장음표시 사용
31쪽
duxit; quarundam serierum e divisione rationalium functionum integrorum Vel primorum numerorum, bc ex comparatione serierum exinde ortarum cum seriebus e praedictis Iannis Bernoulli, &c. de iustis
summas investigavit; invenit etiam summam seriei I &c., cum x - οῦ; Landen eandem invenit, cum x de cum sint duo alii valores α&β quantitatis x: in hoc libro exinde deteguntur sum-
mae serierum, quarum generales termini sunt
ubi m. h. Γ, θ', &c. sunt integri numeri, & x vel se r- 6 C. vel P vel α vel β. Cum duo vel plures divisores denominatoris generalis termini sint inter se aequales, tum non deduci potest: seriei summa ex summis serierum, quae non habent totidem divisores inter se aequales. Landen dedit limites ad quos appropinquant ultimo quaedam quantitates ; in hoc libro adjiciuntur de his quaedam nova principia. Naudet problemata ab Eulero in resolutionem aliorum Problematum transformantur, at non resolvuntur; consimilia quam plurima facile adjici possunt, quorum nonnulla in hoc tibi O'traduntur. a. Datatur nova methodus inveniendi approximationes dii fluente. fluxion ut ubi h : α non habet rationalem rationem. 3. Cum dentur
quantitates infinite magnae, docetur methodus detegendi earum sum mam, disserentiam, &c. Iacobus Bernoulli primus quod scio) edidit summam seriei a -- &c.))) π sx Φ Dannes Bernoulli asserit se primum invenisse: dedit etiam series X si L.) sax), unde x a; observatur in hoc libro, quod in singulis hisee formulis plures dentur radices quam ex hisce solutionibus deducantur.
Iannes Bernoulli dedit regulam pro invenienda summa I 2 '-- &c. Ubi m integer numerus; legem, quam ObserVat haec serips, debemus IV aco Midier. Euterus
32쪽
Euterus invenit proportionem, quam medius terminus seriei I in x x &c. I in x in xy)' habet ad summam seriei, &c. Hoc opus moliebatur mecum, & in partes distribuebat eruditissimu Vir, mihique amicissimus Dannes Mison armiger, bc laboris quidem totius particeps fuisset; ni studia forensia, quibus se dedit, vetuissent, adjutore tali tantoque non sine magno & meo Sc rei mathematica damno carui ; ab illius enim ingenio haec scientia incrementa esset caP-
tura ab aliis vix aut ne vix quidem sperandi Jam restat ea, qtase in hoc libro continentur, breviter recensere. In primo capite datur regula, quam observat fluxio cujuscunque exponentialis. 2. Animadvertitur in quadraturis minime ad rem conducere, quomodo partes generantur, e. g. Utrum per motUm, necne ; solummodo opus est partes correspondentibus quantitatis asesumptae partibus convenire. In secundo capite observatur dimensiones variabilis quantitatis xin fluxione minores esse quam ejus dimensiones in fluente per unitatem; ni dimensiones fluentis sint nihilo aequales, in quo casu dimensiones in fluxione minores erunt quam ejus dimensiones in fluente per quantitatem majorem quam unitatem ; Unde constat, si dimensiones quantitatis x in numeratore sint minores Per unitatem quam ejus dimensiones in denominatore, ejus fluentem in finitis terminis haud exprimi posse. a. Animadvertitur; si modo fluxio, quae sit functio quantitatis x' in x, reducatur ad functionem quantitatis x ' in x vel ad functionem cujuscunque quantitatis, quae algebraicam habeat relationem ad x' in & utriusque fluens Per Vulgares methodos detegatur, la serierum alterutra terminetur, tum rebus recte dispositis in terminari alteram. 3. Datur methodus inveniendi stuentem fluxionis sa b c x -- lac. e M' j '' &z.ὶ ρ ρ Τ x r &c. ' κ A-ἡ si modo in finitis terminiS ex Primi possit.
33쪽
5 c. sed A-- B--C Sec. ' κ &c. pro fluente. s. Traditur methodus inveniendi fluentes in finitis terminis si modo per eos exprimi possint)per infinitas series. 6. Traduntur fluentes quarundam fluxionalium quantitatum non prius traditarum. 7. Quaedam nova adjiciuntur de correctionibus fluentium. 8. Observatur in corrigendis fluentibus easdem radices semper usurpandas este, i. e. nunquam - Pro - substituendam esse. 9. Ex substitutione inveniuntur diversae fluentes ejusdem fluxionis inter se aequales. Io. Animadvertitur quasdam esse exponentiales quantitates, quae perpetuo mutantur de
possibili in impossibilem, & vice versa de impossibili in possibilem.
