장음표시 사용
151쪽
pio casum in quo est ν --r; tunc enim degenerat Hyperbola In lineam rectam.
Series vero sic investigatur. In AEquatione affumpta 1 rara br --er & c. mutetur signum Abscissae et, & prodibit 3 ----
mai ii. Ne evadat jam δε infinite magna, atque in valore Oradinatae 3 evanescent omnes Termini praeter primum dummodo concipiatur r esse major unitate; eoque pacto erit 3ma; hoc est, Ordinata ad distantiam infinitam remota, sive distantia inter Abscissam &Asymptoton Pin aequalis est primo Termino ad nam in distantia infinita coincidit Curva cum suae Asymptoto. Quantitas autem a sic investigatur in AEquatione Prius assumpta γαza- br -cr-- δεῖς
re &c. scribe ordinatas aequidistantes A, B, C, D, E, &c. succeiasVe pro γ, & interea o, I, 2, 3, 4, &c. pro Abscissa z: ac prodibunt AEquationes
Habentur igitur tot AEquationes quot sunt incognitae a, b, c, H, e, &c. ex quibus quaeratur a per Algebram Vulgarem, atque ejus valor prOdibit idem ac jam ipsi PQ natus est. QUE. D. Corollarium. Hinc si dentur aliquot Termini initiales in Serie infinita, quorum differentiae sunt proxime in progressione Geometrica, dabitur ultimus omnium utique qui removetur ad distantiam infinitam ab initio. Nam si A, B, C, D, &c. ordine inverso sumpti, designent Terminos quorum differentiae sunt fere in proportione Geometrica ut V: ' r', r', &c. ultimus omnium aequalis erit PQ intervallo inter Abscissam & Asymptoton: vel stylo Gregoriano dabitur Terminatio Seriei. Ex EMPLUM. Datis Polygonis aliquot regularibus Circula inscriptis, invenire ultimum i Olygonorum sive Aream Circuli. Ea sunto 4
152쪽
In qua scribe pro A, B, C, &c. suos Valores, & Primi quinque Termini dabunt Aream Circuli ad quindecem loca figurarum, ut ex computo apposito manifestum est. Et similiter res confit per Polusiona circumscripta. I EHac autem ratione quaevis Series summari potest. Nam si Ordina aequidistantes denotent summas successivas, valor totius Seriei aeuuabitur distantiae inter Asymptoton & Abscissam. Si Series summanda sit hujusmodi alta H - Φ&C. ubi x, x , &C. denotant Partes Terminorum quae sunt in Progressione Geometrica, erit r xi &valor ipsius PQ converget eo celerius quo longius Summae successivm distant a principio, quae denotantur Per A, B, C, D, &c. In casu autem quando eri r -- I, assumenda est Hyperbola quae definitur hu
jusmodi aequatione 3 in GlT φ-Φ vice Hyperbo
lae Logarithmicae ; atque indeX u determinabitur ex natura Seriei sum
Notandum est Series infinitas aeque summari posse per Parabolam Newtoni ac per hasce Hyperbolas. Nam Ordinatae quae in Hyperbolis
sunt aequidistantes, si ad certas quasdam distantias constituantur; exhibebunz, ope Parabolae, easdem expressiones Pro valoribus Serierum Numerus figurarum quae verae sunt in Polygono A, duplicantur per duos Terminos Seriei, triplicantur Per tres, & ita deinceps. Sic in Ueemplo allato sunt tres verae figurae 3 i in Polygono A ; & inde quin que Termini dederunt Aream Circuli ad quindecem figurarum loca F hae sunt Approximationes quales olim invenerunt γα ob egoriis M
153쪽
PROΡos ITIO XXXI. Invenire Aream cujusvis Curvae quamproxime ex datis at quot ejus ordinatis aequidistantibus.
Per extremitates Ordinatarum describe figuram Parabolicam, ejusque Area quae invenitur Per methodos notas, proxime aequabitur Areae Curvae Propositae. E. I.
Quoniam laboriosum esset semper recurrere ad Parabolam, computavi Tabulam sequentem quae exhibet Aream Curvae directe ex datis aliquot ejus ordinatis aequidistantibus.
