinceps; &c. o. Sit fluxionalis aequatio su) Ordinis, duas varia biles quantitates x, 3 & earum fluxionea involvens; ex ea deducatur series, quae exprimat γ in terminis quantitatis x; & si modo ab initio seriei incipiat, semper occurrent in ea sn) invariabiles quantitates ad libitum assumendae. 4 i. In praedicta resolutione forsan Occurrent r solutiones
44쪽
solutiones homogenearum fluxionalium sequationum ordine in n)non superantium. 42. Data fluxionali sequatione relationem inter abscissam, ejus correspondentes ordinatas la earum fluxiones exprimente, invenitur fluxionalis sequatio relationem inter abscissam laejus correspondentes ordinatas ad asymptotos designans. 43. Ex datis relationibus inter valores x 5c z incognitae quantitatis x, & inter summas duarum serierum exinde resultantium; traditur methodus inveniendi coefficientes ipsius seriei. 44. Promovetur regula vulgariterdidia falsi: viz. cum datae APProximationes ad duas vel plures radices maxime accedant, Vel cum dentur Plures substitutiones pro incognita quantitate in data aequatione: & eadem perficiuntur in pluribus aequationibus plures incognitas quantitates habentibus. s. Erit x a Q---- resolutio aequationis x '' - axmb; bcc.;
In libro quarto I. ad particularem casum, ubi et: incrementum quantitatis z distantiae a primo seriei termino est i , applicantur ea, quae prius traduntur de fluxionalibus & incrementialibus sequationibus. a. Datur methodus transformandi sequationem inter summas& terminos in incrementialem sequationem. 3. Summa nullius seriei exprimi potest Per algebraicam sequationem inter praedictam summam & quantitatem X, secundum cujus dimensiones progrediatur series, relationem designantem; ni dimensiones quantitatis x vel ea rum differentiae denotari possint per arithmeticas series; & differentiae inter dimensiones quantitatis et distantiae a primo seriei termino innumeratore di denominatore eaedem sint: & non exprimi potest pernu ionalem sequationem; ni praedictae differentiae sint eaedem, vel uniformiter crescant vel decrescant. 4. Sit series a in bx ' -- lac. secundum dimensiones quantitatis x progrediens, cujus coefficientes terminorum proxime subsequentium ad infinitam distantiam ::r: r;
45쪽
ducatur haec series in functionem ipsius x in o, cum x m α; tum si x major sit quam r, series diverget; sin minor, converget. S. Trania formatur data series in alteram, cuius termini sint summae e singulis n) successivis terminis. 6. Nova methodus adjicitur dividendi alia teram quantitatem per alteram; & exinde detegendi series, quarum
& si omnes reliquae quantitates γ, δ, &c. distent a duabus α & β per integros numeros; tum summae serierum inveniri possunt a fluentibu fluxionum )- InVζniuntur series, quae sunt generales vel particulares fluentes fluxionalis aequationis. 9. Ex datis convergentibus seriebus inveniuntur aliae. Io. Deteguntur summae serierum, quarum singuli termini dantur ex infinitis seriebus. Ir. Concessa methodo detegendi generaliter annon una data series vel quantitas sit algebraica functio aliarum, traditur methodus inveniendi annon detur algebraica vel fluxionalis relatio inter summam & ter minos datae seriei. 12. Generalis fluens aequationis ; -γω' erit a si &c.) bx 1
&c. . I 3. Invenitur quantitas, quae in seriem diaeta, praebeat seriem magis convergentem. I . Inveniuntur casus, in quibus disserentiae successivae celeriter convergant, &c. I S. In detegenda summa seriei
-F-&e. νς' quVς unque alia cujus generalis terminus sit determinata functio quantitatis V, Primum invenienda est summa ter minorum, usque donec terminu. Q QVadat major quam maxima radix aequationum a z b et '' -- &z. - φ & Z p Q &c. - o, &e. ib. Transformatur aequatio relationem inter successivas summas &
46쪽
terminos designans in infinitam fluxionalem aequationem relationem inter summam S vel terminum ejus fluxiones, & z distantiam a primo seriei termino & z exprimentem; la nonnullae series traduntur. 17. Ex summis serierum primi ordinis dedueuntur summae omnium serierum superiorum ordinum. 18. Inveniuntur summae serierum, quarum termini sunt irrationales. I9. Datur convergentia interpolationum serierum. 2o. Traditur methodus interpolationis serierum, cum numerus factorum in terminis contentorum non sit idem. 21. Dantur series interPOlabiles. 22. Etiamque summae serierum
&c. ad h- I, &c.; terminos datur series pro invenienda summa seriei, cu-
jus generalia terminu. est ἡ si . hes &c. a .Traduntur nonnulla problemata Naude anis haud multum dissimilia. et s. Adjicitur methodus
inveniendi continuum contentum datae quantitati aequale. 26. Dantur diversae series pro inveniendis sinubus & cosinubus arcuum qui inter se sunt :: n : m; & methodus inveniendi approximationes ad radices sequationis Per sinUS & cosinus. 27. Invenitur aggregatum plurium fractionum, quae sint infinitae. 28. Adjungitur nova methodus in-
