장음표시 사용
121쪽
& instituatur computus juxta Propositionem decimam nonam, invenientur differentiae
quibus substitutis pro A, B, C, D, &c. & λ pro z; invenies Terminum distantia λ ab initio remotum, esse
Sed quia Termini interpolandi divisi erant per dignitates ipsius quisque scilicet per dignitatem cujus index erat distantia Termini ab initio; e contra duc Terminum moX inventum in dignitatem praedicti binomii, cujus index est λ, sua utique distantia ab initio, & pro Area Curvae habebitur x λ P λ
pro Area Curvae cujus ordinata in genere est x X eri-yx' . Et hoste Series transmutata per Propositionem septimam, migrabit in eam NM. Ioni pro quadratura Curvae binomialis. Abrumpit quando index λ est integer & assirmativus; sed post debitam ordinatae praeparationem a brumpet semper ubi Curva est quadrabilis. Ceterum ejus usus praecipuus est qnod exhibeat Areas in Serie admodum simplici. Si Coem cientes e, f, contrariis signis assiciantur, Praeserenda est Series Newtohii& nostra ubi iisdem. Ex EMPLUM IV. Oporteat assignare Uncias Binomii ex data Uncia media in dignitate cujus index est numerus par. Si a denotet indicem dignitatis, & Un
cla media ducatur continue in fracitones ό, &C. iacta erunt Unciae reliquae consistentes G utraque parte mediae. a 6 et
122쪽
esse Terminum Seriei interpolandae, cujus distantia a Termino media a est ad intervallum commune primariorum ut r ad Binarium. Exempli gratia, in dignitate decima secund nciae sunt I, Ia, 66, 22O, 495,792, 924, 79a, &c. existente Uncia media a m 924. Et si quaeratur ea quae ternario distat a media, erit r - 6; quo substituto, & Ia pro na
Uncia cujus distantia a puncto inter duas medias Uncias intermedio, est ad intervallum commune ut r ad Binarium. Et hae Series in permagna dignitate convergent dummodo intervallum inter Unciam mediam & quaesitam sit exiguum respectu indicis
123쪽
S cIlo LION. Postquam Series interpolanda debite praeparatur per Propositionem decimam septimam; etiamsi eadem utrinque excurrat in infinitum procedere licet per Propositionem decimam nonam praeterquam ubi Termini a medio hinc inde aequaliter distantes sunt inter se aequales: ubi hoc accidit, adhibeatur casus primus Propositionis vigesimae, si Terminus qui-Vis primarius quodam jure vindicet locum in medio omnium: vel si duo, Termini eodem jure locum medium vindicent, adhibeatur casus secundus ejusdem Propositionis. Et in aliis casibus ad libitum fere proceditur.
Data Serie Terminorum aequiae antium, invenire Termi
num quemTis primarium vel intermedium utcunque
longe ristantem ab initio Seriei.
Si Terminus quaesitus longe removetur a principio, tum per Propositionem decimam octavam quaere aliam Seriem in qua Terminus ille desideratus constituet Terminum prope initium, dein procede ut in Propositione suPeriore. Ex EMPLUM I. Proponatur invenire Terminum quemvis hujus Seriei, I, A, - Βά
z &c. a Principio quant Vis magno intervallo m distantem. 5 IPer Propositionem decimam octavam, Terminus Seriei
m -I' m--a' mina' ,- 'ς qui consistit ante primum dimidio interValli communis, aequalis erit Termino Seriei prioris cujus intervallum ab initio est m. Constat autem per Exemplum secundum Propositionis Vigesimae primae, Terminum dimidio intervalli communis distantem ante primum in Serie Numeratorum, I, I. I, I. I. 2, I. I. 2.3, &c.il est, in hac I, I, 2, 6, 24, Iao,&c. esse Radicem quadratam Numeri 3. I 415926. . . . &c. Quare tan tum interpolo Denominatores nempe
124쪽
Ubi Terminus quaesitus consistit in medio inter duos medios mi&ir sed quia dimerentiae horum Terminorum sunt Permagnae ; ducantur ii a medio hinc inde aequaliter distantes in se mutuo ; hoc est' m in 1 1
utrinque excurrens in infinitum, & habens Terminos inter se aequales ui aequaliter distant a medio. Sed & Terminus in medio consistens Inter duos medios Primarios m & m est quadratum ejus in medio imter ει α I in Serae priore. In novissima igitur Serie quaeratur Termi-
Quam ducito in Circumferentiam Circuli, scilicet Terminum respectivum in Serie Numeratorum, & habebis pro quadrato Termini quaesiti 3 I I 59 ....&c. in m - - - - -Τη Ita i PD ,
i 3 5 intervallo m ab initio aequalis est mediae proportionali inter Circumerentiam Circuli & Se ieim illam ue,quae eo citius convergit quo maiore η, hos est longius distat ab milio Terminus quassitus.