In hisce Τabulis A est summa primae & ultimae ordinatae, B secundaeti penultimae, C tertiae & antepenultimae, & sic porro usque dum
154쪽
d eventum suerit ad Ordinatam in medio omnium quae per ultimam literarum A, B, C, &c. representatur. R est basis supra quam jacet A. rea, seu pars Abscissae inter primam & ultimam ordinatam intercepta. P est summi duarum ordinatarum quarum una consistit ante prim m,
altera post ultimam ad distantias aequales intervallo communi reliquarum ordinatarum. Numerus autem ordinatarum qui hic est impar, signatur ad latera Tabularum. Expressiones in Tabula Arearum sunt Areae contentae inter Basin, Curvam & Ordinatas hinc inde extremas. Ese vero in Tabula Correctionum sent ejusdem circiter magnitudinis ac disterentiae inter Areas veras & eas per Tabulam prodeuntes: adeoque si prima figur Correctionis inveniatur, dein adjiciatur ubi Correctio est negativa, vel subducatur quando eadem est assirmativa concludere tuto licet Aream sic correctam, veram esse in eo loco decimalium in quo intrat prima figura Correctionis, nec ultra. Itaque Per Tabulam Correctionum Area inventa corrigitur, & simul numerus figurarum Verarum dignoscitur. Ex ΕΜΡLUΜ.
Sit Ordinatae Hyperbolae aequilaterae, & quaeratur Area ejus quae jacet supra Abscissam unitati aequalem. Pro x scribe successive OI 23 56 88 γ 8 a La Ha 8 s sis , s , ου , & provenient novem ordinatae
155쪽
Computaveram hasce Tabulas ulterius, ceterum Expressiones Pro undecem aut pluribus ordinatis sunt usibus inepti propter immenζm magnitudinem Coessicientium numeralium. Sin Vero novem ordinata non dent Aream satis accuratam 8, dividatur basiis in duas vel plures partes ; & inde Area dividetur in totidem, quarum quamque si quaeras seor-lam per novem ordinatas, habebis totam Aream pro lubitu accuratam Sed & nonnunquam convenit quaerere partem Areae per Seriem infinitam, pr sertim si Curva decusset basin in angulo recto. Atque hisce Praecognitis, Area quaevis habebitur satis accurate per Tabulam iam 3PPositam. V lSed & Arear Curvarum haud incommode exprimi possint per DiLterentias Ordinatarum arquidistantium ad modum sequentem.
Tabuse Arearum per Disserentias Ordinatarum.
In hac Tabula A est Ordinata in medio omnium, B est differentia secunda trium ordinatarum in medio, C est differentia quarta quinque ordinatarum in medio, & sic porro ad ultimam literarum A, B, C, D, E, F, G, quae est ultima differentia omnium ordinatarum. ' Ut si
sint quinque ordinatae a, b, c, d, e; erit A m c, B b-2ca-d, C Et sic in aliis casibus. Expressiones autem cuctae in basin Curvae, sive partem Abscissae contentam inter primam re ultimam ordinatam, dant Areas ex dato numero ordinatarum qui lignatur ad latus. Notandum est ultimos Terminos in expressionibus Pro novem, undecem & tredecem ordinatis, non esse veros sed hisce simpliciores & vero satis proximos. Nam Ordinata media A & differentiae B, C, D, E, &c. constituunt Seriem convergentem; ideoque
156쪽
non requiritur ut Coessicientes ultimorum Terminorum qui intrant computum, sitnt Praecise accurati. Ex convergentia autem Seriei A, B, , D, dic. dignoscitur ad quot figuras Area exhibetur accurata; ideoque haec I abula non indiget Tabula Correctionum. Sed &.Coem- cientes numerales sunt longe magis exigui quam in Tabula superiore atque ea de causa. haec Praeferenda est, praesertim in magno Ordinata
Quaeratur rursus Area Hyperbolae, cujus ordinata est pro x
3 3 i5 boo 63oo HV 23 ὶn basia sive unitatem &reducta ad decimales, evadit .693I7 pro Area quaesita. Et haec Area ad minimum Julta est in quarto decimalium loco, in quo scilicet intrat priama figura ultimi Termini -9COSed ut di serentiae promptius ac facilius inveniantur; si a Ordinata media, b summa duarum hinc inde mediae proximarum, dein e sum
ma duarum quae hinc inde sequuntur, & sic porro tum pone
Atque A, B, C, D, &c. erunt Ordinata media, di Terentia sedilia darcium mea dram, quarta quinque me distrum, & sic porro in reliauis
157쪽
PRO Pos ITIO XXXII. Designent a, b, c, d. e, s Terminos defridi antes conitinue tendentes ad rationem aequalitatis, Sy AEquationes sequentes approximabunt ad eorumdem relationes.
