장음표시 사용
131쪽
Ubi Numeratores sequati nihilo, dabunt relationem Coessicientium Seriei prioris in Solutione posteriore. Quod autem Coefficiens A sit in uno Casu semicircumserentia Circuli, & ejusdem reciproca in altero, sic demonstratur. Per Seriem priorem est T Tm An in I H-
t &c. Et quo major est n, eo propius aequatio TT m An, accedet ad veritatem, quoniam Termini posteriores tandem evadent infinite minores prioribus. Igitur in AE-
quatione T Tm An, Vel Am , si pro n successive scribantur ejus valores,,2, 4, 6. 8, IO, &c. 8c simul quadrata Terminorum correspondentium pro TT; orientur AEquationes continue approximantes ad verum ipsius A valorem, scilicet A m 2,
Quare valor ipsius A est sactum sub omnibus a X X M - M - V & 9 25 ψ9 usque in infinitum; quod aequale est semicircumferentiae Circuli perini hmetuam Ionitorum Wallisi.
132쪽
PROPos ITIO XXIV. SP in Ord nata Cui Ois scribantur successive numeri integri o, 1, 2, 3, 4, Fc. pro R, Fco eandem esse relationem inter Areas orae natarum provenientium , quae es inter Terminos Seriei a ,
Sint enim Arear & Ordinatae correspondentes Areae ordinatae
, Compi rando hasce Areas per Propositionem septimam Newtonide Quadratura Curvarum, Invenies
133쪽
Sit jam x aequalis unitati, ut in Theoremate ponitur; eritque I --x m O; quo in casu relatio Arearum fit B - - A C- Π
reas harum Curvarum & Terminos Seriei propositae, quando Abscisia η est unitas. Q E. D. Quin
Corollari M. Hinc in Serie a, Ra, i Ac, &c. si R denotet intervallum inter primum Terminum a, & lium quemvis T primarium vel intermedium ; erit ut Area Curvae cujus ordinata est
X N I-x ad Aream Curvae cujus ordinata est x '' ' M
λ x , ita Terminus primus a ad alium quemvis primarium vel intermedium, intervallo et distantem ab initio. EXEMPLUM L
serentia communis tum Numeratorum tum Denominatorum est a. divide eosdem Per binarium, ut dimerentia illa fiat unitas ut in The
remale ; & evadet Series 1, ha, L b, &c. quae collata cum ea in Propositione, dat p*r, quibus substitutis, erit ut Area Ordinatae x N I ' ad Aream Ordinatae id est, ut Area hujus cimm ad Aream hujus a- ita primus Terminus Seriei, sive unitas ad alium quemvis primarium vel intermedium intervaliria distantem ab initio. Ut si Terminus desideratus consistat in medio inter primum & se cundum, erit et m se, quo in Casu fit ordinata Posterior siste ποῦ adeoque ut Area Ordinatae ad Aream Ordinataei i Hδ Cir li 3-L IS926--- &z. ad a, ita unitas ad
134쪽
Si ejusdem Seriei quaeratur Terminus centesimus Primus, erit Σ -
nitas ad Terminum Propositum. Et similiter ponendo z IOO , Terminus in medio inter centesimum primum & centesimum secundum determinabitur per Circumferentiam Circuli & Aream Ordinatae
: ubique tamen sumendo partes Arearum quae jacent supra A, scissam unitati aequalem. Posilant etiam Terminorum reciproci interpolari, idque nonnunquam magis commode quam ipsi Termini. Reciproci Terminorum in no 24 Ivissima Serie sunt I, - a, b, &c. adeoque est rm I, p m '; &inde ut Area Ordinatae κ' κ I x ad Aream Ordinatae κη κ1 ita primus Terminus ad illum distantem intervallo et ab ini-
tio : id est, ut et ad Aream Ordinatae Iγ-- ; nam Prior Curvae
est quadrabilis. Ex EMPLUM ILInterpolanda sit Series i, a, 7 b, - d, &c. Divide Numeratores & Denominatores Per eorum incrementum 3; & invenies I r α - , hinc fit ordinata prior x ἱκ i x l, sive
; & posterior , --. Dein ut Area illi-
us ad Aream hujus ita primus Terminus Seriei ad alium quemcunque cujus distantia ab initio est z.
Si in Ord nata Curvae scribantur succescesset enumeri integri O, I, 2, 3, 4, bc. pro P, eadem erit relatio inter ineas ordinatarum proveni nitum
135쪽
quor es inter Terminos Seriei a. -a h a Ubi mum ratores comi e lucr scunt, De nominatores Pero decrescunt. Et bis quoque sto
Haec Propositio demonstratur ad modum superioris.
