장음표시 사용
131쪽
Hi ERONYMI CARDANI merorum,id est quantitatis, aequantur ,quadrata igitur partium,cadentibus uicissim multiplicationibus . quantit iis in m V: π d'quan: m: 8,quia sunt ae qualia,m:&pzerunt ἰqJqum: m: 8, Scaqd'quan: m: 8 undia igitur . id quati: m: Io,aequalia cum i quantitatis,aggregato numeroru adqo,pone igitur pro quantitate rem,erit quadrati p: l positione, squale So,igitur 3 quadratum pra positionibus,aequatur a , quare res ualet Naas m: r,id est i , & tantunde ualet quantitas, sed nos posuimus dimidiu quantitatis aggregatum,igitur ag/t ,fac ex τ duas
aestimatio rei Rr et asin: Igregatum numerora e Partes,eX quarum ductu invicem fiat 8,
de erunt 3 Fp:m 4 8c 3 Pm: π ψ Anu meri quaesiti,quorum quadrata numeris ipsis sunt qo. Not . Et si quis quaerat,quid prosit haec regula, cui possit opitulari Praeter primam: Respondeo,Prima indiget regula particulari sexti libri in operando,haec autem libere usq; in finem agit,deducedo,quod quam pulcherrimum ultra id quod utilissimum est,nullo alieno indisgere praesidio. Est dc aliud exemplum.
Inuenias duos numeros,ex quorum multiplicatione producatur 6 8c quorum cubi itineti faciant ioo. Poncmus quantitate pro ago gregato,& partem unam rem,alia erit Pquantitatis m:re, duc partes inuicem, habebis- quan post ira: r qua drato,squalia 6,sequere squationem tan δε- quantitas esset aliquis numerus, & h bebis aestimationem, duas aestimationes posscilicet P quantitastis p: MV:-qd'quan:
in V da id quaia: m: o, horum cubi debent ae lori roo,duc ad cubum, dimittendo Partes, quae in
cub. quaia: ira: 9 quam aeqlia io or cub. aequalis τa res p: 8oo uno sunt p: in alio m. habebis tacub quanἰm: ψ - quantitatibus prosin
132쪽
Dκ ARiτΗMETic A LIB. α singulis partibus, quare in torul cub quan:m:' quantitatibus,aequalia r oo,permuta cub'quan: in cubum rei,& quantitatem in rem,&reduces ad a cubum, habebis cubum,aequalem a rebus p:8oo, & rei aestimatio erit aestimatio quantitatis, scilicet Rr V: cubica Mo p: rur 63 6 p:N v: cubica o m: Rr 346 ιτα huius igitur dimidium, quod est M v: cubica so p:m etas p:m v: cubica so m: in a 28 est aggregatum quaesitorum numerorum,& paries sunt,imv:cubicie quaesitae Ad hoc apparet alia operatione.
Q VAESTIO NU . Inuenias duos numeros,quorum quadratorum disserentia fit 3 q,5c ex maiore illorum iuncto cum suis quadratis,fiat . Pones aggregatum numerorum rem,& unam partem e quantitatem, reliqua erit res m: quantitatis, duc in se partes,
sitioni,& iam positio diuisa sint in i quantitatem, & positionem inret,
quantitate,igitur cum quantitas sit communis utrobicu, erit m Q. id quaia: ira: ro,aequalis 3 positionem: i quantitatis,igitur quadrata partium,quae sunt qd'quan:&4qd quaia: m: ι o, cum una partium, scilicet et quantitate, uantur , quare I 'd'quan: P: 1 quantitate, aequatur ν oo,res igitur quae est quantitas, est ira 3 oo m: L, & quia nos posuim a quantitatis,erit una pars,m as L m: .dimidium scilicet Rr roo m: minor erit m V: I sa m. N 6ώ.Et generaliter in hac regula,qui plus ualet ingenio, plus ualet in operatione, nam in di sunt complures,& de omnibus dicere longii soret, ista igitur QT ciant,& ad exempla primae regulae denuo transeamus, Quaerentes hoc modo. QVAESTIO NVII. Inuenias duos numeros,quorum quadratum secundi, aequale sit duetiti primi in aggregatum,& quadrata illorum iuncta sint i o, uis des manifeste, quod si ponatur aggregatum illorum res,ipsa erit dis uidenda secundum proportionem habentem medium & duo extraoma,erunt partes,im V: L quadrati m: -- positionis,& r L positiones m. Rr U: - quadrati,harum igitur quadrata erunt s quadrata ira: m
133쪽
lia 1 o,igitur ex capitulo argumenstandi p:& m: s quadriata ira: o, Oea quantur Rr zo γ' qdratorum,quare Partes erunt ut uides. Q V AESTIO XVI 0.. Inuenias tres numeros proportionales,quorum primus & secun