Haec Tabula in usum reservanda est, ut consulatur quoties opus sit. Patet autem Coeificientes numerales es. Uncias dignitatum binomii. Et demonstratio patet: quoniam enim Termini supponuntur Continue tendere ad rationem aequalitatis, erunt eorum differentiae a b, b c, c d, d e, &c. parvae; deinde differentiae differentiarum a b acq-d, c-Zἷ e, &c. erunt minores differentiis primis ; atque tertiae a 3bu 3ί-d, θ-3c -3 e, &c. erunt minores secundis ; & quartae a 4b- -6c- Glbe, &c. erunt minores tertiis, & sic in infinitum. Ergo differentiae primae, secundae, terriae, reliquaeque positae aequales nihil ut in Propositione, continue approximabunt ad Veram relationem
Terminorum. E. D. Corollarium. Hinc in Serie aequidistantium, si desit Terminus quivis, potest is inveniri per hanc Propositionem. Ut si sint quinque Terminia, b, c, d, e; eorum relatio erit c- ό -6c-ψd--emo ; & ex hac AEquatione dabitur eorum quilibet quamproxime ex datis reliquis. Et notandum est Terminum quemvis, ceteris Paribus, eo accuratius definiri, quo propius constet medio omnium : atque errores a vero es te quamproxime ut Coefficientes numerales Terminorum quaesitorum reciproce. Consistat igitur Terminus quaesitus vel in medio omnium vel eidem quantum fieri potest proximus.
158쪽
Dentur verbi gratia Logarithmi numerorum 5O, 5 , 52, 5 , 55, 56& oporteat invenire Logarithmum numeri 53. Pone 'L52- 54 3. 4839. 7 IO3
159쪽
Dein pro A, B & C substitue hoste valores in Expressione pro sex Terminis, & prodibit r. a 27.58695 Pro Logarithmo numeri 53, existente unitate errore in ultima figura. Hinc in Tabulis Logarithmicis, Trigonometricis, Astronomicis, aliisque ejusmodi ε, si desit forte Terminus quivis, potest is inseri per hanc Propositionem ; Vel si sun Picio sit Terminum quemvis erroneum esse, potest eadem methodo corrigi. Nam Expressiones hic exhibitae sunt generales, utique qua non dependent ex natura Tabulae cujusvis Particularis.
PROPOSITIO XXX lII. De AHent NC. ε, γ, β, a, a, b, c, d, e, e C. Termmos alternos in Serie ut inque excurrente in is initum, ponatur A aq-α, si vi bH-β, C m c φ γ, D m
E -eφε, , sic porro i atque Termunus in medio inter a S a con sens, qualis erit
Coessicientes numerales literarum A, B, C, D, &c. sunt differentiae Unciarum in diversis dignitatibus Binomii: Et Coessicientes qui du II 3cuntur in totos Terminos, scilicet ', &c. generantur peri R et 7 continuam multipJicationem numerorum , -, - ,&C. Hisce V 4. 2' 4. q.6 4.3vero praecognitis, Series ad libitum producitur. Et Series investigatiir ponendo et o in Casu secundo Propositionis vigesimae; tunc enim, habebitur Ordinata sive Terminus qui consistit in medio omnium. Possint
160쪽
Possint autem Termini Seriei in unam summam colligi ut hic vides,
060o A 8 8 etosq-2 268C--w5D -3 s E ' 6ueue16 - . Prima Expressio est primus Tentanus Seriei, secunda est Summa primi & secundi, tertia est Summa trium primorum Terminorum, &lic deinceps. Ex datis itaque Terminis alternis, 4ntermedii confestim dabuntur per hanc Tabulam vel per ipsam Seriem. Prima Expressio lassicit quando secundus Terminus Seriei minor est quam qui ingrediatur computum: Et similiter in reliquis; nam Termini Seriei sunt differentiae inter Expressiones & veritatem quamproxime : adeoque semper scire licet quaenam expressio sufficit proposito. Exempli gratia, si quaeratur Logarithmus numeri 53 ex datis iis numerorum q6, 48, 5O, 52, 5 , 56, 58, r, Pone 4 52
, 5 -A 3. 339 7 IOV- 56m B 3. 47i,so3I358m C 3. 4 66.923O9 GO D 3. - .9O. ZOEt hisce valoribus scriptis in Serie, vel in Expressione pro octo Terminis, habebitur I. 72 a 7. 58696 pro Logarizhmo numeri, m. Et evdem ratione invenire licet quem Vis alium intermedium. In Constructione ergo Tabularum sussicit primo qua: Te aliquos Terminos in d hitis distantiis; nam reliqui possunt hac methodo inseri. Etenim continue intercalandi sunt Termini primo inVenti, usque dum perventum fuerit ad ultimos qui ingrediuntur Tabulam. Ed notandum est, oporistere omnes Terminos computari circa initium Tabulae propter magnas disterentias ; dein per saltum pertransire licet alternos decrescentibus differentiis ε, & postea ternos, septenosque ubi differentiae sunt minores. Et haec est methodus quam praecipit Ne tonus: Ceterum Praeserendae sunt regulae parriculares dedinstat ex natura Tabulae eonstruendae ; et nim hae minore labore plerumque absolvent opus.