O. Docetur methodus inveniendi, annon datae fluentes inter datos valores variabilis contentae sint finitae. 12. Ex data fluxione, cujus
fluens exprimit summam seriei secundum dimensiones quantitatis x progredientis, deducitur fluxio, cujus fluens exprimit summam terminorum praedictae seriei ad n) distantias a sese positorum. J3.
Nonnullae fluxiones non prius traditae, quae involvunt irrationales functiones variabilis quantitatis x reducuntur ad fluxiones , quae nullam involvunt irrationalem quantitatem variabilis resultantis fluxionis.14. Traditur methodus in genere detegendi, an non fluens datae fluxionis exprimi possit per finitos terminos, circulares arcus & logarithmos. I s. Data aequatione similiter involvente X&x, Unde x - φ:Xι& fluxione P x, ubi P est functio quantitatis κ& in fluxione P ae pro Y Sc x scriptis φ : X & : X; resultet X O; in qua pro A dcxscribantur x dcx, exinde resultet eae: sint L Sc I, M Sc m correspondentes valores quantitatum X 5d x; tum erit fluens fluxionis P -- U ω inter valores L Sc M quantitatis x contenta, eadem ac fluens inter valores t & m ejusdem quantitatis. I 6. Sit fluxio a b x' --κ ψ ηε γ' ubi λ 6c σ sunt quicunque integri assii mativi numeri; tum ex quibuscunque r-I independentibus fluentibus hujusce sormulae detegi possunt omnes aliae ejusdem formulae. 17. Per substitutionem erui possunt fluxiones, quarum fluentes per pauciores ejusdem sormulae exprimi possunt. I 8. Sit x ' 'βη κ sa -4- b χ' ex ) ὰ, ubi literae α, β 5c re respective denotant affirmativos integros numeros; tum ex datis α in β u - - i) fluentibus inter se independentibus
34쪽
dentibus fluxionum hujusce formulae detegi possunt fluentes omnium fluxionum ejusdem formulae, &c. I9. Sit fluxio Xsγx, ubi X est fluxio, cujus fluens inveniri potest; la sit numerus fluentium inter se independentium in formulis fluxionum πω & Ox contentarum respective ni & r; tum ex m in r) fluentibus fluxionum n)x inter se independentibus detegi possunt fluentes omnium fluxionum ejusdem
formulae, &c. 2o. Sit exponentialis fluxio ea lix' - . ἡ μη κ x x η, ubi μ& , sunt integri numeri, tum ex fluentibus f α) fluxionum praedictae formulae inclependentibus acquiri Possunt fluentes omnium fluxionum ejusdem formulae, &c. a I. Traditur nova generalis methodus inveniendi valorem fractionis, cum ejus numerator & denominator simul evanescant. 22. Adjiciuntur quaedam de nonnullis fluxionibus in alias reducendis. In capite tertio I. ex data algebraica aequatione datur methodus inveniendi aequationem, cujus radix est data fluxionalis quantitas. a. Si n) fluxionales aequationes ordinum m, r, S, &c. reducantur ad unam, tum observatur seqUationem resultantem non majorem quam m-- r-- sin&c. ordinem habere; etiamque nonnulla de novis fluxionalibus, &c. aequationibus in sequationes resultantes per operationem introductis. 3. Datae fluxionales aequationes α . β . γ . &c. - Ο &οτ . ρ . σ. τ . &c. o distingui Possunt in subsequentes α - Ο & re o: α - Ο & ρ o ; &c.; β o & π o; β o dc ρ o; &c. 4. Ex datis duabus vel Pluribus fluxionalibus sequationibus deducuntur duae vel plures aliae, quarum Variabiles quantitates sunt eaedem. s. Data
aequatio fluentes involvens reducitur ad fluxionalem, in qua nulla continetur fluens. 6. Data algebraica sequatione relationem inter aeta 3 exprimente; inveniuntur quidam novi casus, in quibus x Sc γ facile exprimi possunt in terminis tertiae z. 7. Data algebraica aequatione relationem inter x& ν exprimente; invenitur, an non fluens so)fluxionis, quae est: algebraica functio quantitatum X d I & earum fili xionum, in finitis terminis exprimi potest, Vi Z. ex assumendo aequati onem algebraicam, quae necessario exprimit relationem inter v dc x vel γι idem per infinitas series perficitur. 8. Hinc datur methodus inveniendi quam plurimas aequationes ad curvas, quarum areae, &c. in
35쪽
