장음표시 사용
21쪽
econtrario ad ascensum a ponderis,quato enim a pondus ex grauitate sua plus inclinat ad descensum tanto plus ex eadem grauitate declinat ad ascensum Et quanto b minus ex sua grauitate decimat ad descensum, tanto minus eXeade grauitate declinat ad ascensum id est,tanto minus resistit trahenti ipsum ad superius Igitur eadem est proportio descensusa ad descensumi quae est ascentus b,ad ascensum a Sed descentus a cldescensum best sicut a pondus adb pondus. Igitur,sicut pondus ad pondus,ita ascenish ad ascensum a patet igitur secunda pars concluti Onis Ex qua constare potest is no intendit maior Propriam partem, scilicet a pondus relidium sit propriae naturae maiori uelocitate mota retur in altero medio,vel aliud pertransiretistius in eodem tempore sescundum proportionem quam habeth ad a,Sed maiorno habet deteris minare,demoria rauis relicti propriae naturae sed de motu grauis
sequi libri cum resistentia grauis positi in alio brachio aequilibris hoc aute patet per secundam partem conclusionis,in qua loquitur maior de
ascensu ponderis,cum tam ciano ascendat pondus naturaliter in medio, in quo naturaliter descenderer,sinmitteretur naturae propriae Sed alcendit in bra lato equilibris propter uiolentiam qua inducit pondus altorius brachii m descendendo umigatur proporrio, qua maior innuit inducere de ascensu huius probaretur Per Dramam conclusionis, ista Drobatio no ualeret,nisi sumeretur descensus in aequilibri in prima parte conclusionis Et si sic sumatur Oportet tunc habere res nectit ad aequaviitatem insequalitatem brachiorum. Unde ideo notandum, non potest sic intelligi conclusio, i, sicut descensus a ad deicensumi ita totavrati itas a tiripliciter de secundu situm ad totam grauitatem simpliciter secundusium,S hoc debet strictissime intelligi . Nam rocnon est uerum nisi quando eadem est proportio totius Irauitatis ad totam grauitatemh,quae est totius potentiae a super suam restilantia. ad potentliambsuperluam resistentiam secundum hoc Hariaretur uelocitas oedescensus,aliter no ualeret propositio autoris. Nam ubi aduersarius ponit in maior est proportio descens Usa ad deiccsumb, a d b,&autor nihil aliud concludit,nisi non est uniuersaliter uerisivi maiores proavortio descensi ii cs: Ponderum Et hoc non repu3nat dicto ab aduers ito imbuuando lic est,quandom GCntrario Et adeo ad hoc in concludatur Propositio uniuersalis ex particulari data, Oportet 1ic intelligere
conclusionem Quod in aequilibra hac d centrum sit at pondus insituc se habet ad idem pondus ginsitura, secundu Proportionem totaus descensus que porcst habere an stuc adroiu descensum,quc potest habere in sim d. Ex quo exsomo potest ulterius descendere niti secundum
Quantitatem seir: idiametri,cuius circumsere: ria describat. Sic sequiture ista positione, vapondus inclitum se habct ad nictaag pondus in
22쪽
dsmindtim proportionem ea adda ita,cut pondus inc situ suis ceret cum maiori pondere,in alio brachio sufficeret descendere in dritu, cx se haheret ad primum pondus locatum secundum proportionem c aadu a Et hoc pro sensu primae partis conclusionis. Item pro sensus cundae partis conclusionis, lico,q, si h pondus sufficeret pondus leuare inuisitum ad lineam dire 'iois,unu aliud podus , aeque faciliter leuaret minu situ ad linea directiois, se haberet ad b secundum proportios nem sta ad ea Vnde si ille sensus sit uerus in uno casu,uidetur cv ita erit in quolibet casu itaq, secunda illam expositionem non ualet uariatio grauitatisinisi propter uariatioena situum Igitur si in uno casu uariatur grauitas eiusdem ponderis secundu*portionem brachiorum, non est maior ratis,quando ita erit in quolibet casu. Sic igitur intelligendo coclusione,procedit proPositio autoris, aliter non. Et sic intelligendo concIusione,est ad propositi octauae coclusionis, ad cuius probatione alle natur illa coclusio. Sed uidetur i, ista expositio no sufficiat pro sensu coaeclusionis Nam coclusi ponit,ci, sicut pondus ad pondus, sic uelocitas
