장음표시 사용
161쪽
' Hi ERONY MI CARDANI meri quad. producit B cubi p: a positionibus numeri tarquadrati, naud qdratum in quadratum,producit tarquadranim, habes igitur itcubi p: a positionabus numeri cu ld. aequalia alcu'qdratis, igitur utor adratum,adorqdratum in aequalitate,sic numerus ad numerum, qtiare ta cubi p:χ positionibus,aequalia ac,quare a cubus p: positionibus aequalia Ta,quare rei aestimatio, p: Rr V: cubica Rr ι νοος
addetur utriq3 parti,radix igit, ex una parte est 8 p: rebus sub numbro aestimationis rei,ex alia aut qdrata sub numero im UzMqdrati ,hus ius aestimatidis addito a , m: positionibus sub numero in dupli huius aestimationis. Q AESTIO XII. Si quis dicat, i qd qdratum p : 3,aequatur a rebus, addes a positiones quadratorum,& ι quadratum numeri quadratorum , quare sic habebit iu quadratam sine numero ut clarum est , igitur addemus ex alia parte pro numero quadratorum a potitiones,& pro numero
bis partes ut uis des, quare multis plicatis partibus, habes a cubos aeo
quales 6 rebus p:36,& a cubum,aequalem 3 rebus p: 38, &res ualet 3 ,igitur partes sunt ut uides,& erit 3 quadratum P:3, in primae Paratis,aequalis rebus iς σp: numero Rr 6,8c res quaesita erit, Rr v: Rr 5 ima ιp:Rrri. avns Tio tali l. Inuenias numerum, ius id qdratum cum duplo cubi , sit a p: ipso nuinero gitur dices, ν 'ad'qdratum per cubis aequantur ad 1 positionem p: ι ,hic non datur locus radici subtrahendae, nec diuisioni. Sed dices ex prima regula ,inuenias tres numeros Proportionales, quorum aggregatum ad aggregatum secundi & tertia eande habeat rationem, quam aggregatum secundi & terti j ad primum. Pones igitur eos i ,3 pos. 3 quad. habebis igitair ι rid qdratum p: a cubis p: iquadrato,aequalia 3 quadrato p: positioni P: ι ,quare abiecto a quadrato communi,habebimus ld'qdratum p : a ibis,aequalia I potiotioni V i ,ergo iam scimus rationem quantitatum,quia uero ex aggregato in prii nam,fit quadratum aggregati secundae& tertiae,igitur trale aetaregatum est diuisum secundum proportionem habentem meadium S duo extrema,& eius minor portio est i ,igitur residuum &est maior portio est Rrr p: , S hoc squatur ut supponitur r in drato p: ι positione gitur quantitates sunt ut uides.
162쪽
intelligis modos ham regulam Prima ε
si exempla haec diligenter cum suis operationibus animaduertas De modis suppositionum generalium ad artem maiorem pertinentibus 8c regulis quae extra ordinem sunt, ac aestimationibus diuersi generis ab his quae
dictae sunt. Cap. XL. J Vm fuerit cubus aequalis quadratis & numero,si ab aesti. U.
matione illa detrahatur,numerus quadratorum,relinque tur aestimatio cubiti totidem quadratorum, equalium numero existenti in proportione eadem cum numero primae
aequationis in qua est ipsa secunda aequatio seu aestimatio ad primam aestimationem. Exemplum,cubus aequatur a quadratis p: r aestimatio est ac dico,quod si ab )cias a numerum quadratoru relinque tur 4,aestimatio cubi R et quadratorum, aequalium L, qui numerus est in eadem proportione cum x e numero prioris aequalidis, in qua est aestimatio secunda, ad 2 3 primam aestimationem, cilius dem ostratio sit haec. DEMONsTRATIO. Ponatur A B aestimatio prima,& A c numerus quadratorum, &erit B c aestimatio alicuius cubi & quadratorum, secundum A c mi me rum aequalium alicui numero,qui sit E ,ponatur uero D numerus, qui cum quadratis A B secundum numerum A c aequetur cubo A B , quia
igitur cubus A B aequatur producto ex A c R C B in quadratum A B, item si producto ex A c in quadratu A . ovΑ B cu numcro D,erit D aequalis pro, I iducto c B in A a quadratum, & similiter cubus c B cum producto A c in
quadratum c B,aequatur E numero,
dc aequatur etiam producto ex A B in quadratum B c,igitur productu A B in quadratum B c,aequatur E,uerum producti B c in quadratum A Bad productum A B in quadratum B c,ut A B ad B c ex demonstra tis in septimo super Euclidem,proportio igitur D ad E,Ut A B ad B c, quod erat probandum, similiter sequitur,permutando proportiones aequationum numerorum ad suas aestimationes easdem esse, ira aestimatioiuina differentia fuerit numerus quadratorum.