I erminus Primus a ad alium quemvis intervallo z distantem a principio, ita Area Curvae cujus ordinata est ad Aream Cum Vae cujus ordinata est κ T; εμ ιEXEMPLUM I. Detur Series interpolanda 1, cta, h 1 di Q rec. clusare haec Series ot qadi directe sui Me Propositione, nterpol Te
x X I- , ita unitas ad Terminum intervallo et distantem a principio, in Serie posteriore: vel ut Area Ordinatae x 'κῆ a*ad - - , ita unitas ad Terminum in Priore Serie, intervallo et remotum ab Ut si desideretur Uncia Termini quinti in dignitate nona, erit 9, α - 4; quibus scriptis, erit Area Ordinatae x Yta 3 ad - ut v Pitas ad Unciam quaesitam. Ordinata autem evoluta est xy 6x'-- usque Area f. L n y -
136쪽
EXEMPLUM ILSi in potestate simplici Binomii, quaeratur Terminus qui consstit in medio inter duas Uncias I & 1; erit index binomii et i L; &exinde ut Area Ordinatae xkκῆ ad L, hoc est, ut Area Circuli ad
quadratum Circumscriptum ita unitas ad Terminum inter Uncias I & r. SCHOLION. Quando Curvae quadrandae sunt plurimarum dimensionum, inveniendae sunt aliquot earum ordinatae per Tabulam Logarithmorum ξ, ex quibus dabuntur Arear per Parabolam Newtoni. Quod si relatio Terminorum in Serie interpolanda sit iriner plures Terminos, absolvetur interpolatio per Comparationem aliarum Curvarum. Sed hanc materiam millam faciens adjungam quaedam de aliis methodis interpolandi.
137쪽
nus Seraei interpolandae primarius vel intermeium, cujus Hylantia ab initio est z-p.
Notandum est Coefficientem A, per Propositionem decimam octavam aequalem esse Termino in Serie Numeratorum I, ra, r- .b,&c. distantem intervalla p- r ab initio; eamque determinari Per E emplum secundum Propositionis vigesimae Primae. DEMONSTRATIO. Series proposita definitur AEquatione disserentiali T, ubi est xvir p ut in Theoremate & successivi valores indeterminatae et
dein pro T & E scribe earum valores succedentes Τ' & z-FI, r spective, & emerget
AEquatio resolvenda T m-T, hunc in modum scribatur Τ et Tet Tn in O; & in eadem substituantur valores ipsorum T & Τ', atque resultabit
, - , in Mii A, &e. Atque producendo computum, reliquae Coessicientes prodibunt in Theoremate. E. D.
138쪽
Proponatur Series I, L a. S b, b c LdUS . quae definitur ZE-
quatione T ----T, in qua valores successivi ipsius et sunt I, 2, 3, 4, &c. haec comparata cum AEquatione T T, dat ηαἰ- - -& exinde B - - in A
Quantitas autem A in hujusmodi Exemplis sic determinari possit. Per relationem Terminorum interpolandorum quaere primarium quemvis satis longe distantem ab initio, verbi gratia decimum sextum, qui hic prodit .i 4 6 448 &c. Hune scribe pro T & interea pro et Valorem suum correspondentem, nempe I 6 ; atque habebis
vel colligendo Terminos in unam Summam, .rψ-6- 8 in I.O2422627, unde prodit A - .5641895835 8 : quo dato dabitur Tin alio quovia casu per Terminos paucissimos sui valoris. ExEMPLUM
139쪽
i; et Interpoliatio Serieruus.
AEquatione T in T, existentibus -, i , , dcc. Valoribus Abscissae et successivis: haec comparata cum AEquatione in Theoremate dat n - - ; quo substituto obtinebitur
9Σ a187Σ T 19683Σ' 'i 77147et Jam ad eruendum Coefficientem A, quaero Terminum decimum quartum Seriei interpolandae, qui prodit 4.652336 : hunc deinde va-253
& colligendo Terminos in unam summam, Obtineo 4.652I36 - Α κ 2.35I5O5, adeoque A I.978365. Data nunc A, Terminus quilibet alius invenietur summa facilitate. Quaeratur is qui consistit tertia parte intervalli communis ante millesimum primum: pro et scribe suum valorem correspondentem 1 ooo, & valor ipsius T prodibit 1o A in 1 - sive T. 9OOOI9. 783 3. Nam ubi Terminus desideratus longe distat a principio &computus non est producendus ad Plurimas figuras perpauci Termini in valore ipsius T abunde issiciunt. Sc ROMON. Eodem modo quo in hac Propositione Radix extrahitur ex IE-
quatione T E T, extrahitur etiam ex alia quavis quae sub hac
140쪽
Nam est index n-a per Propositionem sextam ; & inde forma Se riei pro T assumenda erit
Quippe in hujusmodi Seriebus quae sunt Radices iquationum Differentialium, indices ipsius et habent Unitatem pro decremento, Praeterquam in quibusdam casibus valde Particularibus. Habito igitur indice ipsius E in primo Termino habetur forma Seriei assumendae pro Radice T: dein scribendo ali pro et, & T pro T, prodibit
T um reducendo hunc valorem ad formam ipsius T, ut supra ostensum est, & ducendo utrumque valorem in quantitates quas Praecipit AEquatio resolvenda; dabuntur Coefficientes assumptae ex collatione membrorum homologorum in AEquatione resultante
Si AEquatio ad Seriem si T in Τ, erit Radix