ad uelocitatem, tamen in ista repositione, arguitur de uelocitate
ergo persuaderi potest isto modo. Sit e pondus in eodem situ cum Naδque se habet ei situ d,sicuti in sitic se habet ad b,ergo ut prius ficosio
milem uiolentiam sufficit girid situ agere in en situ,sicut idem mine dem situ sufficit agere in b,ergo econtrariosum it in situ eleuare e ad dare 'ionem,sicut ainc sim sufficit leuareb ad directionem, sed quia aeque cito deueniet huele,ues fg ad directione,ergo uesocitas stin situ,se habebit ad uelocitatem eius inc situ,se nati proportionem saad caper quintam Archimedis de curuis superficiebus,eoca, eadem est proportio diametrorum,ues semidiametrora ues circumferentiarum, ergo etc. Si aut istud argumentu non faciat fide,no in cura,tantia PieAEIocitas sit proportionalis ues non ,dum tamen sequatur Sinin d sufficit Ieuaree,cvganc sussicit leuareb .Etiam prima conclusio textus Iordani habet aliam litei',scilicet,q inter quaelibet grauia sit uelocitatis de ponarieris eodem ordine sumpta proportio Et hoc etiam sufficit pro odiaua conclus ne probanda,ad cuius probationem ista conclusio allegatur, hoc igitur siumcit adeXplicationem conclusionis. Iam laicii restat prora Dare,in prius praemittebatur,uid licet fati ossi pondus maius se habet ad minus in minora proportione 4 descensus maioris, ad desccsum minorem pondus maius se habebit ad Ycessum sui supra minus, maiori Proportione,' descensus maioris ad excessiim suum silpra descensum
e Per Octauam quanti Euctidis.Tunc arguitur si Sicut d sadlis,ua ab
23쪽
adbgdisiunctim per decimamseptimam qiiinti Euclidi Sicut di adlis ita Las econtra sicut Dad a,itatis ad sh,ergo coniunctim per decimamoctauaqtiinti Euclidis Sicut haad a,ita adlidsed per octastiam quinti Euclidis,maior est ipsius d adlid, Haded igitur maior est proportio 1, ad a frid ad ed , sed a est excessus ponderum, haequale caedexcessus descensuum,& es aequale g. Sumcienter igitur patet intentum,idem igitur prohatur extricesimaquarta quinti Euclidis,giae est quinta propositio Archimedis,ct hoc sic Si maior sit proportios ades 4 a b ad bo: euersi m per illam conclusionem tricesimam mi Dor erit proportioris ad ed cp ah ad a. Eisdem mediis potest probari, Si maior sit proportio ponderis ad pondus, descensus ad descensum, J minor erit proportio eiusdem ponderis ad excessum super aliud, escensus super suu excessum,S supra alium excesium,&hoc est, quod ab initio promisimus dem nurare. PROPOSITIO SEcVNDA .
Cum suerit aequilibris positio aequalis,aequis ponderibus appensis, ab aequalitate non discedet, etsi ab aequidistantia separet, ad aequalitatis situ reuertetur.
Primum patet quia sunt aeque grauia Secundum patet per suppositisonem quarta, locatur aute illud situs, Q, circulus dicitur,sicut patet per
praedicta, Aliud comentu sequitur Aequilibris positio dicitur aequalis,quando a centro circumuolutiois brachia regulae fuerint aequalia Sit agitur regula a Necentrum4,5 appenta b c ciracumducto igitur circulo perti&c in cuius inserioris medietatis puncto medio sit d,man, festum es,cν descensus tam tic est per circumferentia uersus d 4 quia obliquus esti ter Mesccsus, aequaliter pS derosa sunt appesa, utrum per alterii astu aequalitatis aequas liter mutabitur, quod est primum. Ponatur nunc, i fiat descensus 3 parte'. ascensus a Partei,dico, redibunt adsis
24쪽
ium metualitatis . Non nim ulterius descendet b eo ci descensus