finitis terminis exprimi postulat. 9. Traditur nota, ex qua sepe dici potest: aream curvae in finitis terminis non exprimi posse. I o. Summa esingulis valoribus areae curvae, cujus aequatio relationem inter abscissam x & ordinatam V designans sit algebraica, in finitis terminis exprimi pota test . I i. Sit data algebraica aequatio, cujus fluxio ducatur in quanti tales aequales ex data sequatione deducta S, tum fluens generalis aequationis resultantis non erit data sequatio; & vice Verba eadem sequatio praebcat plures fluxionales sequationes. 12. Nonnulla adjiciuntur de correctione fluentium fluxionalium seqUationum. 13. Datur methodus detegendi, an non data sequatio sit generalis fluens datae fluxionalis aequationis. I . Traduntur quaedam de methodis inveniendi, an non fluxionales aequationes sint integrabiles. IS. Datis n . diversis, i. e. independentibus sequationibus hujusce generis a 3 - - . 3 x --- c Ixx - - &c., exinde deduci potest Valor cujuscunque quantitatis hujusce generis p Uz -- Τ Uyz v zz - &c., ubin est maxima dimensio ad quam ascendunt Variabiles quantitates ; n. b, c, &c., p, g, r, &c. sunt invariabiles quantitates, & ala in by in e- Σ& p, -- q3 -- r U. I 6. Datis generaliter contentis solidorum a rotatione curvae circa tres a Xes generatorum, daburatur contenta solidorum a rotatione ejusdem curvde circa quoscunque alios axes gene
ratorum, &c. 37. Sit data fluxio sar in bx in c)x Bae C)ν αα o, ex data fluente fluxioni S IX quae Plerumque acquiri potest e data sequatione in erui potest fluens omnis fluxionis formulae sθγ q, lx)3 Rc. x; &c. 18. Data algebraica vel suxionali aequatione α o & fluxionali quantitate π, in quibusdam cassibus inveni tur ejus fluens Ope datarum. 19. Data fluxionali vel fluxionalibu, aequationibus, inveniuntur functiones Variabilium in iis contentarum& earum fluxionum, quarum fluentes innotescunt. ao. Si M si particularis valor fluxionalis aequationis, tilin erit quaecunque functio quantitatis II valor fluxionalis aequationi S. a I. Sint α - ο & re in oduae fluxionales aequationes m & r Ordinum, quorum m minor est quam m & sit Κα -- L π se ubi V est fluxionalis quantitas ordi nis r. Hi duae dat. nuxionales reducuntur ad duas fluxionales
36쪽
V m const. &α in o. aa. Data fluente n ordinis, docetur methodus ejus fluxionalem aequationem inveniendi. 23. Sugat n divelis
fluentes α o, β o, γ o, bcc. primi ordinis; n . fluentes, secundi ordinis , &c.; bi) vero diversi multiplicatores, qui reddunt fluxionalem sequationem n) ordinis integrabilem. 2έ. Generalis fluens praedictae fluxionalis aequationis erit φ : ία, β, γ,ι&Q.) a S- Datis duabus quantitatibus p & q, quae sunt functiones vel algebraicae
vel fluxionales quantitatum X dc F, traditur methodus detegendi, an-
non p sit functio quantitatis x. 26. Cum dimensiones fluxionis ordini maxime superioris in data sequatione sint majores quam ν; tum reducendae sunt per extractionem ad unam dimensionem. 27. Nonnulla adjiciuntur de methodis inveniendi fluentes fluxionalium aequationum superiorum ordinum. 28. Per infinitas series inveniuntur multiplicatores datarum fluxionalium sequationum. 29. Dantur casus, in quibus fluxionales aequationes, qui habent terminos variabilium m& m-I) vel m, m-I, m-2), &c. dimensionum, integrari possunt. 3 o. Fluxionalis sequatio n) ordinis, quae sit homogenea, reducitur ad fluxionalem sequationem sn - II ordinis. 3I. Sint duae vel tres vel m homogeneae fluxionales sequationes ordinis n), tres vel quatuor m i) variabiles quantitates x, γ, π, &c.) involventes; eae reduci
Possunt ad fluxionalem sequationem, cujus ordo non major est quam n m- I. 32. In stabstitutionibus minime pro x &3 substituantur homogeneae funictiones nullarum dimensionum quantitatum et & υ,
nam hae quantitates reduci possunt ad functiones ejusdem quantita tis. 33. Detur aequatio algebraica, in qua similiter involvuntur x &I; inveniatur ejus fluxio φx -- φ γ - ο ; in hac sequatione pro 3 in φα pro x in scribantur earum valores ex data aequatione deducti; de quationis resultantis generalis fluens forsan non erit data aequatio.