163쪽
Hi ERONYMI CARDANI,' Cum suerint cubus & quadrata,aequalia numero, item cubus mqualis totidem quadratis eidemst numero, erit proportis aggregari ex prima aestiniatione Sc numero quadratorum, ad residuum, quod fit detracto a secunda aestimatione numero quadratorum, ut secun laestimationis ad primam duplicata,velut si dicam, bus 8c 3 quadra. ta, aequantur zo,& cubus aequatur 3 quadratis p: ao,in prima aestimatio rei est 2,in secuda estisu: cubica 33 p: Iu lao p. Rr V: bica m: Rr reto p:3 ,dico quod si addas 3 numerum quadratoru,ad a primam aestimationem & fiet Sc minuas idem 3 , ex secunda aestimatione
munis, A D,quia igitur cubus A B, aequalis est productis A D & D a in quadratum A BAE A B est numerus quadra itorum,erit productum ex D B in quadratum AE e D A B, uale numero aequationis,quare & cubo B c cum producito A Din quadratum B c,igitur quod ex B D in quadratum A B,aequale est ei, quod ex aggregato A D & c B in quadratum c B,igitur ex 3 ' ia &ν' 6 elementorum, A D& c B,iunctorum,ad B D,uelut A B ad B c , r tio seu proportio duplicata. ' Cum fuerint quadrata aequalia cubo Sc numero, nuertetur caspitulum in capitulum rerum aequalium cubo Sc numero,& aestimatio secunda semper est addenda uel detrahenda tertiae parti numeri qua/dratorum,ut habeatur prima,& modus est,sume disserentiam nume,
ri aequationis propositi,& dupli clibi τpqd. & ea pone pro numero,
qui cum cubo aequatur rebus totidem,quotus est numerus,qui ea tertia pars quadrati numeri quadratorum,ergo inuenta secunda aestimatione,pro habenda prima,addes ea Tp ld. si numerus fuit maior cluis plo cubi id. uel minues, si numerus fuit minor duplo cubi τpqd. Sc conflatiun uel residuum est aestimatio prima. Exemplum,Cubus &8o,aequantur ' quadratis,duplacubum 3, qui est τp id. fit sq,differentia citius ab so est 26,igitur cubus Π: 26, aequabitur Στ rebus,cst autem Στ tertia pars qdrati st, igitur aestima. tio secunda est 3 ,quae addita ad 3 τpqd: constituitq,aestimationc prima, sa numerus qui est 8o, est maiorduplo cubi τpq d. quod est sq.
Aliud exemplum,Cubus p: s, aequatur 6 quadratis, duc 5 in se fit 36,
164쪽
st ; huius tertia pars est x a,numerus remmande detrahe frumeruaequationis,ex r6 duplo Gibi a Tpqd.& relinquitur 33 ,igitur 3 cub.p:i r ,aequatur Ia rebus,aestimatio autem est 3, detrahe igitur 3 ex a
qd. quia numerus est minor duplo cubi πqd. relinquitur aestimatio cubi p: s aequalis 6 quad.
DEMONsTRATIO. Demonstratio autem huius est,ponatur A B numerus quadrato
rum 9,A c aestimatio rei, cuius cubus p: 8o arquatur Α B duetie in A pquadratum A c,& sit A D tertia pars A B,& sis militer DE&EBRAG superficies aequissi- , stantium laterum, & tertia pars quadrati AB ex prima es,quia igitur ex B A in A c, fit cubus *A F P: So,erit quod ex B c in Α F 8o,quod igitur ex B D in A F, So preo quod ex c D in Α F, detracto igitur quod ex B D in Au, Rest dii. plum cubi A D,fiet quod ex B D in gnomone, 26p: eo quod ex c D in A F, at quod ex B D in gnomonem, aequale est
quadruplo c D in quadratum A Η,& duplo a Din quadratum N F, eo quod lineae B E,ED, D A,D Η,& reliquae supicinentorum sunt aequales inuicem, quadruplum igitur c D in quadratum Α Η cum duplo A D in quadratum H F,aequatur 26 P: eo quod ex c D in F A , at ex c D in EA, fit cubus c D,& duplum Α D in quadratum F Η,& c D in quadratu A A semet,igitur ablato eo quod ex c D in quadratum Α Η semel,& ex A Din quadratum H F bis,utrino,erit triplum c D in A Η,aequale cubo c Dp: 26,at quod ex c D in A H ter,squale est ei, quod ex c D in A G semel, cum D M sit tertia pars D G , igitur quod ex c D in A G tertiam partem quadrati A B,aequale est cubo ipsius c D p: ao.