ius uersus climagis obliquus est, Dascensus cad aequalitateira enim Sciam a qualiter distanta sitia aequalitatas, S c ne descensum appro Cnquabit adsitum aequalitatis continue, δή b per stati descensum conti. nue recedet a situ aequalitatis igitur quilibet arcus, per qua descendet riplus distata situ aequalitatis, Ialius arcus per quem descendato Sed ar cuum aequaliuinaequaliter distantium sim aequalitatis, ille mimis capit de directo qui plus distat,ut statim probabitur Ergo per quacunq; arcum delaediti eius descensus reditor est,cydescensus b,igitur per quartam suppositionem cin illo situ grauius est, ib, igitur per sextam sup positionem, descendit, ascendit. Iam igitur testat probare,in arcuuaequalium,inaequaliter distantiu a situ aequalitatis ille minus capit de directo qui plus distat ab illo situ. Sicut in in circulo kqwh, cuius centrua, halinea directionis,&qh linea aequalitatis,&sit arcusicaequalis ars cuic d,si tunc protrahatur didice: bi aequedistanter avi, dico in Letinea,minor est me ilinea, producta n linea Nd secante limam ce in pu ctom &ac secante bdin punctori erit bia aequalisia pro tradiis emhc c d cordis aequalibus, per uicesima inoctaua terin Euclidis Et pro tractis lineis bavid a erunt duo trianguli, scilicet, b c a cla, Quorum anaulus a unius,aequalis fit angulo a alterius, se octaua primi Euclidit, seclis duo laterab a an ,sunt aequalia duobus lateribus, ad ad triae anguli ri ad ergo per quartam primi Euclidistin ridi in aequales quartihmest maior mu Protracta igitur linea do aequedi state lineae kle,quae secet lineam ce in puncto inessent duo trianguli dis p χ his similes, per secundam inuartam sexti Euclidis .e cv iri Dorque distat bo. Sicut igitur d
iunctim perdecimam septimNquinti Euclidis Sicut dis ad
minor in b, sicut probat id est, ergo di est minoris, sed pertricesiman quartam primi Eu
iis po, eroo fe est minor ei. 'ui it se sit illud ud capit c d de directo,&ei sit illa in ch capit de directo,ss plus distat,einde mo patet,cum in capites di
25쪽
PROPOSITIO ULCu suerint appen σsorum pondera aequalia, non motu faciet in aequilibri appendicu lorum inaequalitas.
Non debet hic sumi ince qualitas appendiculoruion dere sed longitudine, proba:αtur sic Si fiat motus in una parte,ergo Parsalia est man gra Mis, per suppositione secunda,
sed positum est prius appensorti pondera esse aequalia,ergo. Sequitur aliud commentum. Sit regula, hi, cuius sit censtrum , appedicula b d ce, longius aute ce, breuius h& pondera aequalia appens ad Sese. Sit in linea directionis og, quae Procedat qualibet, ducantur: pd f&ge lineaec edistantes lineae Da c, positis centris ilics describanaelia quartae circulorii per s&e,quae erunt aequales eo indictge semidiametri sunt aequales .Propter hoc, cadia , casunt aequales, d est aequa lis Na, ne est aeqv alis, opertricesimamquartam primi Euclidis eo id&ce lineae o quedistant lineae a se Cia igiae turiste quartae circuloru sunt aequales, per istarum circu. ferentias, erit descensus d epoderis,ut probabitur, aeque
26쪽
Uiciti erunt eoru descensus.Ha pondera sunt simpliciter aeque gratiis Ust secundusiitim seque grauia sunt,rio Istur mutabit regula hinc inde per secunda huiusdam igit probandu est, is descensus d L ponderis,ue
nlunt Per circumserentia ductaru quartariam, sic constabat Circa cen
trum a describat semicirculus his ni S descendat hisin ad m,&cisa ad ia, Diotra laturin ah i m ad circumferentias dictaru quartaria,duar lineae trah&nhaequedistantesti neoebd&a fg&ce Dico ergo, in haequat lineo aequedistanti lineo b d di haequat lineae ce Transeat in limusci ad Opunctum inti nea ha,&sit se punctus in quo secat lineamdi Cum initur lineae a ob dis sunt aequalesse tricesimamquartam primi Euclidis,ct diametri sint aequales,et sic residuis diametrora demuptis.Sicutio ad dis,itaim ad residuudiamctri &etiam, sicut di ad D',ita,' ad residua diametri,per octaua sexti Euclidis . per tricesi,mam quinti eiusdem.Igitur ho est ad Om, sicut diadi', quare per notaam quinti Euclidis om&ph lineae sunt aequales, addita igitur utriculineo mi,erit linea os aequalis lineae inti Cum igitur bd per tricesima quartam primi Euclidis sit aequalis o p,erithd aequalis mi Cum eroo h erit in , d erit in ,&per idecimumen tu ubicuci erit l, in