dus sequentur tertio,& quadrata primi & secundi iundia, sint i o. P nes tertili 3 positionem, fac de x positione duas partes , quarum qua drata iuncta sint io,&erunt positionis pristu: sm: . quadrati &l positio ira: in Wm: . quadrati,duc a positionem in minorem,& prooducetur quadratum maioris, aliter diuides a positionem secundum proportionem habentem medium es duo extrema,inde duces partes ad quadratum,& quadrata iunctaierut Io, Partes igitur erunt. p'imV:aal Rr sm: Rr Wrai pzRr asa' l Rr v: a a p: Rr 3-m: Rr m a 3p: Rr sy'limV:rop. ς ε - -
inuenias tres numeros,proportionales, ex quoru dii,
ehu primi in secundum fiat s o,& primus cum secundo aequentur tertio,eodem modo procedendo habebis quantitates. De regula liberae positionis. Caput XXXVI. Si regula pro quaestionibus',quae consequuntur proprio
tales numerorum uniuersales , quaS homo ignorat, inde quaerens per alias regulas,laborat inaniter,non enim proportionem exigunt, nec tamen in omnibus quantitatibus inueniri queunt,tales autem sunt. Vns Tro I. Inuenias quin quantitates,quarum secundae q-dratum aequale sit aggregato earum, cum quadrato primae,sintcphae quantitates continue proportionastes,ponam igitur in quacuno uoluero proportione, ab una positione inchoando,uelut in figura uides, eo
134쪽
I, 824, 6s T. QAMSTIO 1 I. lnvenias duos numeros,in proportione dupla, quorum quadra/ta,uel cubi,uel relati, sint aequalia ipsis,& sit exemplum de relatis, tanquam magis admirandis. Ponemus igitur in .pportione dupla, i positionem & a positiones,quorum relata erunt, 3 a relata prima,& a relatum primit,iunge,fient 3 3 relata prima,aequalia 3 rebus, igitur per capitulum simplex,res erit Rr'Rr diuiso 3 per 3 3, reliqua quantitas igitur erit Resim a a ,scilicet duplum Rr Rr 6.
Inuenias tres quantitates proportionales, quarum proportio sit tripla,& aggregati,in seductum, producat secundae quantitatis. . Ponemus igitur quantitates, 1 positione , 3 poco pos . harum aggre gatum est 3 3 positiones, ius, est 3 . positiones, Sc quadratum estross,cu hoc est de 3 positionibus,igitur 73- ἱ quadrata, equantur ,3 positionibus,quare positio est quantitas secuda erit 3c
tertia erit δε . QVAESTIO I I II. Inuenias tres numeroS proportionales, quorum secundus sit 3 o,
Rat,aggregati omnium in se dumim,producat septuplum secundi, ponemus primum rem,igitur tertius erit , & quia - aggregati in se ducitis,producit septuplum secundi,igitur producit To,& Rr το, esto aggregati,igitur aggregatum est Rr 28ooo,& ideo prima & tertia,erunt Rr 28ooo m: i o,& hoc aequale est 3 positioni P: m,igiturr qdratum p: i oo,aequatur positionibus Ra 28ooo narro,igitur prisma quantitas fuit Rr ooo nars ira: in Wisas ira: Rr ooo oo, & tertia quantitas erit m Tooo ira: ς p Rr V:692s m: Rr 7ooooo, Posset etiam
breuius fieri,sed abs p positione. De regula salsum ponendi. Cap. XXXVII.
qumi quod no est. Primo igitur qusrimus quςstionu so luti Oes, quae per pἰuerificari minime postiunt, uelut si quis dicat,qdratu aeqtur ψ rebus p: 3 2,S in eade aestimatione, qdratu aeqtur 3 rei p: ao, tunc si uelles sequi aestimatione uera , in pri/ma res esset 8, in secunda autem quaestione ς, sed si dicas conuerten do igitur quadratum p:ψ rebus, aequatur 3 a, & res erit . , Nin hoc
135쪽
Hi ERONYMI CARDANI etiam uertim erit,quod quadratum & res quantur zo,dic igitur, si p: seruit his quaesitis,igitur 4m:est aestimatio a qdrati,aequalis robus p:3 a,& 3 quadratum aequale 3 rei prao,ideo conuertes capitula, ut in primo capitulo diximus, ct si casus est impossibilis, in utro pquaestio falsa est,per p:& per m:& si uera est, perp: in uno , erit uera per m: in allam eiuscemodi generis est quinio haec.