314. 9 56 , cum M. Radix quadrata 17.7 67o79 est Terminus centesimus Primus Seriei interpc hdor; sive productum. 2 68 . ' SI 9 5b sub factoribus N N-, &c. quorum numerus est 5 , γCentum. Et eadem ratione invenire licet Terminum quemvis inter medium
125쪽
medium: nam si pro ni scribatur 99 habebitur Terminus in medio
inter centesimum & centesimum primum. Vel si substituatur Dpro γη, habebitur Terminus consistens post centesimum tertia parte intervalli CommuniS. Notandum est, posse Terminorum alicujus Seriei reciprocos interpolari: sic reciproci Terminorum in Serie novissima constituunt Seriem i, V A, - B, b C, D, &c. in qua Terminus ab initio remotus intervallo quovis aequali se m, aequalis erit Termino Seriei
Venietur esse media proportionalis inter Seriem sequentem
& numerum .6366 19 723676 qui aequalis est unitati divisae per semicircumferentiam Circuli: id quod constabit insistendo vestigiis prioris partis hujus Exempli. EXEMPLUM II.
Quaeratur Terminus hujus Seriei I, - A, B, ' C, quantumvis remotus ab initio; scilicet intervallom: & per Propositionem decimam octavam Terminus ille sequabitur Termino hujus Serieieta 8 c o dia '' 31n-5' 31n--S 3m-J-O 'ς' qui consistit ante primum tertia parte intervalli communis. Igitur in tercalentur Numeratores & Denominatores seorsim ut in Exemplo secundo Propositionis vigesimae primae, scilicet per Logarithmos; &habebitur Terminus quaesitus. S c Π o L IO N. Hinc constat Terminos Serierum longissime distantes erui posse non minus accurate ac intermedii sub initio. Sed in Serie interpolanda 1,
126쪽
7 A, AVI', ας, si differentia inter I & r sit magna, magnus item
erit labor in inveniendo quovis Termino. Casus autem omnium facillimus est ubi p-r esst aequalis in se, ut in Exemplo primo, Praeterquam ubi dimerentia illa est numerus integer quo in Casu Series erit ac
curate interpolabilis. V 1L uE
PROPos ITIO XXIII. Invenire rationem quam habet Uncia media ad Mummam omnium inciarum tu rus murust finitate binomii. Solutio prio V.
Si index dignitatis sit numerus par, appelletur u ; vel si sit impar
Voceter n--I; eritque ut Uncia media ad Summam omnium ejusdem dignitatis, ita Unitas ad mediam Proportionalem inter semicircumferentiam Circuli & alterutram Serierum sequentium
Exempli gratia, si quaeratur ratio Unciae mediae ad Summam omnium in dignitate centesima Vel nonagesima nona, erit ni 1 oo; qui multiplicatus in semiperiferiam Circuli, re o'66: εθα producit primum Terminum A I 57.O7963 679; 6ooo8roci
perficiendo computum ut in margine, invenietur Summa Terminorum I 57. 866984459, cujus Radix quadrata I 2.5645I29OI 8 est ad unitatem ut Summa omnium Unciarum ad mediam in dignitate centesim
vel nonagesima nona. Est autem hic computus per priorem Seriem: nam licet exigua sit disserentia, prae-
fero eam in qua Termini sunt omnes 'ejusdem signi. I 57 6984 59 Solutis
127쪽
Manente n ut antea; erit Summa omnium Unciarum ad mediam in
Vel quod eodem redit, ponatur a m .6366 I97723676, quoto scilicet qui prodit dividendo unitatem per semicircumferentiam Circuli; & media proportionalis inter numerum a & alterutram illarum Serierum erit ad unitatem ut Uncia media ad summam omnium. Ut si sit index n IOo, ut in comPuto superi- .OO63o3166O63O5