sua qtiarta,erit din sua quarta,&eodem modo erobandi est,clve sit in k, cum fuerit in , protracta si muscv air,&polito in in .secet lineam ne, hoc est quod promisimus Nota, illa conclusio fundatur superlaoc, in inpendicula aeque distent lineae directionis,quod tamen est falsum,eo viocurrit cum ea in centro tetrae si in infinitu protraherentur, veru,quia propter breuiore appendicuIoru aongam distantia earum a centro terrae illa appcdicula insensibiliter in inferioribus distant a lineis aequedistantibus lineae directionis iam insciasibiliter inaequaliter pondei secundusitum quae iudicatur esse aequalia,eoci, neutru sensibiliter descendereti
Quod libet pondus inquam cuc partem discedat
manifestum est hoc per suppositionc quartam Aliud commentia. Cum sunt ponderahc,dico, item in situ eqtialitatis. Capiatur enim sub d arcus d , sub barcus hs sibi aequales Capiatur supra barcus hila qualis az ii Cum era ope probata in regula huius 2 portio, minus capit de directo Si
igitur se undu situm erit magi graue pondus in ζ in die uti tasuppositione huiua dem modo probandum est,cesse stra iiij II:
27쪽
sequalitatis chinti puncto.in ptis igitur portionibus aequa tibus cuia Id nam' hq mionus capit dedi recto, b c na, ut patet in secunda huius. Qa auxebidcis aequaliter capiant
tradiis cordis b d tis, de pro tractis semidiametris ea sa, erunt duo trianguli ga desib,per Octauam primi Eucliae dis,quorum angulus a unius erit aequalis angulo a alterius, eo , NPS hi sunt aequales, per uices1maoAatiam tertii Euclidis. Protrahantur igitur corda gi quae seceth, in hiunario,erunt duo trian uti a gli&ath, quorum duo Iatera unius, ag&ah,erunt aequalia duobus lateribus alterius as Scali,&angulus unitis aequalis angulo a alterius,ut proham est, agitur per quartam primi
Euclidis basi illi aequalis est et,q, bcapit de directo,igiturgh&Di qualiter capiunt de directo, quoIsuit probandum. PROPOSITI QUI IN TA.
Si fuerint brachia aequilibris inaequalia, aequalisbus poderibus appensis, ex parte logioris fiet motus.
Brachia inaequalia Ionstitudine non pondere, probatur sic. Ex parte longioris describitur circulus maior,&sic patet per suppositionc tertiac pondui est secundum situm grauius. Aliud commentum ad declarationem illius conclusionis, probanda est primo, cordarii aequa lium circulorum inaequalium arcus minoris circuli maior est arcui maioris circuli Sit ita circulus minor abch,cuius cctrum , s e fg cir cuius maior, cuius centrumh. Et sit portio ab c similis portioni fg,5 constituantur trianguli ac d ct egi Cum igitur per diffinitionem similium portionum angulus super arcum abc,est aequalis angulo su per arcum egi era per uicesimam primam tertii Euclidis,angulus super arcum a b c,eu aequalis angulo super arcum e se, quare per nonam
xen i Euclidis,angulus h est aequalis angulo d. Cum igitur per tricesima secundam
28쪽
quales duobus angialis eerginea per quintam primi Euclidis angulus aest aequalis angulo , de angulus e est aequalis an Rulog, Nil quilibet latoriam quatuor, est cui labet alteri aequi ualc pro pter limilitudinc trianguiom,e per quartam sexta Euclidis erat vi corda ad c corda tu ut et semidiameter ad la diametrii. Ite sicut agulus h ad quatuor angulos rectos, itae portio ad totam cirracumferetiam per ultima sevia Euclidis, eo in qua
tuor recti super',occupant totam illam superficiem, ut potest elica κ decimatertia primi Eucli dis Igat angulus, qui est a qualis', se habet ad
tuattuor rectos, ii cutis gangialias ad totam illam circumferentiam, per ided se habet ad QU. litor reractos, sicut ab castolaira illam circumferentia Perillud priuς igitur sicut ab carcias adiciam Crαcumferenis amota e fg arcus ad tuam circumferentiam igitur Permittatam Per deciniam sextam Euaclidis Sicut a besar US,ad e se arcum ata a b c circia inserentia ad bis ciris cum scientiam , sea sicutiarinserentia ad circin se. rentiam
29쪽
