장음표시 사용
141쪽
Et per collationem membrorum homologorum, B - A, C - - Η, rq 4 r- D - --- C, E --- D, &c. Hi sunt valores Coessicientium: quod rq 4 r- D - --- C, E --- D, &c. Hi sunt valores Coessicientium: Quod 3 4 si A, B, C, &c. denotent totos Terminos, prodibit valor ipsius T jam assignatus. Q. E. D. Ex EMPLUM. Invenit Malli us, ultimum Terminum huius Seriei I. - A. - B
ubi Denominatores sunt quadrata numerorum imparium, & unitate majores Numeratoribus. Videamus autem hic quisnam sit ultimus Terminus hujus I, i A, - B, C, D, &c. ubi Numeratores sunt quadrata numerorum parium & unitate majores De- nominatoribus. AEquatio ad hanc Seriem erit T T, existemtibus I, 2, 3, 4, &C. Valoribus Abscisse et successivis: ergo comparando hanc AEquationem cum illa in Propositione, erit r πι- , quo substituto prodit
Et ad determinandum Coessicientem A, qUa re Terminum Seriei decimum, nempe I.53OO.Ι727.35, quem substitue pro T, & interea pro a valorem suum correspondentem io; atque Obtinebis
Hoc est, colligendo Terminos in unum, I.53OO.i717. 35 m A in. 974O.392 54, & exinde A m I.57O79633, utique semicircumserentiae Circuli: quo dato, facillime dabitur Terminus quilibet Seriei interpolandae primariua vel intermedius. Constat autem ultimum ejus Ter
142쪽
Aterpolatio Serier . I 3 sminum, sive factum sub omnibus in Y κ &c. aequale
esse primo Coessicienti Α, adeoque semiperiseriae Circuli.
PRO Pos ITIO XXVIII. fine uire β-- guot que LVarathmorum, orta numera fum m progressione Arithmetica.
Designent xφη, π*3n, VH SV, xH-7π,--- T- , quotcunque numeros in progressione Arithmetica, quorum primus & xia n, ultimus T v &communis differentia et n. Insuper denotent l, 'l x Loga idos Tabulares numerorum T & x siitque a m . 3 29. 8 I9.Oῖaya scilicet reciproco Logarithmi naturalis Denarii. Atque summa Logarith- morum Propositorum aequalis erit dimerentiae inter Series du)s sequentes et z
Hae autem Series sic continuantur in infinitum; pone L. A,
Ubi numeri qui multiplicantur in A, B, C, D, &c. in diversis valoribus sunt Unciae alternae in dignitatibus imparibus binomii. Hisce praemissis, erit Coemciens Termini tertii - A, is quarti
143쪽
Hunc subducito de valore priore, Terminis prius ad eandem formam per Divisionem reductis, & relinquetur l-------- et aa' 3Σ '&c. id est, Logarithmus numeri et n. Adeoque universaliter decrementum duorum Valorum successivorum Seriei, aequatur Logarithmo ipsius et n; qui exprimit in genere quemvis Logarithmorum qui erant summandi. Igitur Series erit summa Logarithmorum Propositorum, si ab eadem subducatur altera Series. Nam summae perinde ac Areae nonnunquam corrigendae sunt, ut evadant verae., EXEMPLUM I.
Proponatur invenire summam Logarithmorum decem numerorum ΙΟΙ, IO3, 1O5, IO7, IO9, III, II 3, II 5, II7, D 98 hi collati cum
hisce xΦn, Wi-3n, xΗ-5n, π, dant differentiam communem an et, & η- I ; atque primum x Ι m IOI, secundum vero et I mII9: unde xmIOO, zmI2O. Hisce autem substitutis, &. 3 29. 48 I9.O325 a pro a; atque Logarithmis ipsorum 1 oo & leto respective pro ι x & cet; valores duarum Serierum invenientur 78.28 9 I. OOI 2. I & 98.6929O. 26OΙ.6, quorum differentia dat 2O. O799.O2589.5 Pro Summa Logarithmorum desiderata.
Quaeratur jam Summa Logarithmorum numerorum II, I 2, 13,---IOOO, quorum primus est II, & ultimus I COO, & differentia communis unitas.
144쪽
x x- , 5, &C. Pone Z-n esse ultimum numerorum, exis
utam, idque eo minore labore quo plures Logarithmi sunt summandi
pone ditarentiam communem I maximum eorum minimum soa m L; eritque ηα: zitooo L
145쪽
Hujusmodi Series x, FA, aes, BC, &ς- interpolatur per
Propositionem vigesimam sextam, ubi disserentia inter r & p est exigua: & per hanc Propositionem generaliter nulla ratione habita istius differentiae. Atque eodem plane modo invenire licet summam Logarithmorum Numerorum, qui sunt longe magis compositi quam adqui- differentes; eoque pacto assignare Terminos Serierum quarum intercalatio pro dissicillima haberi solet. Per hoc quoque Problema inveniuntur Areae Curvarum quarum ordinatae sunt liriusmodi I , ubi index Binomii est permagnus; sed in eo casu solo quando pars Areae quaesita jacet supra partem Abscissae aequalem Unitati. Et sane omnia fere Problemata de Interpolationibus huic Analysi subjiciuntur, imo etiamsi tres vel plures Termini Seriei interealandae ingrediantur laquationem Differentialem: harum enim resolutionem in Potestate habeo. Atque hic notare libet Series quae Prodeunt Per Parabolam Ne toni, prodire etiam per nostram methodum. Proponatur enim intercalatio Serieir -n r*n I , rq-n---2G, a, A st' r a r
Atque substituendo I pro T, & etli pro z, obtinebitur
Unde T T Bl a Cet GDz.α-i - - 4 EZα-i.α-χ &c. Hisce autem valoribus substitutis in AEquatione resolvenda, & membris reductis ad eandem formam, resultabit
Denique ponendo membra homo toga aequalia nihil, habebitur B ra
146쪽
minatur, aequalis est Termine i '' β' '
Detur Series ordinatarum intervallis quibuscunque ab invicem ae antrum, Pergens Nero ex Mus tantum Parte iuxu itum re oporteat immine Lineam Parabolicam quae transi per extremitates omnium.