Dos uxoris Francisci,est aurei 3 oo plusci, Francisci pecuIium,&dos uxoris eius in se ducita, est aurei Mo plus peculio Francisci in seducto,quaeritur dosis peculium. Ponemus Franciscum habere rem unam m:igitur dos uxoris est aurei 3 oo m: r re,duc partes in se, fienta qdratum & IoooO, P: a quadrato ira: aoo positionibus,horii di TO
m: roo posidisserentia roooo m: roopos. aequalis rentia est o aurei, igitur 3 quadratum P . o P:2oo positionibus,ae itur roooo P: ι quadrato,abiice communia, habebis 96oo , aequalia zoo positionibus, igiturres est 48 ,& tantii habuit ira: id est debi. ii,& dos erit residuit ad roo,scilicet sa, igitur Franciscus habuit 48 aureos dcbiti, sine ullo capitali uel pecuatio,& dos eius uxoris suit s 2 aureorum,& seriis operando peruenis res ad quaestiones difficillimas,ac inextricabiles. Talismodi etia haec est. inv AsTIO II. Eoo habeo aureos i a plus Francisco,& cubus meorum est, rissaurei plus cubo Francisci,ponatur ν res ira: Francisco, ego habeo ι α aureos ira: a positione,duc ad cubum partes, fient a cubus m. R 1 asp:36qdratis m: ψ3a rebus ira: i cubo,&horum disserentia,cst i i si, igitur 3 cubus m: pr 32 rebus p:3 3or,squabitur IT 28 p. 36 quadratis ira: i cubo,ab'ce m: I cubum Sc 336i ex utraq; parte, fient 3Σres aeqles 36qdratis Prs 67,quare 3 qdratu P: 3 hae pia Ia rebus, igitur res est ii,& hoc habuit ira: Franciscus,& ego sol p:& tot sunt aurei qsiti. Q VAESTIO III. Et eodem modo si dicam etiam sic,aurei mei sunt 32 P:quam illi Francisci. Et qdratum meorum est 328 p : cubo aureorum Francisci. dabimus rem unam m: Francisco,ego uero habeo ia aureos na: 3 re,& quadratum meorum erit 3 p. a quadrato Π :2ψ rebus,& hoc o quale est ira: i cubo p: 328,igitur 36 p: i quadrato P: cubo,aequatura rebus,Et res citi m:& tantiim habet Franciscus debiti,ego uero aureos S peculii. REGULA II.
Secundum genus positionis falsae, est per radicem m: Et dabo
136쪽
exemplum,si quis dicat,divide r o in duas partes,ex quarum unius in reliquam ductu,producatur 3 o,aut εο, manifestum est, quod casus seu quaestio est impossibilis,sic tame operabimur, diuidemus ro per aequalia,& fiet eius medietas ς,duc in se fit as, auferes ex as, ipsum
Producendum, utpote ,ut docui te,in capitulo operationum, in se. xto libro, fiet residuum m: as , ius m addita& detracta 1 s,ostendit partes,quae inuicem ductae producunt M,erunt igitur hari s P: Rr m: 3s,&s m:Rem: Is. Dano NsTRATIO Ut igitur regulae uerus pateat intellectus,sit A B Iinea,qus dicaturr o, diuidenda in duas partes,quaru rectangulum debeat esse η o, est Rut o qdruplu ad I o, quare nos uolumus
quadruplum totius A B, igitur fiat A D,qua dratum A c,dimidii A B,& ex A D auferatur quadruplum A B,abscp numero,ira igitur residui,si aliquid maneret, addita & detracta ex A c,ostenderet partes,at quia tale residuum est minus,ideo imaginaberis Rr m: r ς, id est disserentiae AD, 8e quadrupli A B,quam adde & minue ex A c,& habebis quaesitum,sciliiscet ς p: Rr Has ira: ψo, & ς in ἰR: V: as m: M, seu sp: N m: i ς& ςm: Rr ira: r s,duc s P Rr m: in s m. Rr m: s, dimissis incruciationis bus, fit a s m: m: 1 s,quod est p: Rigitur hoc Productum est o natura tame A D,non est eadem in natura qo,nec A B, quia superficies est remota a natura numeri,& lineae,proximius tame huic quantitativius uere est sophistica, quoniam per eam, non ut in puro ni: nec in aliis, operationes exercere licet, nec uenari quid sit est,ut addas quadratum medietatis numeri numero produocendo,& a Rr aggregati minuas ac addas dimidium diuidendi. Exemplit,in hoc casu, diuide 3 o in duas partes, producentes qo, adde as quadratu dimidi j r o ad M,fit 6ς,ab huius Rr minue ς,& adde etiams,habebis partes secundum similitudinem,Rr 6ς p: S in 6ς m: . At hi numeri disserunt in i o,non iunctii faciunt i o,sed Rr a ,& laticus progreditur Arithmetica subtilitas, ius hoc extremum ut dixi,adeo est subtile,ut sit inutile.