Cum quaestionis solutio ad multitudinem denominationum peris Cuenerit, lutio plerunq; sperari potest,nam ex mala tractatione finpius hoc eueni unde ad pauciores 8c notas denominationes dedi cta soluitur,& generaliter. At cum ad capitulum paucarum sed ina qualiu denominationu peruenerit, quaestionis soluti,nunq; genera aliter ad cognitionem perueniet,cum semper in id incidat capitulum, quod uniuersalem aestimationis inueniendae regulam non habet, uolat si ad capitulum R p', quadratorum,rerum ac numeri deuenerit. Cum uero hoc in omnibus,tum maxime in Geometricis.quaestio ι nibus,quae graues sunt,plurimum conferre solet,ut praeuias alias, ae minus dissiciles quaestiones solvas, huius libri auxilio,demum in regulas de modo solutiones has contrahes,inde illarum auxilio pedetei
165쪽
tim procedens per positionis praecepta Sc regulas,ad aliquod tandem h sit in V/ψyVm00 0ru m Frumie , ex quo dilucida solutio ami Uaeter has autem aestimationes, aliae quaedam ememunt, qua rum numerus est intinatus,nec ullius earum generalis est usus,uerum quae maxime sunt Dequentes, tribus modis fiunt. Aut em remala narticulari,ut in sexto libro ostensum est. tum magis in capitulis omni Bus quantitatu continue proportionalium,ut facile est experiri. Aliae autem ex iterata regularum uel capitulorum operatione, Vel mixtione,ut cum ad quaesiti solutionem pluribus capitulis,uel regulis indis gemus. Exemplum habes,praeter reliqua,in quarta quaestione capitiati , ς hii ius libri,tibi eam quaestionem ad finem deduxeris, &exores sius etiam in secunda quaestione 33,capituli huius. Tertio modo h
hebis uarias aestimationes,cum capitula uel regulas non in numeris, sed iam uariatis aestimationibus exercueris,ut si dicam, fac ex in ultismi 8 mr Rr 2,duas partes,ex quarum ducitu in radices alterius mutuo fiant numeri, qui iunctii inuicem faciant ψ,operatio perueniet ad absonam quantitatem.
Natura producti ex partibus numeri in ru quadratam uel cubam Dei alterius generis partis reliquar, est de genere cubi,uel udqdrati,
m. Exemplum,ii quis dicat, fac ex o duas partes, quarum prodoctum unius in quadratum alterius faciat o,&43ostmodum uel dictis re, fac ex alliquo numero duas partes,ex quarum ductu unius in qua dratum alterius, fiat 38,tunc uides quod talis productio est ex o e. re cubi quia igitur, si proportio esset eadem, fieret hoc ex aci , quod est duplum 3 o,ut is est duplum ψ,at quia est ex genere cubi ini emonius duos terminos proportionales inter ro&ao,& sunt tu cubicaa ooo 8c in cubica Moo,igitur numerus quaesitus t o r Rin Ra cubica zooo, nam una pars est iu cubica a r. alia in ι Is,ducta tu cubica 3ψs8m quadratum in m. cu
tur quod si dixisset, ut facias de I o duas partes ex Quarum
eam,unde si diceremus, inuemas numerum ex cuius duetu uicissim re auaS,tunc inter I o & ao eadem ratione, qui se habent ut o 8c . sacci Pie: in ratione cubica duos terminos medios proportion les &maior in rum qui elim: ibi qooo,est Para
166쪽
iuncitae faciunt 2q. uaelibet aequatio clibi aequalis rebus 8c numero, conuertiturin 8' consimilem,cuius numerus rerum constat ex diuisione prioris num ri rerum per numerum aequationis,& numerus aequationis est ira unitatis diuisae per numerum aequationis,ut in exemplo,cubus aequetura cub. aeqlis 6pos. pret cub. aeqlis 3 pos. pr moea cub. aeqlis q Pos. p. q
3 cub. aeqliS POL Pr 6 positionibus p: 2,divide 5 numerum positionum per a numerum equationis, exibit 3 numerus positionum secundae aequationis,divide etiam unitatem per a numerum aequationis,exit oculus ire est numerus aequationis, & ita in duobus reliquis exemplis. Inuentio autem aestismationis unius per aliam,est ualde dissicilis,ueruntamen dico, quod habita secunda aestimatione, ipsa erit Rr numeri rerum multiplicandarum cum unitate per 3 cub. & per positiones, Sc numerum priorem ex alia parte,inde addes tot quadrata utrio parti, quotus est numerus, qui prouenit diuisa unitate per quadruplum quadrati eiusdem secundae aestimationis,& habebis qdvjdratum p: cubo P: quadrato ex una parte,habentia Rr,quae erit quad. p: pos. Sc ex alia quad. p: ponp:numero, habentia similiter radicem, quae erit Positio P: numero, quare per capitulum,habebis aestimationem,ut in tertio exemplo,ha. bes secundam rei aestimationem ι,pro habenda prima duc I Politios
gula sumit 1 sed 3 pos. est propter
quadratum aestiis mationis rei,quod fuit etiam x in I cubum,& 6 positiones p:', habebis ad qdratum p:ι clibo, aequalia squadratis p:9 pr i s positionibus, deinde adde utrio parti L quadra. tict est quod prouenit semper diuisa unitate per quadruplum quasdrati numeri positionum additarum, Sc habebis partes sabentes istquadratas,quare res est 3. Quinquies exscriptus,maneat tot millibus annis.