ore; erit per Seriem primam Ai- B ZO6 . M &c. EX calcuIo autem apposito patet Summam Terminorum este .OO6334 467O787, cujus Radix quadrata .o795ῆ9237387a est ad unitatem ut Uncia media ad Summam omnium in dignitate nonagessima non1 vel centesima. Et sic omnino sunt quatuor Series ejusce misimplicitatis pro tolutione huJus Problematis. Cete rum in praxi non opus est recurrere ad Series: nam sufficit sumere mediam proportionalem inter semicircumferentiam Circuli &-: haec enim semper approximabir propius quam duo primi Termini Serrei, quorum etiam primus solus plerumque susscii. Exempli gratia, si sitn in Ioo, erit n - m ioo qui ductus in semicircumferentiam Circuli producit 157. 865, cujus Radix quadrata est Ia. 564 , unitate deficiens in ultima figura. Eadem vero approximatio aliter & praxi sorte commodior scienunciatur. Pone e ad unitatem ut quadratum Diametri ad Circulum ; hoc est, . sc c I, ὸ732395 4735z; eritque summa Unciarum ad mediam ut Uncia
128쪽
Unitas ad V--Γ7 quamproxime, existente errore in excessu circiter
quadrata .O7958973 accurata est in sexta decimali: quae vero divisa Per 16nn, hoc est per 16oooo, dabit correctionem .OOOOOO5O ; &haec subducta de Approximatione, relinquit numerum quaesitum.O7958923 accuratum in ultima figura. Similiter sit n m 9OO, erit m .OOO7O69625 5, cujus Radix quadrata .O26588767 superat verum binario in ultima figura. Sin vero correctio computetur ac subducatur de Approximatione, habebitur numerus quaesitus accuratus in decima tertia decimali. Hem Vero Approximationem seque facilem & magis accuratam. Di ferentia inter Logarithmos numerorum n-lba & -2, dividatur Pera 6, & quotus adjiciatur dimidio Logarithmi indicis n, huic dein summae addatur Logarithmus constans .O98O50938515i, scilicet dimidium Logarithmi semicircumferentiae Circuli, & summa novissima erit Logarithmus numeri qui est ad unitatem ut summa Unciarum ad mediam. Verbi gratia, sit n - 9OO, computus erit
16 Diff. Log. 9oa 8e 898 .OOOIaO6376 Log. constans .o98O599385 Summa I.5753Oi83O Et haec Summa verum superat binario, in ultima figura, estque Logarithritus numeri 37. 98698 qui est ad unitatem ut summa Unciarum ad mediam in potestate 'oo vel 899. Et si vis illius numeri recipro cum, sume complementum Logarithmi, scilicet - 2. 246981692, &numerus eidem correspondens erit .o265887652 qui monstrat rationem Unciae mediae ad summam omnium in praedictis dignitatibus. DEMON sTRATIO. Dignitates Binomii, quarum indices sunt numeri pares, habent unam Unciam mediam ; eae vero, quarum indices sunt impares, habent duas Uncias medias. Et hinc oriuntur duo Casus Problematis. Primo quando index est par, divide summas Unciarum i , 4, I 6, 64, 256,1oa , &c. Per suas Uncias medias, I, 2, 6, 2O, 7O, 252, &c. & quoti8 16 128 2 6 et . - - 6 - 8 -
129쪽
runt ad unitatem ut summae Unciarum ad Uncias medias in diversis dignitati S. Similiter si summae Unciarum in dignitatibus imparibus, scilicet et. 8, 32, I 28, 5 Ia, &c. dividantur Per Uncias suas medias I, 3, Io, 35 1a 6, &c. rursus prodibunt idem quoti, Utpote a, ', , , Nam eadem est relatio inter summam Unciarum & Unciam mediam inquavis dignitate pare, quae est inter summam Unciarum & Unciam me diam in dignitate impare proxime inferiori. Adeoque interpolatio Se-2 4 6 8riel, I, ' A, ' B, C, D, &c. ut in Exemplo primo Propositionis vigesimae secundae, solvit utrumque Casum Problematis. Sed hic dabimus investigationem harum Serierum absque methodo Differentiali.
Series interpolanda r, p A, B, &c. definitur AEquatione T T, ubi n est quantitas variabilis, ejusque valores successivi o, et, 46, 8, &c. scilicet indices dignitatum quando sunt pares, vel indices aucti unitate quando sunt impares. Quadra utramque partem AEquationis resolvendae, & habebitur TT vel quod idem est 2T T u i i N i 1 - L T - O. Assume jam
130쪽
Ceterum in valore ipsius TT prius assumpto, si scribatur pro habebitur
Solutio posterior perficitur interpolando Seriem I, 'a, G2. d, &c. cujus Termini sunt reciproci eorum in priore: ea vero defia
nitur AEquatione in qua Valores ipsius n successivi sunt O, 2, 4, 6, 8, &c. ut ante. Et quadrando evadit T T hoc est, nii .n'-3 TT-T P-TT-T T -o. Fingamus nunc