Fac de 6 duas partes,quarum quadrata iuncta sint so, haec soluitur per primam,non per secundam regulam,est enim de puro in ideo
137쪽
Per idem soluitur quaestio haec,fac ex G duas partes, uarum Vna in reliquam ducta,producatur m :qo,duc 3,dimidium 6, in se, fit st, adde ad M, fit 6,huius Re quae est , adde ad 3, dimidium 6, 8c mi nite, habebis i o p:& q m: quae ducta inuicem, producunt m: & iuncta,faciunto,&ita ro,m:&q P: producant ira:&iuncta, is uni 5m ideo etiam haec quaestio, inde puro na: & pertinet ad prismam regulam.
Cor . Ex hoc patet,quod si quis dicat,fac de 6 duas partes,ex quarum multiplicatione inuicem , producatur 4o, quaestio est de ira: sophistisco,& pertinet ad secundam regulam. Et si dicat,iac de 6 duas partes, ex quarum multiplicatione inuicem producatur o ira: uel ex o m: fi ant duae partes producentes inr4o, utrocri modo erit quaesito de narpuro,& pertinebit ad primam regulam, oc tales partes erunt quae disi's sunto si dicat,quod ex 6 m: fiant duae partes,quarum .pduc tum fit M p: quaestio erit de m: sophistico, & pertinebit ad secundam rogulam,& erunt partes m: 3 P: Rem: ς,&m: 3 m: Rrm: ις.
Possumus uero uenari genus in aliud,quod ne est purum m: ne ni ita: sed res omnino falsa, & coponitur haec regula quasi ex ambolius ,& dabo huius unum exemplum,quod est hoc. v n s T I O VI. Inuenias tres numeros proportionales, quorum in primi detra eta a primo,faciat fecitndum,&M: secundi,detraeia a secundo, faciat tertium. Ponemus igitur primum, i quadratu, & secundus erit 3 qil. m: a positione,& tertius erit a qd. m: I positione nar Rr V: a quadratim: ι positione, duc primum in tertium, & secundum in se, habebis Quantitates ipsas, operando ut uides , & l pri , krim: IImram: inimi productum primi in tertium,est m: - pr i
ni quod enἱm: is, oc tantum fit ducto secundo numero in se. Quomodo excidant partes & denominationes multi plicando. Cap. XXXVIII.
Tsi hoc & generale fit, & abunde in libro quarto & quinoto demonstratum,nihilominus denuo ad facilitatem & utilitatem repetendum erit,ia autem hoc duobus modis, to
138쪽
uenta caula capitulorum illorum , quae postmodum Geometri ca ratione, in quatuor denominationibus superius a nobis sunt de monstrata,nuc inuentis illis,eius utilitas magna ex parte extineta est, docebimus tame eam ob artis locupletationem,& ingenii eius admis rationem, in etiam ad alia utilis sit,ad quae transferri commode potest,quanqi nullo usui generali possit uenire. Igitiir eius regula limest, Vel uis numeros differentes,quorum quadratum unius, cu cubo alterius faciant iuncti,numeru,tunc diuides differentiam illam in diisas partes, quarum triplum quadrati unius,sit aequale duplo alterius, per positionem,inde inuentis partibus,mnes rem,p: parte, cuius su mitur triplum quadrati,pro parte cubanda,& partem quadrandam, rem ira: parte,cuius sumitur duplum,inde peracta operatione, peruontes ad cubum,ac quadrata aequalia numero, excidentibus rebus.