147쪽
Notandum est prineipium Abscissae, nempe punctum R sumi ad arbitrium, vel inter ordinatas vel extra omnes ut in Schemate; dummodo signorum 4- & - debita habeatur ratio. Propositio autem demonstratur substituendo Ordinatas A, AI, Aa, &c. successive pro T, &interea Pro a longitudines ejus ordine succedentes a, b, c, &c. Nam sumendo differentias AEquationum Provenientium & dividendo easdem
148쪽
. Etenim si inibi scribantur a 3, 5, 6, proa; prodibunt Ordinatae propositae 2, 3, 5, 12. EXEMPLUM ILOporteat determinare tempus Solstitii ex datis aliquot Solis altitu
dinibus meridianis circa idem temoti, H Q HS aitatu
dines solis, earumque intervalla dedent iam, hi sis
tum transeat Parabola per extremitates Ordinatarum, & Abscissa eius quae correspondet minimae ordinatae sisth h,
Sit jam distantia observata die octavo Ordinata Drim c
8 sa Di ' Igm qV Riδm Abstissδ quaesita correspondet Ordinatae minimae, Ponatur Fluxio ipsius T aequalis nihil & si, Mia, 3 -'37ψη i5 O, cujus Radix 3 889353 exprimit dies ri: meridiem octavi diei Iunii & momentum Solstitit: quod dii hor. et min. Pr. Post meridiem diei decimae primae, secundum hasce Observationes. Potest etiam tempus Solstitii determ -- res Observationes & Pδrabolam Plurium dimensionum; vel pero o Obser-
149쪽
Observationes adhibendo Parabolam Conicam, uti docuit Halleius. Sed oportet differentias inter altitudines observatas, esse sensibiliter majores erroribus qui committi queant inter observandum, alias nihil certi concludi poterit.
Sc HOLION. Newtonus utitur hac Propositione in determinando locum Cometarqui cadit inter aliquot loca observationibus nota. Nimirum si obse rentur quotvis longitudines designatae per totidem ordinatas, quarum intervalla proportionalia sunt temporibus inter observationes, & descri batur Parabola per ordinatarum extremitates ; Ordinatae hujus figurae intermediae denotabunt longitudines Cometae intermedias pro
temporibus quae sunt Proportionalia Abscissis. Et eadem methodo da bitur latitudo pro quovis tempore ex datis aliquot latitudinibus. Ex longitudine autem & latitudine datis datur locus Cometae in Caelis. Et hunc in modum plurima observatu dissicilia determinari possint
satis accurate ex Observationibus aliquot anterioribus & posterioribus.
Applicabilis est: etiam haec Propositio ad resolutionem AEquationum purarum affectarumve. Nam in AEquatione resolvenda scribendo pro radice numeros ab eadem haud multum discrepantes ε, provenienteorum intervalla, qui dein interpolati exhibebunt radicem. Sed post resolutionem AEquationum Hallei frustra compendiosior speranda est. In casu quando intervalla ordinatarum diminuuntur in infinitum hoc Problema dabit radicem AEquationis fluxionalis, etiamsi nec radix neque
altera in determinata fluat uniformiter; & hoc mera substitutione fluxionum Radicis pro differentiis Ordinatarum, & pro earum intervallis
fluxiones Abscisse. Nam sicuti casus ordinatarum sequi distantium respondet fluxionibus Abscissae uniformiter crescentibus; ita haec Propositio fluxionibus quacunque lege variantibus. Et resolutio AEquationis fluxionalis in qua utraque in determinata fluit quacunque lege, non est
Corollarium ex hac Propositione, sed Casus ejusdem omnium simplucissi mus: quod obiter hic monere Visum est, ut pateat Methodum Differentialem generalissime complecti universam Serierum doctrinam, quod sorte alii non percePerint.
Invenire A mptoton 'perbolae generis Logarith ci ex ratis ejus ordinatis aliquot α quid stautibus.
Sint Ordinatae aequi distantes A, B, C, D, E, &c. insistentes super Abscisiam P L in angulis rectis: sitque QI Asymptotos CurVae parallela
150쪽
rallela Abscissae, & intervallo P in ab eadem distans. Apelletur vero Abscissa quaevis A L z, & Ordinata correspondens L m 3. Hyperbola autem Logarithmica HmΚ definiatur AEquatione hujus formae
Ubi r, a, e, d, e, &c. sunt quantitates invariabiles ; atque erit distantia inter Abscissam & Asymptoton, hoc est,
Coessicientes literarum A, B, C, D, &c. in diversis Terminis, serman-
tur per continuam multiplicationem numerorum I, is
p, &c. In primo autem Termino est in secundo nir in tertio n*r', in quarto n-r & sic porro. Exempli gratia, in quarto Termino Coessicientes sumpti ordine inverso sunt I, I -r -r', rq r' in r), rL neglectis signis; est vero IX IH--r',