3 Detur fluxionalis aequatio p x -Φ- qI, & sit f - α x 'Φ- βγ & ρ π x in ρJ ; x m, si sit functio quantitatis V, data aequatio redditur thlegrabilis per multiplicatorem, qui est sunctio quantitatis x; ex consimilibus principiis per fluxionalem aequationem inserioris ordinis
37쪽
dinis invenitur, annon fluxionalis sequatio superioris ordinis recipiat multiplicatorem, qui est functio quantitatum x & x. 35. Eadem prin-
cipia extenduntur ad detegendam fluentem fluxionalis aequationis
'l' Τ γ . . . t γ o, ubi a m minor est quam no& p est functio quan-
titatum X, x, I, F, .. γ , &C. 36. Per methodum in cor. 4. prob. sa. traditam detegi potest; annon data fluxionalis sequatio, quae est functio quantitatum X, x, I, γ, γ, &c. evadere possit integrabilis permultiplicatorem, in qua dantur omnes functiones quantitatum F, 3. 3, &c.; & in ea continentur Variabiles quantitates, quae denotant functiones quantitatum x dc x deducendas. 37. Sint m aequationes m -- 1) variabiles quantitates involventes, quarum formulae sint a se
bγ in &c. -ἀ- P x f - f . . ae xi &c. Ti o, &c., tum earum fluentes deducuntur. 38. Traditur methodus inveniendi dfluxionales aequationes si - - I) variabiles quantitates habentes, quarum fluentes innotescunt. 39. Generalis fluens fluxionalis aequatio nis deductae ex transformando datam fluxionalem aequationem, inqua x fluit uniformiter in alteram, in quas fluit uniformiter, eadem erit ac generalis fluens datae fluxionalis sequationis. o. Per infini tas series datur methodus inveniendi, annon fluens fluxionalis sequa tionis in finitis terminis exprimi possit. I. Ex assia mptis pro ae & 'functionibus vel algebraicis vel fluentialibus quantitatis z deduci posia sunt fluxionales sequationes, quarum nec x per F, nec F Per x, quam is vis utraque per tertiam et, exprimi Potest a. Inveniuntur quaedam functiones duarum diversarum fluentialium quantitatum ex data fluxionali aequatione deductarum, quae erunt inter se aequales. a. Sint n fluxionales aequationeS a si, &c., quarum Ordo sit n ij variabiles quantitates x, Τ, n, &c ) inVolventeS; tum sint m, m &e. functiones quantitatum sx, I, π, &c-ὶ & earum fluxionum, quarum ordines minores sunt quam l; & ita assumi possiliat multiplicatores in &c., ut exoriantyr n diversae & independentes fluxionales sequationes, quae integrari possitiat. In libro secundo 1. traduntur nonnulla nova de inveniendis incre mentis
38쪽
mentis fluentialium quantitatum. a. Sit quantitas P sunctio quantatis x, cujus incrementum sit tum erit et aequalis incremento Luxionis P, si modo fluxio ο) incrementi ο) quantitatis x aequalis
sit incremento fluxionis x. 3. Incremς xVm , es es)-i ad in prima editione hujusce operis reducitur ad incrementa hujusce ge
a x non sit - o, integralem in sinitis terminis non exprimi posse. 4. Sit incrementum fractio x x in x) . x- - n - οπ), x-s p) .. x-Dp -
- a ) x κ &c.' ea reducitur ad integrabiles formulas, cum formulis &c. adjunctis. s. Si numerus literarum O, p, &c. sit λ, tum ex λ independentibus integralibus hujusce formulae deduci possunt omnes ejusdem formulae : & si dimensiones quantitatis x in numeratore sint minores quam ejus dimensiones in denominatore per duas vel plures, tum β - ,3 - - &c. o, &c. 6. Dimensiones quantitatis x in incremento semper erunt minores quam dimensiones ejusdem quantitatis in integrali per unitatem; ni dimensiones quantitatis innumeratore integralis aequales sint ejus dimensionibus in denominatore, in quo casu minores erunt Per quantitatem majorem quam
unitatem: hinc, si dimensiones in integrali minores sint per unitatem quam ejus dimensiones in incremento, tum ejus integralis in finitis terminis non exprimi potest. 7. Si quicunque divisor in denominatore contineatur, qui non habeat alterum a se distantem per rae, ubi r est integer numerus; tum integralis in finitis terminis non exprimi potest. 8. Traditur methodus in genere inveniendi integralem dati incrementi, si modo finitis terminis exprimi possit, rejiciendo singulos ultimos terminos in denominatore contentos, &c. 9. Datur methodus inveniendi integrales incrementorum, quae duas vel plures variabiles quantitatea & earum incrementa involvunt. IO. Si inVeniatur