Exemplum. Inuenias duos numeros,quorum disserentia sit 8, 8ccubus unius,cum alterius qdrato iunctus,faciat 3 oo, fac p' per posistione duas partes,quam triplum qdrati unius sit eqle duplo alterius, quas inuenies esse, a & 6,nam triplum , drati a ,est 32,quod est duplum 6 residui,igitur pones partem cubanda positione p: 2,5c cldrandam positionem m:6,iunge cubii r positionis,p:a,cum adrato I possitois m: F, habes cub. P: 'dratis p:-,ae ilia ioo,igitur I cub. P: Tqdratis, aeqtur 6,Sc rei aestimatio, erit in v: cubica i ς Ap: Rr 2 Apri 1 v: mohica is Ana: in ad na: a d c quia partes fueriit,res p:2,& res m: 6,ideo huic adde a minue o, habebis partcs, ut uides a latere. Est aut manifestum, quod una illarum est m:purum,& si uoluisses ut essent ambς p oportuisset ponere,quod cubus & qdratum talium
numerorum aequarentur numero maiori,ut puta Io oo,loco Ioo.
Et eodem modo facies,si uolueris,quod numerorum disserentiuin aliquo numero, cubus 8c quadratum disserant in assignato numearo,eadem regula inuenies partes disterentiae,quibus inuentis, pones econtra scilicet positionem m numero,cilius sumitur triplum qdraci,& positionem p:numero,cuius sumitur duplum,inde sequeris opera' tionem,ut in exemplo.
139쪽
Inuenias duos numeros,quom differetia sit 8ac disseretia cubi uni
cub. m:7 id ina: aequalis Io rut a, Sc 6, pones igit rem ira: et, & re pro, cuba rem m: χ,& qdrata rem pr6,&sume differentiam habebis cubum: τquadratis ira: - ,aequalem roo , quare cubus aequabitur quadratis p: sqq,&rei aestimatio erit Rr v: cubica 34.p:nt τοι 34 p: Nu: cmbica 84- m: Rr o 1 3 1 P: a T,& quia nos posuimus partes,rem m: a, x rem p:6,erut numeri quaesiti,ut uides. Et similiter,si dicat,duas fac partes ex aliquo numero, quorum quadratum unius,cum cubo alterius iunetiam, faciat aliquem num rum,facies enim duas partes ex numero diuidendo,ut supra,quarum uni,scilicet cuius sumitur triplum quadrati,addes rem,alteri cuius sumitur duplum ipsius, detrahes rem,inde perficies operationem, ut in
Q V AEsrro III. Fac ex 8 duas partes,quarum cubus unius,cum quadrato alteris
ca 36som:Rr a sol et m:T. Et si dicat de diuisionenumeri assignati,in duas partes, quarum disserentia cubi unius a quadrato alterius, sit numero dato aequalis, tunc semperpones N p: 1 positione,pro parte quae cubari debet,& residuum numeri diuidendi,detracto m: 3 positione, pro numero in
140쪽
mero,quare erit cognita utracp pars confestim. Q V M s T I O mi. Exemplum,Diuide 8 in duas partes,quarum cubus unius,excesdat quadratum alterius,in io. Ponemus ita partem primam' et , &
& hoc aequatur 3 o,igitur cubus & 3 s si s. P:ι cub. Positiones,aequatur 68 l rei aestimatio cognita est, i addemus lpro prima parte,& minuemus eam 1 τ 1,pro secunda parte, & si uois luisi emus,quod quadratum superasset cubum,detraxissemus 3 o nuis memin aequationis,ex s 8& haberemus 3 cubup: 3 s 4 positionis bus, equalem 8 N,& modi huius prinis regule sunt innumerabiles,& sunt quasi pars regulae de modo. R AGvLA IIcVerum alia regula quae multum apud nos in usu est,& facilior, talis est,& etiam exemplis ut reliquae facilius explicabitur.
Fac igitur ex s duas partes,quarum assumptis quadratis simuLitem cubis simul,ductoq; uno aggregato per alterum, fiat numerus perseelus,possem dicere,quod saceret etiam numerum terminatum, ut 3 oooo,uel alium,datur etiam maximus quem potest producere,&est 3 r 68,& producitur ex cubo totius,in quadratum totius, datur etiam minimus quo minorem producere non potest, & est qo 6. Videndum est igitur primo,an inter hos duos numeros, cadat numcrus
persectus, S est Si as,qui si non caderet, esset quaestio impossibilis, Pone igitur unam partem ψ m: r positione,aliam p:1 positione, &fient quadrata, 36 p: 8 positionibus p: ι quadrato,& 16 m: 8 positiois nibus p: ι quadrato, qus iuncia erunt 3 a p: a quadratis,excidentibus rebus,cubi etiam erunt, p: a Pradratis p. positionibus p: r mobo,& p: ia qdratis m: 8 positionibus m: r cubo, qui iunciti, sunt 328 p:2ψ quadratis,quare ducemus 3 2 pr a quadraris, in ras p: a