rentiam ita semidiameter ad semidiametrum per quintam Archimedis decurtiis superficiebus igitur sicut ab carcus adesiarcum, ita ad adem eadem est proportio ac lineo adeg lineam,ut prius fuit probata. Sunt igitur a cladeli, ct acadeg,S abc ades secundum proporti neminam Cum id sit minor eti, erit a b c minor es ,de ac minor egi protrahe ergo e ad scordam aequalem cordae ec, Est igitur e fg linea adestineam, sicut es arcus ad a b c arcum sed maior est proportio e in arcus ad farcum,ch e glineae ades lineam, ut probat Ptolemaeus primo Ahma est capitulo quinto,et ut patet coclutioe prima Almagesti Alb. Ioitur maior est proportio e fg ad s.c e fg ad ah c,quare per octauam clint Euclidis arcus Hi minor est arcui a b c,sed illis lubtenduntur cor dae aequales , patet igitur quod uolumus. Si autem Propositionem Ptolemaei Probare Volumus, uidelicet, maior est proportio arcuum,c cordarum de scribam circuli super queiunt ab&bscordae inaequales , quarum breuior sit a b longior bd dico er 'Ο,Π , proportio b d cor-liae, ad ab cordam minor est proportioni bd arcus adici arcum Diuido eman ulti a b d in duo aequalia per lineam hec,et Proα traho lineas a ed i a χd,qtia igitur anguliis a b c est aequalis angulo bd, erit ae linea aequalis c d lineae, per tricesim atraquinatam de per uicesimaoliavitiam tertii Euclidis Et ste linea se habet ad ea lineam, sicut di, ad ba per tertia
30쪽
Hinde decim Io 'auI, eo me sc sit maior angulus cestrianguli per tricesimasecunda primi Euclidis igit circulus descrinius supc centria, securi dii quantitate ce secabit cra, ct transibit Ultra es fiat agit poletio circuli geli,d produca fusci' ad h.Cu ergo maior sit a portio ch e sectoris ad caeesectore,per octava quinti Euclidis,et per eande maior est portio serrianguli adcegsectorc, urcea triangulum, igitur a fortiori maior est proportioche sectoi is ad c e sectorem, cice Strianguli ad cera trian :gulum sed res trianguli ad cera triangulum est sicut a lineo ad lineam a per primam sexti Euclidis Et proportio se Iiorum est,sicut proportio liceanguli ad ec gangulum, per ultimam sexti Euclidis, igitur malorest proporti anguli lite ad angulum ecst,in lineaec fad lineam se, Erago coniunctim per uicesiman ctauam quinti Euclidis,quae sit quinta conclusio additionis Campani, maior esit proportio anguli lice ad an gulum ec g,in lineae Laad linea me a,sed perdecimam iuinta Qtianti Euclidis,eadem est multiplicantium: multipliciorum pro Ortio, Igitur duplus angulus et g qui est dg cin maiori proportione se habetin ad angulum, g,4 duplum lineae fa,quae est si e trabe ad lineam ea, Igitur disiunctim per uicesimam primam quinti Euclidis, lux est quarta coclusio additionis Campani maior est proportio anguli dii ad angultie a,ch e lineae ad ea lineam sed se ad ca,est sicut bla ad , cordu per
tertiam sexti Euclidis,ut prius argumentatum est, eo in diuiditur per inaequalitatem,per lineam dic, 3 d barcus,est ad ba arcum, sicut icti angulus adbce angulum,per ultimam sexti Euclidis Igitur maior est
M I f φ arcus a arcum,4 di cordae ad dia cordam , ct hoc est
quod demonstrare curauiimus. Aliter etiam Obari potest primum praemissum cum assumptione duarum propositionum ahqualiter nacturalium,quaru prima est, Duoru arcuum cordarum aeqUaliti, ille maior est,cuius medius punctus plus distata medio suae cordae Illa'propositio fundatur super regulam,quae est Quotquot linea ab uno punctoaclais inducatur,quae recta est breuissimaestaearum .ircu alium linearum longior est,quae magis procedita linea directe protracta Ouare autem prima propositio fundetur super regulam constare potest Erooperientimam tert' Euclidis omniti linearum rectarum Protractat trio Scorda ad arcum,illa est lonaissima quae protrahitur a medio puncto corax aci medium sua arcus.Suppositis igitur propolitionibus Proba
aequalis cum a mnem sunt aequalas per quarta primi Euclidis,alavi e la