39쪽
Diatur incrementum quantitatis V ordinis m ex hypothesi quod ae solummodo sit variabilis, & resultet quantitas m deinde inveniatur incrementum quantitatis ordinis n ex hypothesi, quod F solummodo sit variabilis; eadem resultabit quantitas ac si modo inveniatur primo incrementum quantitatis V ordinis n ex hypothesi quod γ λ-lummodo sit variabilis, &c resultet quantitas u , deinde inveniatur incrementum m ordinis qUantitatis v ex hypothesi quod ci: solummodo
sit variabilis; δ c. ii. Si A sit integralis, quae est functio quantitatis et & ejus incrementorum; & assumatur sequatio, in qua x dc z similiter involvuntur, deinde inveniantur quantitas z & ejus incrementa interminis quantitatis x & ejus incrementorum ; scribantur hae quantitates pro suis valoribus in A, & resultet B; in B pro x scribatur E &Yesultet C: sint v & ρ, α & β correspondentes valores quantitatum x& z, tum integralis inter valores α & ιδ variabilis et quantitatis A in Ccontenta eadem erit ac integralis ejusdem quantitatis A C inter valores re & ρ ejusdem quantitatis R. aa. Traditur methodus inveniendi, an-
non integralis logarith. I inveniri possit ope togarithmorum, ubi AZc B sunt functiones variabilis x. I 3. Data aequatione algebraica, a )Υ ' - &c, o; traditur methodus inveniendi aequationem, cujus radix est quaecunque algebraica functio quantitatum x & γ & earum incrementorum. i . Adjicitur nota, e qua saepe dici potest praedictam sequationem in finitis terminis non exprimi posse. 13. Sit integralis sequatio ax -- lx c)'; & exinde constant quantitates x Sc 3 in terminis quantitatis et, & consequenter quaecuniaque algebraica functio quantitatum x & γ & earum incrementorum in algebraicis terminis quantitatis z dc ejus incrementorum; dc exinde annon ejus integralis inVeniri possit. I 6. Datur methodus extermi nandi integrales quantitates ex data a quatione. II. Nonnulla dantur de correctione integralium incrementorum. I 8. Observatur n esse
integrales primi ordinis incrementialis aequationis sn) ordinis; n. diversas integrales secundi ordinis; dec. IV. Praedicta sequation habet multiplicatores. 2 o. Generalis integralis incrementialis sequatationis
40쪽
tionis n) ordinis erit quaecunque functio e singulis sn integralibus praedicta aequationis; quaecunque functio is generalibus integralibus secundi ordinis praedictae fluxionalis aequationis; & sic deinceps. ai. Sit aequatio I in μγ in Q LI - ο, & erit ejus generalis integralis Ae- Be &c.
Ubi e f - π, si ρ, &c., & ρ, &c. sunt radices aequa tionis v - ας ' - - &C. o. Pliara in hoc libro adjiciuntur de In- te ratibus & incrementis, & incrementialibus aequationibus consimila
iis, quae in priori libro de Oxionibus & fluxionalibus aequationibus ' In libro tertio 1. datur ratio, quam habeant inter se Vera & RPPR
rem conVergentia. a. Data lege, quam observant ternum seriei in finitum progredientis; traditur methodus dignoscendi, an non series sit finita. 3. Dantur series, quae semper convergant ad omnes valores earum incognitarum quantitatum; aliae series, quae semper divergant. q. Sit infin ta aequatio A - bx erc.; & si coe entes haud crescant in majori quam quacunque geometrica ratione & lint
omnes affirmativae; tum datur una assirmativa radix & non Plures;&c. c. Traditur aequatio, quae habet infinitas 5z Incognitas radices,&C. 6. Docetur methodus reducendi duas vel plures aequationes infinitas in unam, ita ut incognitae quantitates exterminentur. 7. Traditur methodus detegendi, annon data quantitas sit radix datae infinitae aequationis. 8. AEquati . radicem x - I . &c. 9. Sit aequatio o M a - θα - cx - dx Φ
c., ubi multo major sit quam δ quam ', ' quam tum
erunt omnes radices datae sequationis postibiles: & ὴ erit approximatio ad minimam radicem , - approximatio ad secundam; lac. Io. Sint m radices multo majores vel minores quam reliquae; tum ex sm- - Η e primis