veniendi approximationem ad fluentem nuXionis i cum B:α non habeat rationalem rationem; quae ad omnes fluxiones applicari potest. 29. Datur facilis methodus detegendi; annon summa seriei, cujus generalis terminus est I, in finitis terminis ex primi possit: methodus generaliter detegendi, an non summa omnis seriei, cuju) generalis terminus sit data functio quantitatis M in finitis terminis exprimi possit, in methodo incrementorum traditur. 3 o. Per simpli es sequationes deducitur summa seriei, cuius generalis terminus
47쪽
rum generales termini respective sunt
ubi dis & m lac. sunt inaequales quantitates, per circulares vel logarithmos,&c. 32. Ducantur successivi termini in quascunquem arithmeticas independentes series, & ex summis m I serierum resultantium erui possunt per simplices aequationes omnium hujusce generis sum. mae. 33. Sit P A B x' -- C x' &c.; tum ex datis P, s. in P, &c. erui potest summa seriei, cujus generalis terminus est νου --&c.) - α - α β --z ν -- Σ 5te i iii m*do p sit generalis terminus datae se
ubi r, , i, &c, sum diversii integri numeri, generalis terminus seriei A in Ba &c. . &c. 36. Sit sa -- bin a -m Δ b Udα.; tum per conicas sectiones inveniri potest summa seriei, cujus generalis terminus est m. m
; si modo r, s, i, &c. sint inaequales
48쪽
aequales fractiones, quarum denominatores vel sunt i vel 2: inveniri potest per arcus conicarum sectionum, si denominatores non sint majarea quam I, 2, 3 vel *: & sic e fluentibus in capite a. libri I. traditis, erui possunt plures hujusmodi series. 37. Erunt f x yx P - α I. Q ψ' xf. x P, &c. 38. Dantur methodi inveniendi summabiles series, quae sunt inter se aequales. 39. Traditur
dentes valores quantuatum X dcI, InVenitur I S --.- κ Sβ -- lac. in omnibus his methodis cor-β - α . β - γ .&c. respondentium valorum, si modo inventae quantitates fingantur nihilo aequales, resialtant aequationes, quae Praebebiant approximationes per
regulas falsi datas. a. Si modo detur formula functionis quantitatum x, I, T, &c., quarum tot corres Ondentes Valores dentur, quot incognitae quantitates in data functione contineantur; tum ex iis de duci potest functio quaesita. 3. Dentur correspondentes valores trium vel plurium quantitatum x, γ, et, &c. inveniuntur quantitates, qVM habeant praedictos correspondentes valores. . Datur correctio dat. quantitatis, quae invenit veros correspondentes Valores in n casi
49쪽
tis is, & in A similiter involvuntur quantitates β, γ, δ, &c.; & similiter etiam ac quantitates α, γ, λ &c. in B; &c. esse rationalem Sc integralem functionem quantitatum α, β, γ, &c. in qua similiter involvuntur praedictae quantitates γ, &c., quae habeat tot dimensiones praedictarum quantitatum, quot sit differentia inter dimensiones quantitatum A&α - β. α - γ . α - δ. &c.; si differentia sit o, tum erit data quantitas; si negativa sit, tum erit Praedicta summa o. 46. Ad finem adjungitur methodus deductionis & reductionis; cujus potius mentionem seci, quam aliquid particulariter adjecerim, ut via in hac maxime generali scientia aliis sternatur; ad quod maxime conferet tractatus de generalibUs functionibus Quaedam etiam alia adjiciuntur nova non alibi petenda; queri liceat opera mathematica exterarum gentium in hanc academiam per- raro migrasse; unde evenit me nunquam vidisse opera multorum Prie-elarorum mathematicorum.
50쪽
De Fluxionibu; fluentium inveniendis.
T AT A me bori inveniendi succes vos terminos convergentis seriei a --b - c in d-be in f - - Uc. in in sinitum progredientis, summam ejus inUenire. Addatur primus terminus sa ad secundum b , & eorum summasa --θὰ ad tertium cc , trium terminorum summa ca -- θ -- c ad quartum M dc sic deinceps; & quoniam series est convergens, hae successivae summae ad summam totius seriei vergunt, & ultimo propius accedunt ad eam quam pro quavis data differentia: quaeret vero aliquis, &recte quidem, quomodo cognosci potest has summas ad summam totius seriei perpetuo vergere, & ultimo propius ad se invicem
accedere quam Pro data quavis differentia: cui respondendum est, hanc esse methodum : Continuo inveniantiar ducae quantitates, quarum una major est quam quaesita summa, altera Vero minor, i. e. limites
inter quos interponitur summa quaesita, & si hi limites continuo ad se invicem vergant, la denique si hi limites ultimo probari postitit propius ad se invicem accedere quam pro quavis data differentia, tum hae summae propius ad se invicem convergunt, & ultimo propiu3 accedunt quam pro data quavis differentia. FIG. I. Ex. Sit curva AbcdBA redia linea AB dc curva Ac B comprehensa; dc ductis tangentibus ad puncta curvae A dc B, sint interni
anguli BAC & AB C simul assumpti haud majores quam duo recti: ducatur linea sci parallela lineae AB, & tangens curvam in puncto' A c, ta